A109812
a(1)=1; a partir daí a(n) = menor inteiro positivo não entre os termos anteriores da sequência tal que a(n) e a(n-1) não têm bits 1 em comum em suas representações binárias.
1, 2, 4, 3, 8, 5, 10, 16, 6, 9, 18, 12, 17, 14, 32, 7, 24, 33, 20, 11, 36, 19, 40, 21, 34, 13, 48, 15, 64, 22, 41, 66, 25, 38, 65, 26, 37, 72, 23, 96, 27, 68, 35, 28, 67, 44, 80, 39, 88, 128, 29, 98, 129, 30, 97, 130, 45, 82, 132, 42, 69, 50, 73, 52, 74, 49, 70, 56, 71, 136, 51
COMENTÁRIOS
Teorema: Uma sequência é uma permutação dos números inteiros positivos. - Leroy Quet , 16 de agosto de 2005
Demonstração: É evidente que a sequência é infinita. A primeira vez que um número >= 2^k aparece (para k>1), ele DEVE SER 2^k e, portanto, é imediatamente seguido pelo menor número que falta. Como existem infinitas potências de 2, todos os números eventualmente aparecerão. - NJA Sloane , 02 de junho de 2018, reescrito em 03 de abril de 2022
A sequência deveria começar com a(0) = 0, a(1) = 1, a(2) = 2, etc., e ser definida simplesmente como "a sequência infinita lexicograficamente mais antiga de números não negativos tal que as expansões binárias de termos adjacentes sejam disjuntas". Existe também uma definição equivalente óbvia como uma sequência de subconjuntos dos inteiros não negativos tal que subconjuntos sucessivos sejam disjuntos. Mas, por razões históricas, manteremos a definição atual. - NJA Sloane , 4 de abril de 2022
Permutação inversa = A113233 ; A113232 = a(a(n)). - Reinhard Zumkeller , 19 de outubro de 2005
Sequência de pontos fixos, onde a(n) = n, é A340016 . - Thomas Scheuerle , 24 de dezembro de 2020
Comentário de Rémy Sigrist , 04 de abril de 2022 [adicionado por NJA Sloane , 06 de abril de 2022]: (Início)
Se compararmos os diagramas de dispersão logarítmica das bissecções pares e ímpares desta sequência, geralmente tudo está embaralhado, mas em alguns intervalos grandes as bissecções aparecem como duas faixas paralelas.
Nesses intervalos, para alguma constante k,
a outra bissecção tem valores < 2^(k-1). Isso é demonstrado no par de links de Sigrist "As duas bissecções". (Fim) Comentário de NJA Sloane , 06 de abril de 2022: (Início) Perto de Gavarnie, na França, existe uma brecha na cordilheira dos Pirenéus conhecida como Brèche de Roland. O gráfico da sequência atual mostra uma série de brechas ou fendas muito semelhantes, em intervalos ligeiramente irregulares. Espera-se que, se as posições dessas brechas puderem ser identificadas, isso forneça uma chave para a estrutura dessa sequência misteriosa. Se o leitor clicar no botão "gráfico" aqui, o gráfico superior mostra uma clara ruptura entre n=59 e n=71. Isso também é mostrado em um dos links abaixo. Mais informações sobre as posições das brèches serão adicionadas aqui em breve. Se a(m) E a(n) = a(m), então m <= n. - Rémy Sigrist , 4 de abril de 2022 Ao que tudo indica, a(n)/n é limitado (provavelmente menor que 4 para todo n), e n/a(n) é ilimitado. Veja A352336 , A352359 , A352917 - A352923 e as conjecturas ali contidas. - David Broadhurst , 17 de abril de 2022 Esta também é uma tabela de consulta para uma estratégia do jogo misere-Nim de 2 jogadores e 2 heaps (onde uma posição vencedora é indicada por uma soma XOR Nim dos 2 heaps igual a zero). Veja, por exemplo, A048833 . - RJ Mathar , 29 de abril de 2022 O análogo da teoria dos conjuntos de A093714 é essencialmente a mesma sequência que esta. A definição é: b(0) = 0; daí b(n+1) = menor inteiro não negativo ausente que seja diferente de b(n)+1 e cuja expansão binária não tenha nenhum bit 1 em comum com a expansão binária de b(n). Isso começa com 0, 2, 1, 4, 3, 8, …, e b(n) = a(n) para n > 2. - NJA Sloane , 7 de maio de 2022
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