Новая российская геометрия Нийенхейса .
Исторически геометрия возникла как учение о свойствах фигур. Она имела огромное значение для межевания земли и строительства, но затем стала не только набором полезных практических приемов. Современная геометрия рассматривает не просто фигуры на плоскости или в трехмерном пространстве, а объекты, которые могут вообще не принадлежать к нашему привычному миру. Бесконечномерное пространство, преобразование всего пространства в компактную сферу, манипуляции с многомерными фигурами — все это вполне обыденно для специалистов. Причем часто «противоречащие здравому смыслу» концепции оказываются полезны на практике — например, теория относительности Эйнштейна выросла из идеи о римановом пространства, свойства которого отличаются от привычного трехмерного пространства, описанного в учебнике для средней школы.
Впрочем, математика занимается идеальными объектами и их свойствами не потому, что это может оказаться полезно физикам или инженерам. Полезность тут скорее важный бонус, а первостепенно то, что это просто интересно.
Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа.
~Блаженный Августин
Расстояния в реальном и не очень пространстве
Школьный курс можно свести к понятию точки, отрезка и угла: любую фигуру можно представить либо множеством отрезков, либо множеством точек, сгруппированных по какому-либо принципу в пространстве. Окружность — это все точки на одном расстоянии от центра на плоскости, квадрат — это равносторонний четырехугольник с прямыми углами — и так далее.
Геометрия предполагает — со времен древних греков — манипуляции с циркулем и линейкой. Причем линейка в классической планиметрии используется без делений, поскольку идеальный квадрат можно построить только при помощи циркуля и инструмента для черчения прямых. Геометрия долгое время была преимущественно наглядной дисциплиной, однако затем она породнилась с алгеброй за счет появления такой концепции, как координаты, и за счет введения в обиход понятия векторов.
Вектор — это отрезок, направленный в заданную точку. Вектора можно складывать вместе (тогда получается другой вектор) и умножать на какое-то число (тогда вектор растягивается или сокращается в том же самом направлении). А еще при наличии направленных в разные стороны векторов можно сделать так, что любой мыслимый вектор окажется их комбинацией: так, из двух непаралелльных отрезков на плоскости можно собрать любой вектор в той же плоскости.
Этот приём разложения векторов используется в идее координат. Два вектора (для удобства — под прямым углом, хотя это и не обязательно) задают базис и координаты любой точки можно записать всего парой чисел. Первое говорит нам, на сколько надо умножить первый базисный вектор, второе — на сколько умножается второй; далее эти должным образом растянутые или сжатые базисные вектора складываются и дают любой нужный вектор.
Зачем это нужно: не только чертежи и карты
Концепция координат широко используется на практике. Без нее невозможно построение точной карты или чертежа. Но кроме карт и чертежей, координаты могут использоваться для многого другого. Плоскость какого-нибудь графика — это тоже плоскость, для точек которой применимы все те же принципы.
Если у нас есть, к примеру, график «цена квартиры в зависимости от расстояния до центра и площади» (трехмерный, ведь это три разных оси), то близко расположенные точки будут соответствовать схожим по всем показателям квартирам. Расстояние между точками окажется мерой сходства, и риэлторская программа, подбирающая похожие варианты из большой базы данных, будет оперировать той же формулой, которая считает расстояние между точками на реальной карте.
Перенос идеи «расстояния» на многомерные абстрактные пространства оказался на редкость удачным. Эта идея работает везде — от онлайн-торговли («найти все похожие товары») до астрономии («выделить все астероиды со схожими характеристиками») и медицины («поставить диагноз, сравнив этот случай со всеми уже известными»).
Как считать расстояние и углы? Немного школьного курса
Расстояние в любом евклидовом пространстве (таком, к которому мы привыкли по нашему трехмерному окружению и по плоским поверхностям) считается через длину вектора. Если взять самый простой случай — когда вектор проведен из нулевой точки, из начала координат — то длина будет квадратным корнем из суммы квадратов координат его конца (или просто «координат вектора», поскольку про начало вектора уже известно, что оно в нуле).
Если нужно посчитать расстояние между двумя точками, которые обе расположены не в нуле — формула чуть усложняется и наглядно ее смысл можно тогда представить правилом «перетащить отрезок так, чтобы он начался в нуле — и потом посчитать через квадратный корень из сумм квадратов координат конца отрезка».
Кроме длины отрезков, для геометрии также важны углы. В обычном пространстве это имеет очевидные применения (зданиям хорошо бы иметь стены, перпендикулярные земле), а в разных менее очевидных задачах угол между векторами нужен для понимания того, в какую сторону происходит сдвиг. В том же примере с анализом рынка недвижимости непохожесть квартир по цене может быть критичнее (важнее) непохожести по расстоянию до центра, поэтому «сдвиг на 12 условных единиц» в сторону большей цены хорошо бы отличать от такого же смещения в сторону большей площади.
Рисунок автора
Наглядное — в линиях и отрезках дуги — понятие угла преобразуется в чистые числа при помощи тригонометрии. Угол можно достроить до прямоугольного треугольника, у которого будут два катета с прямым углом между ними и гипотенуза; отношение этих отрезков между собой однозначно задают величину угла. Угол с синусом ½ — это угол в треугольнике, где дальний от угла катет вдвое короче гипотенузы; величина этого угла в радианах равна арксинусу от ½. Зная синус угла, можно рассчитать и сам угол; кроме того, через тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) решается огромное количество физических задач с разнонаправленными векторами.
Зачем это нужно: вся физика
Вектором может выражаться какая-нибудь физическая величина. Сила, например, имеет и величину, и направление — поэтому это вектор. Векторные величины — это скорость, ускорение, импульс, напряженность электрического поля и многое другое: поэтому без векторов и тригонометрии, без операций с расстояниями и углами немыслима не только современная, но и элементарная физика.
В быту векторная природа сил наглядно проявляет себя при перетаскивании тяжестей, особенно вдвоем: важно не только то, с какой силой тянут или поднимают предмет, но и то, в каком направлении это делают.
Расстояние, которое не совсем расстояние
Формула, по которой выше считалась длина вектора — это знаменитая пифагорова формула, «Пифагоровы штаны во все стороны равны»(квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Но красота математики заключается в том, что можно придумать массу иных способов измерять расстояние — точнее, массу способов определить само понятие расстояния.
В беседе с одним из соавторов новой серии публикаций, Андреем Коняевым, всплыл такой неочевидный для нематематиков способ задать расстояние на плоскости: представим, что над этой плоскостью висит сфера, радиус которой равен единице. При этом сфера снизу — своим «южным полюсом» — касается той точки, где расположено начало координат на плоскости.
Рисунок автора
В обычном подходе расстояние от любой другой точки плоскости до начала координат считается по уже знакомой нам формуле — возвести в квадрат координаты по осям x и y, сложить и извлечь корень. Но можно сделать совсем иначе. Можно из этой же точки провести линию в верхнюю — самую дальнюю от плоскости — точку сферы, ее «северный полюс». Эта линия обязательно пройдет через сферу, пересекая ее в одном-единственном месте; так точке на плоскости будет поставлена в соответствие своя точка на сфере, причем это соответствие окажется уникальным, «взаимно однозначным» на языке математиков.
Далее мы формально имеем полное право сказать, что расстояние между началом координат и любой точкой на плоскости — это длина дуги от южного полюса сферы до точки на сфере. Вся бескрайняя плоскость преобразуется в маленькую сферу и, конечно, пользоваться таким «расстоянием» будет во многих случаях очень неудобно. Но формально так сделать можно, и тут возникает резонный вопрос — а как еще можно поступить с геометрией? Какие еще способы определять расстояния и углы существуют? Что отличает математическую фантазию от бессмыслицы, наконец?
Векторное пространство
Вектора могут быть любыми. На плоскости вектор задается двумя числами и может быть представлен как комбинация двух непаралелльных векторов, которые предварительно умножили на некие числа (математики говорят о «линейной комбинации базисных векторов») — поэтому векторов может быть, как и чисел, бесконечно много. А раз так, то логично рассмотреть векторное пространство.
Векторным пространством называют бесконечное множество векторов, которые можно складывать (получая новые вектора) и умножать на число (тогда, как мы уже отмечали, вектор меняет свою длину). Также в таком пространстве можно выбрать набор базисных векторов и написать формулу, сводящую («раскладывающую») любой вектор к линейной комбинации векторов базиса:
x = a1e1 + a2 e2 + … an en
Буквами e обозначаются базисные вектора, буквами a — коэффициенты, на которые их умножают; это могут быть любые числа. Нижние индексы от 1 до n обозначают то, какой именно базисный вектор мы берем для построения нашего вектора x и для плоскости n равно двум (x = a1e1 + a2 e2), а для пространства — трем (x = a1e1 + a2 e2 + a3 e3). Если рассматривать индексы 4, 5 и так далее — то начинаются случаи с многомерным пространством.
Базовая формула работает и на плоскости, и в 12-мерном пространстве, меняется только число слагаемых. Важно только то, чтоб ни один из векторов e не был сам сводим к комбинации всех прочих — математики называют такие вектора линейно независимыми.
Операторы, функционалы и формы
В векторном пространстве есть не только правила сложения векторов и выделенный базис. Важными и интересным объектом являются процедуры, которые превращают векторы во что-то иное: например, делают из них другие векторы. Наглядные примеры: поворот плоскости, зеркальное отражение и пропорциональное сжатие/растяжение всего, что на ней находится.
Процедура, превращающая одни векторы в другие с сохранением ряда из свойств (про это чуть ниже) — называется линейным оператором. Превращение вектора в какое-либо число — это линейный функционал, а двух векторов в число — билинейная форма; во всех случаях важно, что преобразования линейны.
Или, иными словами, везде сохраняется принцип «от перемены мест результат не меняется». Если вектор домножить на число и потом подействовать на него линейным оператором или линейным функционалом — результат получится такой же, как если бы сначала применили одну из этих процедур, а уже потом домножили результат (вектор или число) на тот же самый коэффициент. Если два вектора сложили и потом подействовали процедурой — получится то же самое, как если бы сначала была процедура, а потом сложение.
А вот если взять множество всех линейных функционалов — преобразований векторов в числа — то оно вдобавок окажется само по себе векторным пространством. Результатом применения каждого линейного функционала по отношению является число, но вот сами линейные функционалы — уже вектора. И их тоже можно складывать и домножать на число. Такое сложение менее наглядно, чем операции со стрелочками на плоскости, но математически для линейных функционалов выполняется два важнейших правила:
f(u+v) = f(u) + f(v)
- линейный функционал f, действующий на сумму векторов, дает то число, которое получилось бы при сложении чисел, получающихся при действии того же функционала на каждый из векторов по отдельности.
f(a u) = a f(u)
- умножение на число самого вектора равнозначно умножению на то же самое число результата применения линейного функционала к вектору.
Эти правила — те самые критерии линейности. Если они применимы к чему угодно, это «что-то» — линейное пространство. Пространство, построенное из линейных функционалов называют двойственным (к исходному векторному пространству: тому, на вектора которого эти линейные функционалы действуют).
Давайте назад к реальности
Линейные операторы могут показаться исключительно абстрактным понятием, которое никому, кроме математиков, не нужно. Но это не так: ведь преобразование одних векторов в другие соответствует множеству насущных задач.
Коррекция фотоснимков с увеличением или уменьшением оных, с растягиванием и сжатием, всевозможные оптические расчеты, построение изображений в зеркалах — все это примеры применения линейных операторов. Вся компьютерная графика основана на использовании этих абстрактных объектов, так что современных игр и фильмов без аналитической геометрии и линейной алгебры просто бы не существовало.
Билинейная форма, делающая из двух векторов число — это тоже далеко не плод чистого воображения в отрыве от всякой реальности. Пример билинейной формы — так называемое скалярное произведение векторов; именно оно используется в известной школьной формуле для кинетической энергии: e = mv2/2. Скорость v вообще-то вектор, поэтому возвести её в квадрат — это использовать специальную операцию. Для простоты в школе просто умножают скорость саму на себя, но при честном подходе в этой известной формуле используется билинейная форма. Другая формула из курса седьмого класса: работа равна произведению силы на перемещение груза; тут тоже нужна билинейная форма, поскольку перемещение и сила есть векторы, а работа измеряется числом.
Дальше к абстракции: бивекторы
Математики (и сейчас мы не про наших героев, авторов нового исследования, а про все сообщество в прошлом) не ограничились тем, что придумали преобразования векторов в числа и построение двойственного пространства, которое само составлено из отдельных преобразований векторов в числа. Они предложили взять это двойственное пространство (из векторов) и применить к нему билинейную форму. Которая, напомним, превращает два вектора в число.
То есть в итоге выстраивается многоуровневая абстракция. Вначале берется пространство, где есть множество векторов — и таким пространством может быть привычное нам пространство или плоскость в их обычном, нематематическом, представлении. Далее это пространство превращается линейными функционалами в набор чисел, но при этом все линейные функционалы оказываются векторами сами по себе и формируют другое пространство, называемое двойственным к исходному. А уже в этом двойственном пространстве можно пару векторов (которые на самом деле линейные функционалы, действующие в другом пространстве!) превратить в числа.
Делающая из пары векторов f и g число билинейная форма Z в данном случае называется бивектором Z(f,g). Правда, при этом нужно еще одно условие: Z(f,g) = -Z(g,f) — поменяв вектора местами, знак получаемого числа меняется на противоположный.
И вот тут, конечно (а то и раньше), у любого читателя возникает законный вопрос — а зачем вообще такие сложности?
Чтобы что?
Все эти манипуляции с преобразованиями векторов в числа по разным правилам позволяют рассмотреть переход от одной системы координат к другой. А это уже не только абстрактная математика, а масса насущных задач — от теории относительности до расчета деформации балок в каркасе здания. Везде, где надо посмотреть на нечто с разных точек зрения, сравнивая разные системы координат — везде возникает задача перехода от одного набора базисных векторов к другому.
В теории относительности разные системы координат могут быть привязаны к Земле и спутнику глобальной навигационной системы — и надо понимать, как именно изменится картина при переходе от приемника на поверхности к передатчику на спутнике. А для проектирования зубных имплантов (казалось бы, где тут алгебра?) нужно рассмотреть поведение костной ткани, которая при жевании сжимается, перекашивается и скручивается — система векторов внутри челюсти тоже как-то преобразуется и для адекватного проектирования протеза хорошо бы знать, как именно это происходит. Деформируемые материалы, искривление пространства гравитационным полем, прогиб подвешенных поверхностей — те задачи, когда «изменение геометрии» уже вовсе не абстракция.
Матрица: перезагрузка базиса
Вернемся к самому первому пространству — тому, которое составлено из обычных векторов, а не из тех векторов, которые на самом деле линейные функционалы. В этом пространстве есть некоторый базис, то есть набор векторов от e1 до en; линейный оператор берет вектор X = x1e1 + x2e2 + … + xnen и превращает его в какой-то другой вектор Y. Который можно тоже записать в виде комбинации из n базисных векторов — вот только это уже другое пространство и другой базис.
Поэтому для такого преобразования нужно в итоге n2 чисел. Сначала рассчитываются все новые базисные вектора (для этого потребуется n коэффициентов — каждый новый базисный вектор собирается из n старых), а потом из этих n новых базисных векторов при помощи n дополнительных коэффициентов собирается итоговый новый вектор. Билинейная форма и бивектор (билинейная форма, но действующая на пространстве из линейных функционалов) тоже характеризуются наборами из n2 чисел; n это число базисных векторов. Или, что несколько проще, размерность пространства: n=2 на плоскости и n=3 в привычном нам мире.
Причем эти наборы чисел полностью определяют что линейный оператор, что билинейную форму, что бивектор. Математики говорят, что всем трем объектам соответствуют матрицы n x n, квадратные таблицы чисел. А кроме матрицы объект — оператор, билинейная форма или бивектор — характеризуется также тем, как матрица меняется при переходе от одного базиса (системы координат) в исходном пространстве к другому.
Чтобы не запутаться: Линейный оператор преобразует вектор в другой вектор. Для описания его работы нужна матрица, которая позволяет собрать сначала новый базис из старого, а потом новый вектор на основе этого нового базиса. Это одно преобразование пространства и сопутствующих координат (базиса), но можно рассмотреть другое — когда в изначальном пространстве выбирают какую-то иную систему координат. Повернув, например, оси под 45 градусов по часовой стрелке или вовсе сделав угол между ними равным не 90, а 85 градусов, перекосив всю координатную сетку на манер параллелограмма.
Матрицы: зачем они нужны
Квадратная таблица чисел возникает в математических задачах сплошь и рядом в ситуациях, когда есть дважды встречающийся набор из n чисел, разных или одинаковых. Например, при решении системы уравнений часто бывает так, что есть n переменных и тогда нужно минимум n независимых уравнений, в каждом из которых фигурируют все эти переменные в разных комбинациях.
А подобные системы уравнений (называемых линейными) встречаются в самых разных задачах, от экономического моделирования до трехмерной графики. Чипы видеокарт, которые ответственны за построение быстро меняющейся картинки в компьютерных играх, специально оптимизированы именно для параллельного решения множества линейных уравнений.
Тензор
Все эти объекты — линейный оператор, билинейная форма и бивектор — не зависят от первоначального выбора системы координат, сами по себе отображения остаются одними и теми же. А вот числа в соответствующих матрицах меняются, причем для оператора этот закон изменения матрицы при смене базиса — один, для билинейной формы — другой, для бивектора — третий.
Пара, состоящая из квадратной матрицы и закона ее изменения (одного из трех описанных выше) называется тензором второго ранга. И это то самое ключевое понятие в новой работе математиков, о которой шла речь в самом начале; более того, тензоры лежат в основании всей физики XX столетия. Это сложная, как можно видеть из написанного выше, но очень важная математическая идея.
Математики говорят, что тензор — это дополнительная структура на векторном пространстве, которая не зависит от выбора системы координат, но на смену базиса тензор реагирует в зависимости от своего типа. Билинейная форма, делающая из двух векторов некое число — это тензор типа (0,2). Бивектор, то есть билинейная форма, действующая в двойственном пространстве — снова тензор, уже типа (2,0); линейный оператор называют тензором (1,1) и возможен еще целый ряд вариантов, описываемых некоторым количеством чисел.
Не вдаваясь глубоко в теорию, скажем что тензор второго ранга — один из самых интересных объектов, потому что с его помощью можно определить геометрию. То есть применить их к двум насущным вопросам: как измерять расстояния и как измерять углы в каком-либо пространстве.
Вся логическая цепочка в одном коротком параграфе:
Геометрия — это про то, как измерять расстояния и углы;
Для измерения расстояний и углов нужны вектора, которые представимы и в виде отрезков, и в виде набора чисел. Набор чисел задается через базис — набор векторов, который позволяет описать все остальные через свою комбинацию; Вектора можно складывать и умножать на число, а также подвергать действию разных процедур — линейных операторов (вектор превращается в вектор), линейных функционалов (вектор становится числом) и билинейных форм (пара векторов становится числом);
Линейные функционалы сами можно рассматривать как вектора и такие вектора формируют некое пространство, называемое двойственным;
В двойственном пространстве, раз уж оно векторное, можно использовать билинейные формы — и тогда эти формы называют бивекторами;
Бивекторы, линейные операторы и билинейные формы можно описать через пару из матрицы (квадратная таблица из чисел, указывающий на то, как преобразуются выбранные вектора) и закона изменения этой матрицы при смене базиса; Эта пара «матрица + закон изменения оной при смене координат» — называется тензором второго ранга.
Поле
Поскольку тензор — это про координаты и вектора — то он сразу и про геометрию. Но перед тем, как перейти к описанию разнообразных поверхностей, стоит рассказать о еще одной математической идее: поле. Тем более что идея поля опять-таки очень широко проникла по меньшей мере в естественные науки — идея электромагнитного или гравитационного поля связана с математическим полем напрямую.
Поле — это когда каждой точке сопоставлено число, вектор или иной математический объект. В электродинамике каждой точке пространства соответствует вектор напряженности электрического поля; в строительной физике каждой точке здания соответствует свое значение температуры (температурное поле) и вообще поля могут быть какими угодно — вплоть до какого-нибудь поля притягательности клиентов для маркетологов.
Тензор определяет геометрию
В своей работе математики взяли гладкую двумерную поверхность в трехмерном пространстве: слово «гладкий» означает, что острых краев и разрезов в ней не было и для дальнейших выкладок такая гладкость играла важную роль. К гладкой поверхности в любой точке можно провести касательную плоскость к ней — и затем рассматривать эту плоскость как двумерное евклидово пространство.
Где векторное пространство, пусть и двумерное — там и всё, что можно с ним сделать, все линейные операторы, билинейные формы, двойственные пространства и бивекторы. Применяя все перечисленные выше конструкции, математики смогли задать тензоры второго ранга всех трех видов — (0,2), (1,1) или (2,0). Таким образом, каждой точке поверхности ученые сопоставили некоторый тензор — эта конструкция называется тензорным полем.
Как оказалось, подобное тензорное поле для всех трех типов тензоров определяет геометрическую структуру. Главный результат серии работ трех выпускников мехмата МГУ заключается в том, что тензорное поле, определяемое операторами типа (1,1) — теми, что получаются из линейных операторов — приводит к богатой и интересной геометрической структуре на многообразии (то есть какой-то поверхности, причем не обязательно двумерной). Ранее другие исследовательские группы показывали, что интересные результаты можно получить из тензорных полей вида (0,2) и (2,0) были известны, а вот тензорными полями (1,1) никто толком не занимался.
Тензорные поля и какие они бывают: пространство-время
Тензорное поле, как можно было видеть из всего написанного выше — штука довольно сложная. Тем не менее, они довольно активно используются в ряде задач, особенно если говорить о полях с тензорами (0,2) и (2,0). То есть о таких, где в основе лежит билинейная форма, превращение пары векторов в число — и бивектор, разновидность билинейной формы, примененной к двойственному пространству.
Случай тензорного поля из билинейных форм — это так называемый метрический тензор. Операция, которая делает из двух векторов одно число, является так называемым скалярным умножением векторов и она широко используется для вычисления расстояний, углов и кривизны поверхности… или, если говорить о теории относительности, кривизны пространства-времени.
Метрический тензор на примере плоскости выглядит довольно просто, как квадратная матрица такого вида:
У нее есть четыре компонента, которые можно обозначить, например, как gxx, gxy, gyx и gyy. И эти компоненты на самом деле входят в одну знакомую с 8 класса школы формулу — теорему Пифагора. Вот как записывается школьная формула (квадрат гипотенузы, длина которой обозначена s, равен сумме квадратов катетов x и y):
s2 = x2 + y2
А вот та же формула, записанная в общем виде и в предположении, что у нас речь идет об очень маленьком треугольнике:
s2 = gxxx2 +gxyxy +gyxyx + gyyy2
Если сюда подставить компоненты тензора g, то есть числа из показанной выше матрицы — получится тот самый школьный вид, поскольку gxyxy обратится в ноль из-за равного нулю gxy (и аналогично с gyx). Для пространства-времени — где уже не 2 измерения, а 4 — схожая формула оперирует метрическим тензором несколько иного вида:
И задаваемый этой формулой интервал (не расстояние, а интервал — речь про пространство-время!) считается как:
s2 = (ct)2 — (x2 + y2 + z2)
Если пространство-время искривляется гравитационным полем, то компоненты метрического тензора тоже меняются и вместе с ними меняется способ рассчитывать расстояния между точками. Предметы в гравитационном поле не просто сжимает и деформирует — само пространство становится иным, а время начинает идти медленнее. Изнутри такой области при этом кажется, что все в порядке: ведь меняется само определение расстояний и времени, все линейки и часы тоже подчиняются четырехмерной псевдоримановой геометрии.
«Любое гладкое тензорное поле с определенным дополнительным условием на тензор определяет на многообразии так называемую риманову геометрию. Сильно упрощая, можно сказать, что двумерное риманово многообразие — некоторое искривление плоскости, вложенное в трехмерное пространство» — говорит Андрей Коняев.
Тензорное поле вида (0,2), то есть метрический тензор, определяет геометрию, обобщающую привычные геометрические объекты на плоскости и в пространстве. А тензорное поле (2,0) состоящее из бивекторов, тоже определяет геометрическую структуру — менее наглядную, чем риманова или псевдориманова, но тоже очень полезную, в том числе и в физике. Речь идет о скобках Пуассона, математическом объекте, который применяется уже не просто к векторам, а к функциям. И, сверх того, использует понятие производной.
NB: Рассказ про скобки Пуассона (следующие пять абзацев) можно b пропустить без принципиального ущерба для понимания.
В физике производные часто появляются в задачах о движении каких-либо тел. Если положение тела в пространстве задается координатами, которые меняются со временем (и тогда их записывают как x(t) и y(t) — это функция от времени), производная будет выражать скорость. И довольно часто ученые используют так называемое фазовое пространство: когда ось координаты дополняется осью скорости.
На первый взгляд это ненужное и излишнее усложнение: ведь тем самым число осей и тем самым размерность пространства увеличивается в два раза и уже простая задача о колебании грузика на пружинке вдоль одной оси или качающемся маятнике становится задачей на плоскости. Однако если нарисовать такое фазовое пространство и отобразить движение того же маятника — получится неожиданно простой и красивый результат в виде окружности. А если маятник не идеальный, а реальный, с затуханием колебаний, то получится спираль, поскольку и скорость, и амплитуда колебаний постоянно снижаются:
Фазовое пространство не просто дает неожиданно наглядную и красивую картинку. Введение «координаты», которая на самом деле не координата, а скорость, также упрощает решение дифференциальных уравнений, то есть уравнений, где фигурируют производные. «Это особый язык для описания физической системы: сначала повысили размерность, перейдя в двумерное пространство, затем ввели на этом фазовом пространстве достаточно произвольным образом геометрическую структуру, потом нашли подходящий гамильтониан. С одной стороны многие свойства физической системы определяются геометрией фазового пространства, с другой стороны, геометрические структуры на фазовом пространстве могут быть одинаковыми для разных дифференциальных уравнений.
Интерес к геометрии Пуассона возник благодаря работам Алана Вайнштайна, который доказал теоремы о расщепимости и линеаризации — его работы показали, что соответствующая геометрическая структура нетривиальна. Геометрия Пуассона — типичный пример того, как возникает новое математическое направление: отдельные результаты, аналогичные теоремам, которые доказал Вайнштайн, были известны математикам задолго до выхода его статей, важный вклад американского ученого состоял в том, что он обобщил и систематизировал их, грубо говоря, собрал набор инструментов для дальнейшей работы.
С помощью этих инструментов математик российского происхождения Максим Концевич сумел с позиций геометрии Пуассона проанализировать так называемое деформационное квантование, которое позволяет осуществлять переход от классической к квантовой механики. За эти работы Концевич дважды — в 2012 и 2014 годах — получил престижную премию Breakthrough Prize in Mathematics, а геометрия Пуассона выросла в достаточно популярное и плодовитое направление в современной математике.
Отметим еще раз, что для того, чтобы скобка Пуассона была правильно определена, а геометрия Пуассона, соответственно, получилась интересной, на исходное бивекторное поле нужно, как в и случае с римановой/псевдоримановой геометрией наложить определенные условия: оно должно удовлетворять тождествам Якоби, особым уравнениям, которые, грубо говоря, определяют, как могут выглядеть соответствующие бивекторам матрицы.
«Новая геометрия» (ура, наконец-то)
Итак, остался последний случай — на некотором многообразии задано тензорное поле вида (1,1), то есть в любой точке некоторой поверхности определен линейный оператор. Серия новых работ российских математиков, о которой мы и рассказываем в этой статье — это первые шаги к описанию новой геометрии, которая определяется этим тензорным полем. Для того, чтобы геометрия оказалась интересной, как и в двух предыдущих случаях, нужно наложить дополнительное условие.
Это условие — равенство нулю особого выражения, которое называется тензором Нийенхейса по имени нидерландского математика Альберта Нийенхейса. Пусть L — тензорное поле вида (1,1). Для любых двух векторных полей u,v (то есть заданных в каждой точке нашего многообразия векторов касательного пространства) в ноль должно обращаться выражение
Здесь [.,.] обозначает коммутатор векторных полей, некоторую операцию, сопоставляющую паре векторных полей новое векторное поле. Ее точное определение мы здесь приводить не будем, скажем только, что для него используется тот факт, что векторное поле можно научить действовать на функции заданные на том же многообразии.
Оператор (операторное поле), для которого тензор Нийенхейса обрезается в ноль, называется оператором Нийенхейса. Такие объекты возникали в разных математических приложениях и раньше, но вот к связанной с ним геометрической структуре системно подойти не пытались. Изучению многообразий Нийенхейста — то есть многообразий, на которых заданы операторы Нийенхейса — и посвящены работы авторов. В частности, математикам удалось доказать результаты, аналогичные теоремам Вайнштайна для геометрии Пуассона — о расщеплении и линеаризации. Как и в том случае, эти свойства означают, что новая геометрия Нийенхейса — нетривиальная, интересная для исследования и потенциально обещающая интересные результаты структура.
Один из авторов серии работ, Андрей Коняев, объясняет, что богатство геометрии Нийенхейса — фактически случайно найденный клад. Два соавтора Коняева, работающие в Великобритании Алексей Больсинов и Иван Матвеев, занимались проективной классификацией метрик, сам Андрей Коняев разбирался с некоторыми задачами из области интегрируемых систем на алгебрах Ли. С этих двух разных сторон ученые пришли к одному и тому же объекту — оператору Нийенхейса, и им удалось доказать для многообразий Нийенхейса теорему о расщеплении, теорему о линеаризации и ряд других результатов. «Эта геометрия оказалась с одной стороны обозримой, а с другой — достаточно богатой, — говорит Коняев. — И в ней можно задавать вопросы, которые обычно возникают в геометриях, в частности, в Пуассоновой геометрии. Интересно, что ответы на них — похожие, а методы — совсем другие, то есть новая геометрий — принципиально отличается».
Коняев подчеркивает, что пока сделаны только первые шаги к описанию новой геометрической структуры и рано говорить о том, что геометрия Ниейенхейса разовьется в большое самостоятельное направление науки, как геометрий Пуассона после систематизирующих работ Алана Вайнштейна. Однако, потенциальные физические приложения нийенхейсовской геометрии авторы уже видят: например, такого рода структуры возникают в задачах о системах гидродинамического типа.
Статья подготовлена при самом деятельном участии Алексея Тимошенко
https://ift.tt/2ZuX8Ol