mathematical tinkering

Kuma who?

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Was ist das kleine Rhombenikosidodekaeder?

Das kleine Rhombenikosidodekaeder ist ein Körper, der von 20 gleichseitigen Dreiecken, 30 Quadraten und 12 regelmäßigen Fünfecken gebildet wird. 

Der Körper heißt auch "abgeschrägtes Dodekaeder" oder "abgeschrägtes Ikosaeder". 

Neben den 20+30+12=62 Seitenflächen hat das Rhombenikosidodekaeder 120 Kanten und 60 Eckpunkte. 

Die Diagonalen der Fünfecke und der Quadrate sind die Flächendiagonalen des kleinen Rhombenikosidodekaeders.   Das Fünfeck hat 5, das Quadrat 2 Diagonalen.  Das führt zu insgesamt 12*5+30*2=120 Flächendiagonalen.

Von jedem der 60 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind 4 Flächendiagonalen und 4 Kanten. In 60-8=52 Punkten enden dann Raumdiagonalen. Das führt zu insgesamt (1/2)*60*51=1530 Raumdiagonalen des kleinen Rhombenikosidodekaeders.

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Dualität von Pentagondodekaeder und Ikosaeder Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenfünfecke eines Pentagondodekaeders, entsteht innerhalb ein Ikosaeder. Analog entsteht innerhalb eines Ikosaeders, wenn die Mittelpunkte der Seitendreiecke miteinander Verbunden werden, ein Pentagondodekaeder. Man spricht von dualen Körpern.

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Was ist ein Hexahexaflexagon?

Ein Hexaheaxflexagon ist ein Sechseck, das man aus einem Streifen aus gleichseitigen Dreiecken faltet. Der Gag besteht darin, dass man das Sechseck in der Mitte öffnen kann. Dabei erscheinen immer neue Sechsecke, die vorher verborgen waren. Insgesamt könne sechs verschiedene Flächen oben liegen.

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Viele Pflanzen weisen in ihrem Bauplan Spiralen auf, deren Anzahl durch Fibonacci-Zahlen gegeben sind, wie beispielsweise bei den Samen in Blütenständen, bei der Blattstellung oder der Blattanzahl. Das ist dann der Fall, wenn der Winkel zwischen benachbarten Blättern oder Samen bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel ist. Hintergrund ist der Umstand, dass die rationalen Zahlen, die den zugrundeliegenden Goldenen Schnitt am besten approximieren, Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen sind. Dadurch wir der denkbar ungünstigste Fall vermieden, dass ein Blatt genau senkrecht über dem anderen steht und sich so die jeweils übereinanderstehenden Blätter maximalen Schatten spenden oder maximale "Lichtlücken" entstehen.

...erstaunlich, wie sich die Mathematik der Fraktalen, des goldenen Schnitts,  Phi und der Fibonacci-Zahlen in sämtlichen Formen der Natur widerspiegelt.