#euler-lagrange

[unpeudephysique]

Le théorème de Noether

Amalie Emmy Noether est une mathématicienne allemande décrite par Albert Einstein comme « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ». Le théorème de Noether joue un rôle central en mécanique quantique.

Le théorème de Noether démontre qu’il y a équivalence entre la conservation d’une grandeur en physique classique et l’existence d’une classe de transformations qui laisse invariante les lois physiques d’un système. L’invariance des lois physiques d’un système dans une transformation porte le nom de symétrie du système.

Nous allons démontrer le théorème de Noether dans un cas particulier : l’équivalence ente l'invariance par translation dans le temps et la conservation de l'énergie.

Soit L(q,q_point) le Lagrangien d’un système quelconque. La condition de symétrie par rapport au temps induit qu’il ne doit pas dépendre explicitement du temps. Sa dérivée par rapport au temps ne doit donc pas contenir de terme en dL/dt :

Combinons cette formule avec l’équation d’Euler-Lagrange :

Il vient :

Ceci conduit à l’équation remarquable suivante :

On peut donc déduire de la seule condition de symétrie par rapport au temps que l’expression suivante :

est invariante. On vérifie facilement que cette expression est celle de la conservation de l’énergie du système.

On peut démontrer de la même façon que :

l'invariance par translation dans l'espace selon une direction donnée entraîne la conservation de la quantité de mouvement dans la même direction ;

l'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment angulaire ;

dans la théorie de la relativité restreinte, l’invariance par transformation de Lorentz entraîne la conservation du vecteur énergie-impulsion.

Symétries en mécanique quantique

Soit une symétrie S et un opérateur A définis dans un espace de Hilbert. Par définition de la symétrie on peut écrire : 

En mécanique quantique, les symétries sont souvent associées à un groupe de Lie (voir les posts consacrés aux groupes de Lie). Dans ce cas S peut être représenté par un opérateur unitaire U(g), g faisant partie d’un groupe G :

Si le groupe G est continu et différentiable, on peut exprimer U en fonction d’un paramètre réel tau et d’un générateur infinitésimal du groupe de symétrie qui prend la forme d’un opérateur hermitien B :

Un opérateur hermitien peut être associé à une observable, c’est-à-dire à un opérateur de mesure. Si le système est invariant, son hamiltonien est laissé inchangé par l’application de l’opérateur unitaire U. Cela se traduit par le fait que l’opérateur hamiltonien commute avec B.

Théorème d’Erhenfest

Soit Bmoy la valeur moyenne du résultat des mesures obtenues avec l’opérateur B :

Nous allons nous intéresser à son évolution dans le temps :

L’équation de Schrödinger nous permet d’écrire : 

Comme par ailleurs :

il vient :

On obtient donc le résultat tout à fait fondamental suivant : non seulement B agit comme un générateur infinitésimal de la symétrie mais, en tant qu’observable, B est associé à une quantité physique conservée dans le temps. C’est la transcription en physique quantique du théorème de Noether.

On entrevoit ici le caractère particulièrement puissant du formalisme de l’algèbre de Lie en mécanique quantique. Il permet de d’associer aux opérateurs de symétrie une observable correspondant à une grandeur physique conservée au cours des évolutions du système !

Nota : Paul Erhenfest est un physicien autrichien, ami de Bohr et d’Einstein, qui contribua au développement de la mécanique quantique.

Pour en savoir plus :

posts sur la mécanique quantique 

post sur le formalisme quantique

post sur les espaces vectoriels et les groupes de Lie

post sur les algèbres de Lie

formalisme quantique

groupes et algèbre de Lie

index

[unpeudephysique]

Eléments de mécanique relativiste

Considérons le cas d’une particule suffisamment petite pour que sa masse et son déplacement ne perturbent pas l’espace-temps. La théorie de la relativité générale nous dit qu’une particule libre (c’est à dire soumise aux seules forces de la gravitation) suit un mouvement inertiel dans cet espace-temps.

Dans l’espace euclidien de la mécanique newtonienne, un corps en mouvement inertiel suit une ligne droite. La ligne droite est le plus court chemin pour aller d’un point à un autre. Dans l’espace courbe de la relativité générale, le plus court chemin pour aller d’un point à un autre est une géodésique. Une particule libre suit donc une géodésique.

Nous avons montré dans un post précédent que les points d’une géodésique respectaient l’équation suivante :

Dans cette équation, les coefficients Gammakmunu sont les symboles de Christoffel de la métrique gmunu.

Conservation du vecteur vitesse

Nota : Dans tout ce qui suit, nous utiliserons un système d’unités dans lequel la vitesse de la lumière c = 1. .

La démonstration de l’équation des géodésiques s’appuie sur des considérations purement géométriques. Il n’est pas inutile de la resituer dans un contexte plus « mécanique » pour se convaincre de sa pertinence et en comprendre la signification. Revenons donc à notre particule de faible masse. Comme nous l’avons indiqué plus haut, les lois de la mécanique newtonienne nous indiquent qu’en l’absence de toute force extérieure une telle particule suit un mouvement inertiel. Un mouvement inertiel est caractérisé par la conservation du vecteur vitesse :

Nous allons chercher à transposer cette condition dans l’espace-temps de la relativité générale. Soit valpha le quadrivecteur vitesse de la particule considérée. La conservation du quadrivecteur vitesse au cours du mouvement inertiel de cette particule conduit à écrire :

tout au long de la trajectoire. Dans un cadre classique (euclidien) cela revient à écrire :

équation dans laquelle xbeta représente les coordonnées de la particule le long de sa trajectoire. Comme nous l’avons vu dans les posts d’introduction aux tenseurs, ceci n’est pas applicable dans un espace courbe. Il faut utiliser la notion de dérivée covariante en lieu et place de la dérivée partielle pour s’affranchir des termes parasites liés à la courbure. Ceci conduit à écrire :

L’opérateur Nablabeta étant l’opérateur de dérivée covariante suivant la coordonnée d’indice beta (le symbole Nabla est représenté par un triangle inversé). Or, par définition du quadrivecteur vitesse, on a :

Ceci amène à la formulation suivante :

C’est la condition de conservation du quadrivecteur vitesse d’une particule tout au long de sa trajectoire. Sachant que, par définition de la dérivée covariante :

il vient :

… ce qui nous ramène à l’équation des géodésiques :

Une particule dont le quadrivecteur vitesse est conservé suit donc une géodésique.

Analysons cette formule. Son équivalent en mécanique classique est l’équation gamma = 0 ( gamma étant l’accélération) qui indique qu’une particule suit un mouvement uniforme. Or, en mécanique relativiste le mouvement inertiel intègre les effets de l’attraction gravitationnelle. Il n’est donc pas anormal que le terme d’accélération (la dérivée seconde de xalpha) ne soit pas nul. D’une certaine manière, on peut dire que, dans l'espace-temps de la relativité générale, le champ gravitationnel se manifeste au travers du symbole de Christoffel. C’est le terme Gammaalphasigmabeta qui conduit à ce que nous interprétons comme « l’accélération de la particule » en mécanique classique.

Formulation lagrangienne

Au cours du XVIIIème siècle Joseph-Louis Lagrange a reformulé les lois de la mécanique newtonienne en les dérivant du principe de moindre action. C’est d’ailleurs en hommage à sa contribution décisive à la mécanique qu’on écrit aujourd’hui ce principe en utilisant une quantité appelée « lagrangien ».

En l’absence de tout potentiel de force, le lagrangien représente l’énergie cinétique du système considéré. Il est tentant d’adapter cette notion à la relativité en définissant un lagrangien relativiste qui peut s’écrire comme suit :

Si le principe de moindre action continue de s’appliquer au mouvement d’une particule dans l’espace-temps de la relativité générale, on doit pouvoir retrouver l’équation des géodésiques en recherchant la trajectoire qui minimise l’intégrale du lagrangien L. La solution à ce problème s’obtient une fois encore en appliquant le théorème d’Euler-Lagrange :

Le tenseur gmunu ne dépend pas explicitement de x_pointmu. On peut donc écrire l’équation qui précède sous la forme suivante :

Développons le deuxième terme :

En renommant convenablement les indices qui apparaissent dans les sommes (leur choix est arbitraire), l’équation d’Euler-Lagrange peut s’écrire :

Cette équation est précisément celle qui nous a conduit à l’équation des géodésiques :

Il y a équivalence entre les deux approches : celle issue de la géométrie et celle issue de la mécanique lagrangienne.

Invariance du quadrivecteur impulsion

On peut remarquer que l’équation du lagrangien est l’expression du carré de la norme du quadrivecteur vitesse multiplié par 1/2m. Or la norme de la quadrivitesse est égale à 0 ou à 1 selon que la particule est un photon ou une particule massive (c’est un résultat que nous avons déjà rencontré dans les posts consacrés à la relativité restreinte) :

Il suffit pour s’en convaincre d’écrire que :

Or, dans le cas d’une particule massive, il y identité entre ds et dtau alors que, dans le cas d’un photon, ds est nul.

On peut donc écrire pour n’importe quelle particule :

Cette équation est la forme relativiste de la loi de conservation de l’énergie. On peut aussi l’écrire sous la forme suivante :

Soit encore :

Où pmu représente le quadrivecteur énergie-impulsion de la particule, pmu sa forme covariante et m2epsilon2 l’énergie de masse (epsilon est égal à 0 pour un photon et à 1 pour une particule massive). Cette équation est l’extension à la relativité générale de la fameuse équation de conservation de l’énergie d’Einstein :

E2/c2 – p2 est en effet la norme du quadrivecteur énergie-impulsion dans l’espace-temps minkowskien et, par ailleurs, m2epsilon2 = m2c4 dans notre système d’unités (c = 1).

Si l’on reprend la définition de l’impulsion dans l’approche lagrangienne de la mécanique classique, on peut écrire (voir les posts sur la mécanique newtonienne) :

Ceci est aussi applicable en relativité générale :

(Le terme de dérivée apparaît deux fois et gmunu ne dépend pas explicitement de x_pointmu.) Reprenons l’équation d’Euler-Lagrange appliquée au lagrangien. On peut l’écrire comme suit :

En remplaçant L par sa valeur littérale il vient :

Ceci permet de mettre en évidence un résultat remarquable. La composante covariante de l’impulsion palpha d’une particule libre est invariante tout au long d’une géodésique si le tenseur métrique est indépendant de la coordonnée xalpha.

C’est une extension à la relativité générale d’un résultat bien connu en mécanique newtonienne : la conservation du moment cinétique. Le cas échéant, ce résultat s’applique également à la coordonnée temporelle x0. On retrouve dans ce cas l’équation de conservation de l’énergie puisque la composante temporelle du quadrivecteur énergie-impulsion d’une particule est égale à son énergie E divisée par c.

Pour en savoir plus :

post d’introduction aux tenseurs

post sur la dérivée covariante

post d’introduction à la relativité générale

post d’introduction à la relativité restreinte

post sur l’équation E = mc2 

post sur la mécanique newtonienne

post sur le principe de moindre action

post sur l’équation des géodésiques

index

[sayitwithscience]

Maximum Entropy Distributions

Entropy is an important topic in many fields; it has very well known uses in statistical mechanics, thermodynamics, and information theory. The classical formula for entropy is Σi(pi log pi), where p=p(x) is a probability density function describing the likelihood of a possible microstate of the system, i, being assumed. But what is this probability density function? How must the likelihood of states be configured so that we observe the appropriate macrostates?

In accordance with the second law of thermodynamics, we wish for the entropy to be maximized. If we take the entropy in the limit of large N, we can treat it with calculus as S[φ]=∫dx φ ln φ. Here, S is called a functional (which is, essentially, a function that takes another function as its argument). How can we maximize S? We will proceed using the methods of calculus of variations and Lagrange multipliers.

First we introduce three constraints. We require normalization, so that ∫dx φ = 1. This is a condition that any probability distribution must satisfy, so that the total probability over the domain of possible values is unity (since we’re asking for the probability of any possible event occurring). We require symmetry, so that the expected value of x is zero (it is equally likely to be in microstates to the left of the mean as it is to be in microstates to the right — note that this derivation is treating the one-dimensional case for simplicity). Then our constraint is ∫dx x·φ = 0. Finally, we will explicitly declare our variance to be σ², so that ∫dx x²·φ = σ².

Using Lagrange multipliers, we will instead maximize the augmented functional S[φ]=∫(φ ln φ + λ0φ + λ1xφ + λ2x²φ dx). Here, the integrand is just the sum of the integrands above, adjusted by Lagrange multipliers λk for which we’ll be solving.

Applying the Euler-Lagrange equations and solving for φ gives φ = 1/exp(1+λ0+xλ1+x²λ2). From here, our symmetry condition forces λ1=0, and evaluating the other integral conditions gives our other λ’s such that q = (1/2πσ²)½·exp(-x² / 2σ²), which is just the Normal (or Gaussian) distribution with mean 0 and variance σ². This remarkable distribution appears in many descriptions of nature, in no small part due to the Central Limit Theorem.