기묘하면서도 어이없어 보이는 아이디어가 있는데, 그것은 바로 어떤 식 자신의 괴델 수를 바로 그 식에 대입한다는 아이디어다. 이것은 "G선상의 아리아"에 나오는 기묘하면서도 어이없어 보이는 "콰인화"라는 개념과 아주 비슷하다. 그러나 콰인화는 재미있으면서 중요성이 있는 것으로 판명되었는데, 거기에서 그것은 자기-지시 문장(self-reference sentence)을 만드는 새로운 방식을 보여주었다. 콰인 형의 자기-지시는 우리가 그것을 처음 보았을 때는, 예기치 못한 것이라서 얼떨떨하다―그러나 일단 그 원리를 이해하고 나면, 우리는 그것이 아주 간단하면서도 멋지다는 것을 알게 된다. 콰인화의 산술 버전―그것을 산술 콰인화(arithmoquinning)라고 하자―을 이용해, 우리는 "자기 자신에 대하여" 말하는 TNT-문장을 만들 수 있다.
산술 콰인화의 보기를 하나 들어보자. 자유변수가 적어도 하나인 식이 필요하다. 다음 식은 조건을 충족한다.
a=S0
이 식의 괴델 수는 262,111,123,666이다. 이제 이 수를 이 식 자체에 대입하자―아니면 그 수의 수사를 대입하자. 그 결과는 다음과 같다.
SSSSS······SSSSS0=S0
262,111,123,666개의 S
이 새로운 식은 262,111,123,666이 1과 같다는 어처구니 없는 거짓을 주장하고 있다. 만일 우리가 ~a=S0이라는 문자열로 시작하고, 그러고 나서 산술 콰인화했다면, 참인 명제를 얻었을 것이다. 독자들 스스로 알 수 있다.
산술 콰인화를 할 경우, 우리는 물론, 앞에서 정의한 대체 조작 중 특별한 경우를 실행하는 것이다. TNT 안에서 산술 콰인화하는 것에 대해서 말하고자 한다면, 우리는
SUB{a'', a'', a'}
라는 stlr을 사용할 것이다. 이때 앞의 두 변수는 같다. 이것은 우리가 하나의 수를 두 가지 다른 방식으로 사용한다는 사실로부터 온다(칸토어의 대각선 논법의 일종!). a''라는 수는 (1) 원래의 괴델 수, 동시에 (2) 삽입-수이다. 앞의 식에 대한 축약을 고안해보자.
ARITHMOQUINE{a'',a'}
위의 식을 말로 풀면 다음과 같다.
괴델 수 a''인 식을 산술 콰인화해서 얻게 되는 식의 괴델 수는 a'이다.
그러나 이 문장은 길고 추하다. 이것을 요약하는 간결하고 우아한 용어를 도입하자. 같은 것을 의미하는 데에 다음과 같이 말할 것이다.
a'는 a''의 산술 콰인화이다.
예를 들면, 262,111,123,666의 산술 콰인화는 다음과 같은 말도 못 하게 할 정도로 거대한 수이다.
123,123,123,······123,123,123,666,111,123,666
'123'을 262,111,123,666번이나 반복한 수
(이것은 우리가 a=S0을 산술 콰인화해서 얻은 식의 괴델 수 이다.) 우리는 TNT 내부에서 산술 콰인화하는 것에 대해서 아주 쉽게 말할 수 있다.
이제 "G선상의 아리아"를 뒤돌아보면, 우리는 콰인의 방식으로 자기-지시를 성취하는 데에 필요한 궁극적인 묘책이 콰인화의 개념에 대해서 말하는 문장 자체를 콰인화하는 것임을 알게 될 것이다. 단순히 콰인화하는 것만으로는 충분하지 않다―우리는 콰인화를 언급하는 문장을 콰인화해야 한다! 좋다. 그렇다면, 우리의 경우 그에 상응하는 묘책은 산술 콰인화의 개념에 대하여 말하고 있는 어떤 식 자체를 산술 콰인화하는 것이어야 한다.
지체 없이, 그 식을 아래에 적고 그것을 G의 삼촌(uncle)이라고 부르겠다 :
~∃a:∃a':<TNT-PROOF-PAIR{a,a'}∧ARITHOQUINE{a'',a'}>
우리는 산술 콰인화가 증명의 구상에 얼마나 깊이 관련을 맺고 있는지 명확하게 볼 수 있다. 이제 이 "삼촌"은 물론 괴델 수를 가지는데, 그것을 "u"라고 하겠다. u의 십진법 전개의 시작과 끝, 심지어 가운데의 아주 작은 일부분도 직접 읽을 수 있다.
u=223,333,262,636,333,262,163,636,212,······,161,············,213
나머지 부분은, TNT-PROOF-PAIR와 ARITHMOQUINE 식이 작성되었을 경우 실제로 어떻게 보이는지를 알아야만 할 것이다. 그것은 너무 복잡하며 어쨌든 핵심에서 벗어난 일이다.
이제 우리가 해야 할 모든 것은 바로 이 삼촌을 산술 콰인화하는 것이다! 그것은 모든 자유변수들―이 경우에는 오직 하나, 즉 a''만 있다―을 "몰아내고", 그 곳에 u를 나타내는 수사를 삽입하는 것이다. 다음이 그 결과이다.
~∃a:∃a':<TNT-PROOF-PAIR{a,a'}∧ARITHOQUINE{SSS······SSS0/a'',a'}>
u개의 S
이것이, 믿거나 말거나, 'G'라고 부를 수 있는 괴델의 문자열이다. 이제 우리가 지체 없이 대답해야 할 질문이 두 개 있다.
(1) G의 괴델 수는 얼마인가?
(2) G를 해석하면 무슨 뜻인가?
우선 질문 (1)부터 보자. 우리가 G를 어떻게 만들었는가? 삼촌을 가지고 시작했고 그것을 산술 콰인화했다. 따라서 산술 콰인화의 정의에 의해서 G의 괴델 수는 다음과 같다.
u의 산술 콰인화
이제 질문 (2)로 가자 : 우리는 G를 단계적으로 자연언어로 번역할 것인데, 진행해나감에 따라서 점점 더 잘 이해하게 될 것이다. 처음에는 거칠게, 문자 그대로 번역해보겠다.
"다음과 같은 수 a와 a'는 존재하지 않는다. (1) a와 a'가 TNT-증명쌍을 형성한다. 동시에 (2) a'가 u의 산술 콰인화이다."
이제 u의 산술 콰인화인 수 a'이 분명히 존재한다―따라서 문제는 다른 수, 즉 a에 있는 것이 틀림없다. 이 관찰을 통하여 우리는 G를 다음과 같이 바꾸어 번역할 수 있다.
"u의 산술 콰인화와 함께 TNT-증명쌍을 형성하는 수 a는 없다."
(이 단계가 좀 혼란스러울 수 있는데, 아래에서 자세히 설명한다.) 여기에서 무슨 일이 일어나는지 알겠는가? G가 말하는 바는 다음과 같다.
"괴델 수가 u의 산술 콰인화인 식은 TNT의 정리가 아니다."
그러나―이제는 놀랍게 느껴지지 않을 것인데―그 식이 다른 그 어떤 것도 아닌 바로 G 자신이다. 그러므로 G를 궁극적으로 다음과 같이 번역할 수 있다 :
"G는 TNT의 정리가 아니다."
또는 다음이 더 좋다면,
"나는 TNT의 정리가 아니다."
우리는 원래 낮은 층위의 해석이었던 것―수론의 문장―으로부터 서서히 높은 층위의 해석―메타-TNT의 문장―을 끌어냈다.
G는 TNT-정리인가? 그렇다면, 그것은 참을 주장하는 것이 틀림없다. 그러나 사실 G가 주장하는 것이 무엇인가? 그 자신이 정리가 아니라는 것이다. 따라서 G가 정리라는 것으로부터 그것이 정리가 아니라는 것이 도출된다. 모순이다.
그러면 G가 저일가 아니라면 어떻게 되는가? 이것은 모순을 야기하지 않기 때문에 받아들일 수 있다. 그러나 G가 주장하는 것은 G가 정리가 아니라는 것이다. 따라서 G는 참을 주장하고 있다. 그런데 G는 정리가 아니므로, 참인데 TNT의 저일가 아닌 것이 (적어도) 하나가 존재한다.
(608~613쪽)
괴델, 에셔, 바흐 - 더글라스 호프스태터
