Something I had trouble finding the answer to, so I'm sharing what I discovered with you all Polish learners on Tumblr:
When does a standalone* adjective preceded by the verb "być" take the instrumental (narzędnik, z kim/z czym) case instead of the nominative (mianownik, kto/co) case?
*as in, not followed by a noun it modifies. In which case, it would always take narzędnik together with the noun (e.g. Ona jest młodą osobą / Mateusz jest moim przyjacielem).
Remember that if you use "to" or "to jest/był(by)/była(by)/było(by)/będzie", the adjective (+ noun) is always in mianownik! E.g. To moje! / To jest mój tata.
I was told by one of my lektorki that jest + przymiotnik without a noun needs to be in mianownik, but then I noticed it wasn't always the case with być.
The answer is simple: it depends on the form "być" is in, or more specifically, whether the verb is impersonal or not.
You use mianownik if:
The verb być is conjugated in any personal tense: present tense (jestem/jesteś…), past tense (byłem/byłeś…), conditional (byłbym/byłbyś…), future tense (będę/będziesz…), or imperative (bądź/niech będzie…).
E.g. Jestem zmęczony. / Czy twoje dziecko było chore? / Bądź silna!
This includes być preceded by an auxiliary verb, if the auxiliary verb is also in any of the above tenses (e.g. może być, chcemy być, musiałyśmy być, powinnaś być…; but NOT chcąc być, musieć być, możenie być, powinno się być! These are inpersonal and follow the next rule).
E.g. Chciałaby być młoda. / Musimy być pewni.
You use narzędnik if:
The verb is in any form that isn't indicative of subject (i.e. impersonal): infinitive (być), verbal noun (bycie), or adverbial participle (będąc).
E.g. Ten czasownik oznacza "być szczęśliwym". / Będąc przystojnym, on bardzo lubi robić sobie zdjęcia. / Bycie niską jest frustrujące.
(Note that the second adjective is neuter because bycie is a neuter noun, and it's in mianownik because jest is a personal tense).
This includes być preceded by impersonal auxiliary verbs (such as: trzeba być, warto być, wolno być, można być, należy być).
E.g. Trzeba być ostrożnym. / W tym pokoju można być głośniejszym.
You also use narzędnik instead of mianownik if you want to convey that the adjective is used as a noun. Nice trick is to think of it like adding an article ("a/an").
E.g. Jestem bezrobotny = I'm jobless; vs. Jestem bezrobotnym = I'm "a jobless" (a jobless person) / Ona jest szczęśliwa = She's happy; vs. Ona jest szczęśliwą = She's a happy (person).
The second examples with narzędnik carry the connotation of the subject identifying as/being representative of someone with that quality rather than just describing a state they're in currently.
These two rules also apply to other so-called "czasowniki łączone" (linking verbs) similar to być. I could find:
zostać (to become/to stay),
stać się (to become),
wydawać się (to seem/appear),
stanowić (to constitute/pose/present),
okazać się (to turn out to be),
brzmieć (to sound).
Wyglądać na (to seem) is also a czasownik łączony but it works differently because you have to use "na" which requires accusative (biernik, kogo/co).