Lista de Coordenadas Cilíndricas - Cálculo Diferencial e Integral II
Muitos temem ainda mais as coordenadas cilíndricas e, especialmente, esféricas. Eu particularmente não, e vou tentar passar pra vocês nessa lista porque é muito mais fácil integrar figuras que suportam coordenadas cilíndricas que as que exigem coordenadas cartesianas.
A começar, um breve resumo de coordenadas cilíndricas, aonde presumo que você já tenha estudado um pouco integrais triplas e MUITO BEM coordenadas polares. É favorável que lembre um pouco da geometria analítica do primeiro bimestre. Pois bem, você deve ter estudado muito bem coordenadas polares porque as coordenadas cilíndricas são, apenas, suas sucessoras. Enquanto usávamos coordenadas polares para calcular área (2D) de figuras circulares, as coordenadas cilíndricas são exatamente isso só que com o acréscimo da terceira dimensão (geralmente altura z). Enquanto em coordenadas polares convertíamos dA em rdrdϴ, em cilíndricas convertemos dV em dzrdrdϴ. Simples, não? Talvez não pareça tanto agora, mas veremos nos exercícios.
Ah, sim, enquanto x continua virando rcosϴ, e y continua rsenϴ, z vira... Nada. Continua z, mesmo, já que temos um diferencial exclusivo pra ele.
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1. Calcule a integral:
Questão dada, infelizmente uma dessas nunca cai na prova. A integral já tá montada e dada em coordenadas cilíndricas, é só resolver.
Ah vá, essa é de boa.
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2. Calcule o volume do parabolóide z = 16-x²-y² para z >= 0. (bem, gente, espero que não se incomodem com o >=... Como fazemos computação, nada mais natural que ler "maior ou igual a" na hora, não é?)
Primeiramente, a geometria analítica de um parabolóide tem que estar bem fixa na mente de vocês. z = 16-x²-y² significa claramente um parabolóide de boca pra baixo, de altura máxima 16 e raio 4 quando toca o eixo x (z = 0). Como z está limitado em >= 0, já sabemos o raio máximo; e já sabemos a altura máxima também.
(parabolóide da função muito bem desenhado)
dzrdrdϴ Limites dz: não vamos pegar simplesmente que z vai de 0 a 16, dessa vez usaremos as características comuns de integral tripla. z depende tanto de x quanto de y, mas não há diferencial para x nem para y, porque temos que converter tudo em coordenadas cilíndricas: z = 16-x²-y² = 16-r²cos²ϴ-r²sen²ϴ = 16-r²(cos²ϴ+sen²ϴ) = 16-r²*1 = 16-r² Logo, z vai de 0 a 16-r².
Limites dr: o raio vai de 0 a 4, já determinamos isso.
Limites dϴ: se dá por varredura do círculo (em radianos), e como é um parabolóide completinho dos lados (vai de -4 a 4 tanto em y quanto x), o círculo faz uma varredura de 360°, o que significa que ele vai de 0 a 2π.
Integral montada? Então vamos calcular:
Até agora são questões dadas. Mas não fica muito pior, exceto uma em especial que eu nem mesmo sei resolver. Não se preocupe.
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3. Calcule
, usando coordenadas cilíndricas, onde R é limitado superiormente pelo parabolóide z = x²+y² e inferiormente pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro x²+y² = 4. Essa questão é facílima, mas é um pé no saco. Pé, no, saco. De explicar. Isso porque pra uma prova convem muito mais você decorar a integral e montar, mas o professor é ótimo em DESTRUIR a prova de quem decora exercício, recomendo muito mais entender mesmo. E vou me esforçar o máximo pra explicar bem e ajudá-los a entender também.
O esquema é o seguinte. Só de ler o exercício sabemos que temos um parabolóide, e pelos sinais sabemos que temos um parabolóide de boca pra cima. Até aí ok, mas não queremos saber do parabolóide. Sério. A figura que vamos calcular o volume não é um parabolóide, é um sólido único que têm características de parabolóide e de cilindro. Só sabemos que a altura z segue aquela função ali (R é "limitado superiormente"). Quanto aos limites laterais, bem, isso nos dá a função do comprimento y e da profundidade x, que seguem as propriedades de um cilindro.
Se você tentar plotar usando as duas figuras, vai dar um gráfico assim:
Calcularemos o volume da parte em amarelo.
Entenderam? Eu REALMENTE estou aberto a propostas de explicações melhores, porque sinceramente, eu entendo o exercício mas tenho uma dificuldade imensa em passá-lo.
Ok, figura montada, agora precisamos montar a integral:
dzrdrdϴ Primeiro, já temos uma função inicial x²+y² a colocar na integral antes mesmo de qualquer coisa, que é a função do cilindro. x²+y² em coordenadas cilíndricas sabemos que se torna r², então basicamente vamos começar já integrando r² assim:
Agora vamos aos limites: dz: já está especificado no exercício que z depende de x²+y² (que é r²), não é? Então, basicamente, esse é o limite final. Pela figura (e pelo exercício também, aquela parte de "limite inferior"), sabemos que o limite inicial é 0. Basicamente, z vai de 0 a r². dr: o raio máximo é 2 (x²+y² = 4), de 0 a 2. dϴ: 2π.
Então, a integral completa é isso, e já vamos resolver:
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4. Calcule o volume do cilindro de raio R, altura h e z >= 0, por:
a) Geometria espacial. Esse exercício é mais que simples, é inútil. É só você lembrar da fórmula do ensino médio: πr²h
b) Integral em coordenadas cilíndricas. Só montar a integral com os limites de 0 a 2π, 0 a r e 0 a h. A genérica dos cilindros. Fica assim:
c) Integral em coordenadas cartesianas. É a integral normal, de limites dzdydx ou a ordem dos diferenciais que você desejar. A fórmula do cilindro é x²+y²=r², com z sempre independente, logo dz indo de 0 a h. Basicamente.
Enquanto dx e dy não vão de 0 a alguma coisa, já que eles formam um círculo que é definido em torno de 0. Ele vai de -(alguma coisa) a (alguma coisa), naturalmente. No caso, o desafiado é dy, então vamos isolá-lo da função: x²+y²=r² -> y²=r²-x² -> y = sqrt(r²-x²) Logo, dy vai de -sqrt(r²-x²) a sqrt(r²-x²). Simples.
dx é mais fácil, é só eliminar o eixo y e isolar x, o que dá: x²=r² -> +-x = +-r Logo, dx vai de -r a r.
Olha, como eu tentei resolver a integral e, por um milagre, consegui, vou postar aqui pra vocês a resolução. Se acharem muito complicado de entender, não se preocupem, eu duvido muito que o professor vá cobrar.
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INFORMAÇÕES RELEVANTES ANTES DE FAZER O PRÓXIMO EXERCÍCIO: δ = m/v, m = δV, onde m = massa de um corpo, V é o volume e δ
é a densidade. A massa de um sólido é dada por m =
.
5. Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto com raio a e altura h. Ache a massa se a densidade em um ponto P é diretamente proporcional à distância de uma das bases a P. (sugestão: use coordenadas cilíndricas e diga que δ(x, y, z) = kz, onde k é uma constante)
Vamos lá. Cilindro circular reto com raio a e altura h, temos as fórmulas x²+y²=a², e uma altura h fixa. Ou seja, nos limites, colocaríamos: 0 a 2π de varredura, porque nos foi informado que temos um cilindro completo. Raio de 0 a a, hurr durr. Altura de 0 a h, também sem segredo. Essa integral é facinha de montar, e não é muito difícil de resolver também. A função inicial é kz, como sugerido pelo exercício, e voalá:
Exercício até muito fácil pra ser o último, mas é isso mesmo. Espero que tenham entendido bem o conteúdo, porque a prova de cálculo passada teve mais de um exercício de coordenadas cilíndricas... Então, é, o professor cobra bastante!
A lista de coordenadas esféricas vem logo em seguida e esperem pelas contas mais monstro de todo o Cálculo Diferencial e Integral II.