Eng. de Computação (UNOPAR 2011~2015) @engcompup - Tumblr Blog

Troca de endereço

Apenas pra avisar, estou testando postar no blogspot por ser mais fácil usar MathML nele. O endereço é esse: http://engcompup.blogspot.com.br/

(não só MathML como qualquer coisa)

#yey

Aula III - Circuitos Elétricos

#aula III #circuitos elétricos #fontes de corrente dependentes #fontes de tensão dependentes #fontes de corrente #fontes de tensão #tensão #corrente #resistência #lei de ohm #lei de kirchhoff

Aula III - Cálculo Diferencial e Integral III

Ok, estamos no meio da aula mas está de boas então estou postando. Aí vai o conteúdo teórico de Cálculo III sexta-feira passada, que não foi muita coisa então deu tempo de fazer nos tempos vagos. Em breve estarei detalhando as listas e aí haverá bastante conteúdo pra vocês estudarem, mas por enquanto é isso.

#cálculo diferencial e integral III #cálculo III #campo vetorial #equações de maxwell #conservativo #gradiente #rotacional

Aula III - Mecânica dos Sólidos

#mecânica dos sólidos #aula III #força #vetores

Aula IV - Física Geral II

#física geral II #aula IV #campo elétrico #carga elétrica #integral #densidade linear de carga

Aula II - Cálculo Diferencial e Integral III

Cálculo Vetorial

Não expliquei muita coisa porque o objetivo disso foi mais passar tudo do quadro mesmo. A parte do gráfico eu explicarei a parte fazendo a lista todinha de cálculo vetorial, e o resto foi mais apresentação de conteúdo mesmo, ainda tem muita coisa pra ver.

#cálculo #cálculo diferencial e integral III #cálculo vetorial #campo vetorial #produto escalar #produto vetorial #nabia

Aula II - Circuitos Elétricos

#circuitos elétricos #análise de malhas #lei de kirchhoff #aula II #eletricidade

Aula II - Mecânica dos Sólidos

As aulas de mecânica são fáceis de postar por enquanto, já que não tivemos muito exercício, aliás, tivemos um exercício ontem, a maioria do conteúdo está no slide que o professor passou. Então é só aguardar o envio pra gente.

Mas vamos lá, colocar o conteúdo de quadro que nos foi passado por enquanto.

Lei dos Cossenos

Equações específicas

Decomposição de vetores através de seu módulo (sim, é a mesma coisa de Física II que eu postei ontem)

1. Uma força de 800N é exercida no parafuso A, como mostra a figura. Determine os componentes vertical e horizontal dessa força.

Essa é a imagem. Pura, sem linha de ação, sem nada. Apenas o vetor força e sua angulação. As informações estão praticamente todas dadas. O exercício pede as componentes vertical e horizontal, ou seja, Fy e Fx. Conhecemos apenas uma equação para descobrir essas componentes, que é a postada mais acima, e sabemos que ela precisa de força resultante e angulação. Sim, nós temos isso, não é?

Ótimo, então o exercício é facílimo. Mas não é só substituir, vamos fazer uma análise decente aqui. Nesse exercício podemos substituir, só que existem N exercícios e alguns deles virão com algumas pegadinhas de seno e cosseno só pra tirar nota de preguiçoso.

Primeiro, desenhemos a linha de ação:

Agora ficou um pouco melhor trabalhar. Já coloquei direto Fx e Fy ali nos lados opostos que é pra não ficar fazendo um monte de imagem, mas já prevejo exercícios aonde não conseguirei evitar. É o seguinte: agora é analisar, qual força vai usar seno de 35° e qual vai usar cosseno? Lembrando que o cateto adjacente é o cateto que tem contato com o ângulo apontado, e o cateto oposto é o que não tem, o que se opõe. Ensino médio. Ou seja, ali no triângulo imaginário que formamos Fx é o cateto adjacente. O Fy original nem mesmo faz parte do mesmo triângulo de Fx, mas pela lógica podemos adicionar um lado igual a Fy do outro lado pra fecharmos o triângulo.

Caso não esteja satisfeito, é só lembrar de Física I e a famosa regra do elefantinho, que o professor inclusive revisou com a gente essa aula mas está no slide.

É bem desnecessário, mas só pra mostrar que a regra não me deixa mentir. A soma dos vetores fica assim, e é mais claro o triângulo. De qualquer forma, era claro da outra forma também.

Ok, mas e agora? Simples. Geometria.

Um cálculo um pouco mais preciso com a sua científica genérica vai te dar aproximadamente 458,86N e 655,32N, mas é errado colocar um valor aproximado de uma coisa na metade da conta e um resultado aproximado de outra coisa. Felizmente estamos nos formando em engenharia e esses detalhes podem passar despercebidos dependendo do professor, mas matematicamente é um erro crítico, não deixem de lado.

E bem, foi só isso mesmo. Mais da metade da aula foi slide, ressaltando, então não é muita coisa pra postar. Até mais.

Aula III - Física Geral II

Boa tarde, senhores. Continuamos aqui o último post, porque agora temos um pouco mais sobre o conteúdo de atração e repulsão de cargas e temos uns exercícios mais legais que foram resolvidos ontem. Aí vão.

3. Qual o vetor força elétrica que atua sobre a carga q1?

É bem menos complicado do que parece ser, já sabemos. Mas vamos à explicação detalhada.

Temos de trabalhar num campo vetorial. O que significa que o sentido das cargas faz diferença. É bom redesenharmos o gráfico para entendermos melhor como as forças trabalham: temos as comparações q1 e q2, que são opostas, logo q1 está sendo atraída por q2; e temos q1 e q3 que são iguais em sinal, logo q1 está sendo repelido por q3. Isso, no gráfico, ficará representado por F12 (a força entre q1 e q2) sendo na direção de q2, e por F13 na direção oposta de q3. Veja só:

Ótimo. Temos o módulo dos vetores, agora precisamos descobrir seus valores Fx e Fy... Ou precisamos apenas pro F13, já que vimos que F12 só tem direção x. Aliás, outro benefício que isso nos trás é que não precisaremos calcular nada para F12. Quer dizer, você pode até fazer um cálculo mais complexo, mas acabará achando 1 que multiplicado por 1,2N vai dar na mesma.

Para F13, no entanto, as coisas são diferentes. Temos um módulo 1,8N, mas não sabemos quantos N está em cada direção... Podemos saber, claro, e é isso que faremos.

4. A força eletrostática entre dois íons iguais separados por uma distância de 5,0x10^(-10)m vale 1,48x10^(-8)N. Calcule a carga elétrica de cada íon.

O problema é que esse é o mais fácil de todos os exercícios passados. Não tem análise pra fazer, nem nada, é só uma conta um tanto complicadinha, por isso o que fala mais alto na hora de errar é matemática básica. E ela fala muito alto, cuidado.

Mas é só substituir a equação de Coulomb isolando as cargas:

5. Três partículas carregadas ao longo de uma reta estão separadas por uma distância “d”. As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. Supondo que q3 seja livre para se movimentar, mas que de fato se mantenha estacionário, qual é a relação entre q1 e q2?

Esse exercício é o seguinte: imprevisível pra quem está há um tempinho longe de mecânica. Primeiro vamos desenhar um gráfico representando o que está acontecendo.

E a última carga, q3, é livre, mas está parada. O que significa que ela está sendo neutralizada pelas outras cargas. Pela lógica, já podemos deduzir que as outras duas cargas são opostas (não se movem porque o exercício especificou que estão fixas) e uma está o atraindo enquanto a outra está o repelindo, assim deixando-o neutro. Para isso, uma carga tem que ser mais forte que a outra.

Mas ok, ok, como resolver? Que equação eu uso? O que eu faço? Então... Relaxe que vamos desenterrar uma importantíssima fórmula da Física I. Se eras tão parada a carga, isso significa que sua aceleração não existe, equivale a 0. O que isso quer dizer?

Logo, sim, F = 0. A medida F que usamos até agora nessa cadeira resulta em Newtons porque é a mesma coisa, força é um conceito aplicado em diversas áreas da física, não só especificamente a mecânica.

De qualquer forma, além disso, sabemos que F3 = F13 + F23, então F13 + F23 = 0. Agora só precisamos substituir os valores e ver o que é que vai dar. Temos a distância entre 2 e 3, d, mas vendo pelo gráfico chega a ser óbvio que a distância entre 1 e 3 é d+d, logo 2d.

6. Em cada vértice de um quadrado existe uma carga “q”. Determine o módulo da força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas, em função do lado “a”, de “q” e de Epsilon 0.

Ok, desenhemos um quadrado e coloquemos uma carga em cada vértice.

Ficou mais ou menos claro como é o esquema? De qualquer forma, podemos pegar qualquer uma dessas cargas que o resultado será igual. Peguemos a primeira tanto em eixo x quanto y. Queremos módulos, então faremos módulos apenas, sem precisar mexer com senos e cossenos. A distância dela pra duas das três cargas (a que está ao lado direito e a que está abaixo) é a, então podemos descobrir dois módulos direto. O terceiro deixemos pra depois, mas não se preocupe, é fácil também... Ou ao menos agora que eu já sei fazer, né.

Se a distância de 1 para 3 é a mesma de 1 para 2, o resultado do módulo será o mesmo. Mas e quanto a 1 para 4? Simples. Lembram daquele triângulo que a gente fez no primeiro exercício? Temos um caso semelhante, mas aonde temos os catetos e não a hipotenusa. Não, não vamos usar seno e cosseno. Vamos usar Pitágoras.

Hipotenusa² = (Cateto oposto)² + (Cateto adjacente)² Logo

E esse tipo de resultado parece ser satisfatório. Dá pra enfeitar um pouquinho mais, mas é uma operação completamente variável, sem números, então deixar assim não tem problema.

De qualquer forma, foi isso daí, e aguardemos pioras. Isso é só campo vetorial. Pelo que vi no livro não estamos assim muito distante das integrais, então a dica é se habituar com esse tipo de exercício até ele se tornar fácil.

Bom dia a todos. o/

Aula II - Física Geral II

Bom dia, postando o melhor do que aconteceu ontem na aula de Física Geral II. Pulando a parte da história porque acho desnecessário, e se alguém precisar espero que alguém tenha anotado porque eu não tenho.

De qualquer forma, aí vai.

Exemplos

1. Dadas duas cargas q1 e q2, separadas por uma distância r, calcule a força com a qual o sistema se repele, se q1 = q2 = 3C, e r = 0,1m.

Mamão com açúcar. Não, sério. Não vou fazer o desenho porque não é muito diferente do desenho que usei pra lei de Coulomb, só que as forças se repelem, eu usei um exemplo de atração aleatoriamente.

O fato é: o exercício nos deu os três valores, tudo o que temos que fazer é jogar na equação e vencer.

Por favor né, galera. Exercício de ensino médio.

2. Considerando o exemplo anterior, suponha que seja adicionada uma carga q3 = -6C, conforme mostra a figura abaixo. Calcule a Fe total sobre q1.

Ok que esse exercício tem alguma lógica a se considerar, mas ainda é extremamente fácil. A primeira coisa que foi observada pelo professor é que não estamos tratando do exercício como um campo vetorial então, se tratamos apenas de módulos, o sinal da carga q3 pouco nos interessa. A questão do campo vetorial será tratada no próximo exercício que... A gente ainda não teve, rs.

De qualquer forma, queremos saber a força total sobre q1. O que significa a soma da F12 que descobrimos no exercício passado com F13, que descobriremos agora. A fórmula é a mesma, e a única consideração que temos que fazer é: a distância entre q2 e q3 é 2r, e a distância entre q1 e q2 é r, então claramente a distância entre q1 e q3 é a soma dessas distâncias. r13 = r12 + r23 = r + 2r = 3r Bom lembrar que r é 0,1, logo r13 = 3*0,1 = 0,3.

Fora isso, resolver, né?

E foi só isso na aula. Quer dizer, o professor passou o esquema gráfico do campo vetorial, e eu até arrisco fazer, mas não pretendo atrapalhar a didática ensinando algo todo confuso e recém-aprendido. Bom proveito com esse material, e bom dia. o/

Aula I ("Revisão" de Eletricidade) - Circuitos Elétricos

Olá, galera. Tivemos nossa primeira aula trabalhosa ontem (quando eu comecei a escrever era ontem, hoje já faz quase uma semana rs), e tenho muita coisa pra postar, então vamos direto ao assunto.

Lidamos com circuitos elétricos (hurr). Muitos circuitos. Não os horríveis que pegaremos mais pra frente, mas os desafios de Lei de Kirchhoff que tanto sofremos pra resolver no primeiro semestre. E não conseguimos de primeira por uma série de motivos, mas logo fomos lembrando (e aprendendo) algumas coisas e... Bem, aí vão os exercícios.

1. Determine V0.

Exercício simples. A começar, aquelas linhas que "saem" do circuito não significam nada: é uma malha fechada. Vendo o circuito todo como uma malha fechada, e uma linha reta como essa:

Percebemos que está tudo em série.

Mas agora ressaltemos. Queremos a tensão V0, que está no resistor 4kOhms. Sabemos que a fórmula da tensão é U = Ri, mas não temos... Bem, nada, só a resistência. Como queremos U, se acharmos i poderemos chegar até a resposta. Mas como achar corrente aí?

É simples: como eu disse, tudo está em série. Ou seja, a resistência total do circuito é a soma de todas as resistências, e podemos adotar a voltagem do circuito como a soma das duas voltagens ali. Resistência total: Rt = (2+3+4)kOhms = 9kOhms Voltagem total: Vt = (24+12)V = 36V Se temos a resistência total e a voltagem total, podemos descobrir a corrente por todo o circuito através da Lei de Ohm. i = U/R = 36V/9kOhms = 4mA

Tendo essa corrente, resta fazer a operação com o resistor de 4kOhms para descobrir o V0: V0 = 4kOhms * 4mA = 16V E essa é a resposta do exercício.

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2. Determine R1 e R3.

Essa é a mais fácil, de longe. Vamos explicar o circuito, primeiro. Ele inicia com 12V e passa por uma resistência desconhecida, após ela há apenas 8V no circuito. Depois passa por uma resistência de 8ohms, e restam apenas 4V. Passa por mais uma de valor desconhecido, e termina em -4V.

Explicado isso, lembramos que queremos descobrir as duas resistências desconhecidas. A Lei de Ohm diz que R = U/i, mas não temos nenhum desses... Só que podemos descobrir.

Começando pelas tensões. O circuito começa com 12V, e após a primeira resistência fica com 8V. Significa que a tensão consumida pelo primeiro resistor é de U = 12-8 = 4V. Ok, ótimo. A mesma operação é feita pro segundo resistor, U = 8-4 = 4V da mesma forma. E pro terceiro, U = 4-(-4) = 4+4 = 8V. Em síntese: U1 = 4V U2 = 4V U3 = 8V

Temos todas as tensões, ótimo. Mas ainda falta a corrente. I = U/R. No segundo ponto, o circuito nos dá uma resistência que podemos usar para descobrir a corrente, já que a corrente é igual durante o circuito todo. I = 4V/8ohms = 0,5A ou 1/2A (use a forma que achar melhor, eu sempre prefiro fracionária)

Agora temos tanto as tensões quanto as correntes. Só descobrir as resistências. R1 = 4/(1/2) = 4*2 = 8ohms R3 = 8/(1/2) = 8*2 = 16ohms

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3. Determine i (com sentido) e V (com polaridade).

Outro exercício facílimo. Primeiro, que fique claro que o circuito começa no ponto com -10V. Um circuito resistivo sempre começa aonde tem mais voltagem. Segundo, refaçamos o circuito em série para que possamos descobrir a voltagem total e a resistência equivalente, assim descobrindo a corrente, que é o primeiro objetivo.

Ok. Temos uma resistência equivalente, mas nos falta a tensão total do circuito. Isso é simples, lembrando do exercício passado: ele começa com -10V e termina a -70V, o que significa que é só subtrairmos. Ut = -10-(-70) = -10+70 = 60V

Tendo isso em mãos, só terminar de resolver. I = U/R = 60V/60ohms = 1A No caso de definir o sentido, creio eu que signifique apontar que a corrente está percorrendo o circuito do ponto com -10V ao ponto com -70V, então só fazer uma flechinha.

O que nos sobra é descobrir o V que está marcado ali embaixo do primeiro resistor. Isso é fácil. Temos um resistor de 10ohms, e descobrimos que a corrente é 1A, então: U = Ri = 10*1 = 10V Se a tensão está sendo consumida, sua polaridade é negativa. Redesenhado, o circuito fica assim:

Mas as respostas são essas mesmo: i = 1A V = 10V

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4. Determine E, R1, R2, R3 e R5:

Digamos que esse é “um pouco” mais complicado. Na verdade, o mais complicado é saber por onde começar, depois disso é fácil – aliás, não há parte complicada ao certo, ele só é grande e tem bastante coisa pra resolver.

Uma análise do circuito nos diz que: temos uma malha fechada (o circuito se repete quando chega naquele final) de tensão E e corrente inicial 72mA. O circuito se torna paralelo e a corrente se divide em duas: uma delas de 40mA, seguida de um resistor de 1,6kOhms e do final do circuito; a outra parte é bem mais complexa. A outra parte começa numa corrente desconhecida e uma resistência desconhecida, a tensão que sobra disso é 48V. Logo se divide novamente em mais duas partes, uma com corrente 12mA seguida de um resistor desconhecido e o fim do circuito. A outra de um resistor e corrente desconhecidos, onde sobra 24V. Esse ponto se divide em outros dois pontos. Um tem uma corrente de 8mA e resistência desconhecida, o outro corrente e resistência desconhecida. E então não há nada mais a se descrever na malha fechada.

É, bastante coisa. Mas não impossível de resolver. Vamos fazer por partes, lá em cima: a tensão não se divide quanto há um circuito em paralelo. Significa que a tensão total continua a mesma no ponto com 40mA, e no outro ponto da divisão também. Há apenas um resistor nesse ponto com 40mA de corrente, o que nos diz que ele consome toda a tensão, logo se descobrirmos a tensão consumida por ele temos a tensão total do circuito.

E = Ri = 40mA * 1,6kOhms = 64V

Temos um dos valores, falta todo o resto. Mas vamos fazendo parte a parte. Voltando ao ponto aonde a corrente se divide pela primeira vez, e esquecendo a parte dos 40mA, ela desce num resistor R1 desconhecido e chega num ponto aonde a tensão é de 48V. Dá pra descobrir a resistência com o que temos. Quer ver? Se a corrente total do circuito é 72mA, a corrente que foi pro outro lado é 40mA, significa que a corrente desse ponto é: i = 72-40 = 32mA E se a tensão total do circuito é 64V, e a tensão naquele ponto é 48V, significa que o resistor consumiu a seguinte tensão: U = 64-48 = 16V Tendo esses dois valores, jogamos eles na fórmula da Lei de Ohm e descobrimos a resistência: R1 = 16V/32mA = 0,5kOhms ou ½kOhms

Ok, agora vamos para a próxima divisão. Para o lado uma corrente de 12mA e uma resistência R5 e... Opa, espera, após ela o circuito acaba. Podemos descobrir R5. Temos uma tensão de 48V que não se dividiu naquele ponto, e uma corrente de 12mA, logo: R5 = 48V/12mA = 4kOhms

E descendo uma outra resistência desconhecida, acompanhada de uma corrente desconhecida, e no final sobra uma tensão de 24V. A corrente desconhecida pode ser descoberta com o seguinte raciocínio: antes da divisão havia 32mA, e 12mA foi embora pro ponto com o R5, sobra: i = 32-12 = 20mA A tensão antes de passar pelo resistor era de 48V, e depois se tornou 24V, o que significa que: U = 48-24 = 24V Então a resistência R2 pela Lei de Ohm é: R2 = 24V/20mA = 1,2kOhms ou 6/5kOhms

À última divisão agora: 24V é distribuído entre dois trechos, um com uma corrente 8mA e um resistor de valor desconhecido. Pela Lei de Ohm: R4 = 24V/8mA = 3kOhms

O outro tem uma corrente desconhecida e um resistor desconhecido. A corrente antes de se dividir era 20mA, quando foi dividida, 8mA passou para o outro lado, então nesse a corrente é: i = 20-8 = 12mA Logo, a resistência é: R3 = 24V/12mA = 2kOhms

E estão descobertos todos os valores: E = 64V R1 = 0,5kOhms R2 = 1,2kOhms R3 = 2kOhms R4 = 3kOhms R5 = 4kOhms

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Conteúdo

Leis de Kirchhoff

Corrente: “A somatória das correntes que chegam em um nó é igual a somatória das correntes que saem deste nó.”

i1 + i2 = i3 + i4 + i5

Tensão: “Em uma malha fechada, a somatória das tensões deve ser igual a zero.”

V1 + V2 + V3 + V4 = 0

Exercícios

Determine os valores desconhecidos das correntes.

É o seguinte, é algo MUITO fácil. Temos que seguir à risca a lei determinada logo acima, que a soma das correntes antes de entrar num nó é a soma das correntes que vai sair. Já temos como aplicar isso no começo: note que as correntes 9A e 12A estão caminhando em direção ao primeiro nó, e o que sai é 4A e i1, o primeiro valor desconhecido. Só fazer o somatório. 9+12 = 4+i1 i1 = 21-4 = 17A

No segundo nó, vem a corrente i1 (17A) junto com outra corrente 4A, e do nó sai uma corrente de 6A e outra desconhecida, i2. Mesmo somatório. 17+4 = 6+i2 i2 = 21-6 = 15A

O circuito segue até chegar no terceiro nó. Nenhuma corrente acompanha i2 na colisão com o terceiro nó, mas ele se divide em dois: 3A e o valor desconhecido i3. Repetir o somatório novamente. 15 = 3+i3 i3 = 15-3 = 12A

E está terminado o primeiro exercício.

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Determine i0.

Esse é mais chatinho, mas não é difícil de resolver também. Precisaremos brincar um pouco com a matemática se quisermos chegar até o resultado final.

Primeiro, não podemos descobrir i0 sem nem saber qual é a corrente total do circuito. E como descobriremos a corrente total? Através da Lei de Kirchhoff das tensões. Sim, a das tensões. O somatório das tensões do circuito é igual a 0, e pela Lei de Ohm U = Ri, então a somatória da multiplicação da resistência pela corrente tem que dar 0.

Vamos fazer o somatório então. Primeira tensão ou resistência vezes corrente é 12V, positivo, se considerarmos o sentido da corrente como horário (pode pegar anti-horário também, o resultado é o mesmo, mas os sinais inverterão).

A segunda é... Opa, não sabemos ao certo, porque temos resistências em paralelo. Nesse caso, descobrimos a resistência equivalente. Req = (R1*R2)/(R1+R2) = (3*6)/(3+6) = 18/9 = 2ohms

Ok, até aí nossa conta está 12-2i... = 0. Lembrando que resistência sempre consome voltagem, então toda vez que houver resistência envolvida assim, será uma subtração na lei das tensões. O terceiro termo é 4V, mas está subtraindo também. Note que a corrente entra na parte maior e sai na parte menor, a parte maior é positiva e a menor é negativa, então na lei das tensões o valor será subtraído. 12-2i-4... = 0

O resto são resistências. Vocês já sabem o que fazer com resistências. 12-2i-4-2i-3i = 0 8 + i(-2-2-3) = 0 8 – 7i = 0 8 = 7i i = 8/7A (deixarei o resultado em forma fracionária porque dá número quebrado)

Ok, temos a corrente total. Falta descobrir a corrente i0, mas isso é fácil. Sabe o ponto das resistências em paralelo? Então, a tensão deles é igual, não é? Anotado. Se temos a tensão e a resistência, podemos descobrir a corrente em qualquer ponto. Então vamos descobrir a tensão, usando a resistência equivalente do ponto com a corrente total: V0 = 2ohms*(8/7)A = 16/7V (ainda em forma fracionária pra resultados mais precisos)

Agora consideremos o circuito em paralelo, de novo. Com a resistência de 3ohms em cima e 6ohms embaixo. O ponto que importa é lá embaixo, e temos que a tensão naquele lugar é 16/7 e a resistência é 6ohms, logo: i = (16/7)/6 = 16/(7*6) = 16/42 = 8/21A Esse é igual aproximadamente 0,38A, mas a dica é: sempre arredonde as coisas DEPOIS de conseguir todos os valores. Pode ser que professor nenhum cobre, mas matematicamente todo mundo sai ganhando. Existem exemplos aonde podemos descobrir um resultado exato se mantivermos a fração.

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Determine Rt, Is, I1, I2 e Va.

(perdão, esqueci de por o Va no pontinho preto ali)

Bem, analisemos o circuito. Começamos uma malha fechada com 36V e todas as correntes são indeterminadas. O circuito se divide em dois, um com duas resistências em série e outro com outra divisão e resistências em paralelo.

Parece difícil determinar as coisas sendo que temos tão poucas informações. O mais fácil parece ser determinar a resistência total. Concorda comigo? Tudo bem, então vamos resolvê-la de uma vez e fazer o resto que soa mais complicado. O circuito em série forma uma única resistência, que é a soma das duas resistências: Req1 = 10+2 = 12ohms O circuito em paralelo forma uma única resistência, e aí entra a fórmula da resistência em paralelo para apenas dois resistores: Req2 = (10*15)/(10+15) = 150/25 = 6ohms Agora temos um circuito em paralelo:

Se resolvermos a resistência equivalente, teremos uma única resistência: Req3 = (6*12)/(6+12) = 72/18 = 4ohms Que fique claro que isso é Rt, a resistência total do circuito.

E agora podemos resolver mais coisas, né? Nesse circuito de uma resistência só que idealizamos (acho desnecessário desenhar). Temos uma única corrente Is com uma resistência de 4ohms e uma fonte de 36V. O que isso quer dizer? Sim, que dá pra resolver a corrente Is. Is = 36V/4ohms = 9A Ok, retiramos do circuito com uma única resistência todos os valores possíveis, agora voltemos a prestar atenção naquele circuito com duas resistências em paralelo.

Temos uma corrente i1 descendo para uma única resistência de 6ohms e outra corrente i2 descendo para uma única resistência de 12ohms. Como a voltagem continua 36V, temos mais duas correntes que podemos descobrir agora mesmo. i1 = 36/6 = 6A Pro i2 você pode fazer a Lei de Ohm pra um resistor de 12ohms, ou também pode fazer a Lei de Kirchhoff da corrente que diz que a soma das correntes que entram é igual a soma das correntes que saem. Is = i1 + i2 -> 9 = 6 + i2 -> i2 = 9 – 6 = 3A

Temos magicamente quase todas as respostas! Falta aquele Va ali, que só aparece no circuito completo. O Va é facílimo quando se tem a corrente i2, mas muitos (inclusive euzinho fiz isso uma vez) se perdem na hora de determiná-lo. Lembrem-se, após passar pelo resistor a tensão sofre uma queda, então de forma alguma Va é igual ao Vt (36V). O esquema é o seguinte: Va representa toda a tensão que sobrou após o contato com o resistor de 10ohms, que é o primeiro resistor. Se o circuito só tem dois resistores, certamente quando a tensão passar pelo segundo ela se tornará 0 (Lei de Kirchhoff das tensões)... O que significa que o segundo resistor consome toda a tensão que restou do primeiro resistor. Logo, Va representa a tensão que o segundo resistor consumirá. Va = i2 * 2ohms = 3A * 2ohms = 6V

E esse é o fim de mais um exercício aparentemente trabalhoso mas fácil.

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Determine I1, I2, I3, Va e Vb.

Esse exercício é chato. Bem chato, aliás. Primeiro, antes de tudo, não se assustem. É uma malha fechada. Aquele terra no final indica que o circuito acabou e vai voltar ao ponto inicial, com 20V. Esclarecido isso, vamos ao que interessa.

Então, vamos analisar o circuito e ir secando suas resistências até se tornar uma só. Ele começa com uma resistência de 3ohms e se divide em dois, um pedaço com uma resistência de 3ohms que acaba ali, e outro pedaço com outra resistência de 3ohms e logo em seguida outra divisão, cada uma contendo uma resistência de 6ohms e fechando o circuito. Ok, ok, então façamos as equivalências.

Lá embaixo primeiro, um circuito paralelo com duas resistências de 6ohms cada. Req1 = (6*6)/(6+6) = 36/12 = 3ohms

(é melhor desenhar assim do que tudo em série, vocês vão entender porque depois)

Então, recapitulando, de um lado temos duas resistências de 3ohms, uma natural em cima e outra que acabamos de fazer embaixo. Resistência em série. Req2 = 3+3 = 6ohms

Agora temos duas resistências em paralelo, uma com 6ohms e outra com 3ohms. Mas não esqueçamos que acima de todo o resto do circuito há uma resistência de 3ohms, então vamos acrescentá-la depois. Por enquanto, façamos a equivalência das paralelas: Req3 = (6*3)/(6+3) = 18/9 = 2ohms

Ok, agora nosso circuito tem duas resistências. Uma de 3ohms, outra de 2ohms. Ou seja, sua resistência total é: Rt = 3+2 = 5ohms E agora, com a resistência total e a voltagem total (20V, nunca deixou de ser), podemos descobrir a corrente i1. Lei de Ohm básica: i1 = 20V/5ohms = 4A

Agora que temos essas resultados, voltemos ao segundo circuito que eu desenhei. Lembrando que a tensão Va é o que restou da tensão total quando ela passou pelo resistor de 3ohms, podemos agora resolver a tensão Va, já que temos a corrente total e a resistência e assim podemos descobrir quanto o primeiro resistor consumiu. Tensão não se divide pra circuito paralelo. Va = Vt – Vr1 = 20V – (3ohms*4A) = 20V – 12V = 8V (usei Vr1 como Voltagem da resistência 1)

Com essa tensão, temos outra coisa que podemos determinar também: a corrente que passa pela resistência única de 3ohms da primeira divisão. Aquela lá, abaixo do Va. Se determinarmos ela, conseguimos achar i2 pela Lei de Kirchhoff das correntes. Essa podemos descobrir pela Lei de Ohm simples: Ia = 8V/3ohms = 8/3A Lembrem daquilo que eu falei pra vocês e não arredondar no outro exercício. O combinado era descobrir essa resistência e fazer a Lei de Kirchhoff, né? Então aqui vai: i1 = i2 + Ia -> 4A = i2 + 8/3A i2 = 4 – 8/3 = (12-8)/3 = 4/3A

E é isso aí. Agora resta Vb e i3. Vb é fácil, é só descobrir da mesma forma que foi descoberto o Va: ele é o que resta da tensão Va quando ela passa pelo resistor de 3ohms. Vb = Va – Vr2 = 8V – (3ohms*(4/3)A) = 8V – 4V = 4V

E agora que temos Vb, podemos descobrir i3 pela simples Lei de Ohm. Primeiro, lembrem que voltamos a usar o primeiro circuito, aquele com tudo em paralelo, logo duas resistências de 6ohms no fim. Temos a tensão no ponto, e a resistência de 6ohms. Só fazer a conta: i3 = 4V/6ohms = 2/3A

Achamos todos os resultados, vamos colocar todos novamente aqui no final: i1 = 4A i2 = 4/3A ou aproximadamente 1,33 i3 = 2/3A ou aproximadamente 0,67 Va = 8V Vb = 4V

E esses foram todos os exercícios em aula. Certamente eu não tenho uma didática perfeita então qualquer dúvida pode tirar comigo, perguntar, pode sugerir outras didáticas também... O que eu puder ajudar, estou disponível. Bom dia a todos.

Aula I (Revisão de Física I) - Mecânica dos Sólidos

Curioso o fato da gente ter revisão de geometria analítica e álgebra linear em Física II, e ter revisão de Física I em Mecânica dos Sólidos, mas bem, aparentemente uma é continuação da outra. Não resolvemos nada ontem, só lembramos das equações tradicionais do movimento então deixarei elas aqui e bom proveito.

Movimento Uniforme: velocidade constante

Pouca coisa a se explicar. A fórmula da posição em MU é a primeira, derive-a e sobra apenas a velocidade, determinando assim que a velocidade é a derivada da posição com relação ao tempo.

Movimento Uniformemente Variado: aceleração constante

Também pouco a explicar. A fórmula da posição em MRU é a primeira, derive-a e sobra a fórmula da segunda linha, e como a velocidade por definição continua sendo a derivada de S(t) temos uma equação pra velocidade em MRU. Derive-a novamente e sobra apenas a, e assim podemos definir que a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo, e que a aceleração é a derivada de segunda ordem da posição com relação ao tempo.

Segunda Lei de Newton

Fórmulas básicas, também. A primeira fórmula é a do momentum, e a segunda é a da força. Não há nem o que se trabalhar em momentum, mas a Força é basicamente a derivada do momentum com relação ao tempo. Acaba-se precisando debulhar o momentum, e trabalhar com a massa (m) e a velocidade (v, ou V(t)). Então temos uma derivada de m*V(t), sendo que podemos isolar o m pois é uma constante. Sobra uma derivada de velocidade com relação ao tempo que, como definimos acima, é a aceleração. No final, temos que a força é a multiplicação da massa pela aceleração. Isso a gente lembrava do ensino médio.

Pouquíssima coisa a aula ontem, mas foi divertida. Se precisar desse conteúdo, tá na mão.

#física geral I #mecânica dos sólidos #primeira lei de newton #segunda lei de newton #posição #velocidade #aceleração #massa #momentum #força

Aula I (Revisão) - Física Geral II

Bem, como o professor disse, pra pagar Física Geral II precisamos ter conhecimento do curso todo até agora (fora as matérias que foram realmente desnecessárias, ou, sei lá, Química Aplicada, mas química funciona mais na prática)... Então a revisão começou, mas só "revisamos" Álgebra Linear/Geometria Analítica. Vou passar a vocês os exercícios que fizemos em sala e todas as resoluções que usamos.

Vetores:

O professor nos deu esses dois vetores de início, e três exercícios iniciais pra fazer. Foram eles A+B (soma), A.B (produto escalar), AxB (produto vetorial). Vamos botar resolvidos e explicá-los:

Soma

Esse é o mais óbvio. Operação de soma. É como se você tivesse três variáveis, xyz, e tivesse que somá-las - fica mais fácil se fizer a soma como no segundo passo, separando-as por variáveis. Não tem erro, mesmo pra quem não lembrava da matéria (todos).

Produto escalar

Difícil lembrar, né? Ok, todos entendemos. Mas é fácil, de qualquer forma. É só lembrar da seguinte regra: em produto escalar, vetores do mesmo eixo multiplicados resultam em 1, vetores em eixos diferentes multiplicados resultam em 0. Eu fiz toda uma esquemática complicada de distribuir os valores, vetor a vetor, mas o jeito mais fácil é você multiplicar i com i, j com j e k com k de uma vez (no último exercício faremos assim), já que os vetores de eixos diferentes vão se anular mesmo. Vale a pena lembrar que vetor escalar vetor não é vetor, é 1, então o vetor vai sumir e só vai sobrar o algarismo. Facinho, não vamos esquecer porque não só Física Geral II como Mecânica dos Sólidos vai usar e abusar das regras dos vetores.

Produto vetorial Mais chata das três, de longe. Primeiro: o que ocorre é o oposto do escalar pra igualdades, vetor x vetor é 0. Depois, para todos os outros vetores, seguimos o relógio:

Primeira consideração: a ordem em que o vetor é multiplicado importa. Preste atenção pra não inverter em algum momento. i x j é diferente de j x i, i x j = +k, j x i = -k, segundo o relógio. Usando o relógio, é só fazer a distributiva. Dessa vez ela é realmente necessária, porque só um termo dos três se anula. De qualquer forma, o resultado da multiplicação dará uma soma de vetores que você terá de resolver, mas essa é a parte mais fácil.

Produto vetorial usando matrizes O próximo exercício foi pegar o produto vetorial e resolver através da determinante de uma matriz 3x3, que é o método mais usado por ser, de longe, o mais prático.

O que se fez foi o seguinte: na primeira linha da matriz, os três vetores desejados (ijk). Na segunda linha, os algarismos de A (na ordem ijk). Na terceira linha, os algarismos de B (também na ordem ijk). Resolve-se a determinante da matriz do jeito mais simples possível e obtêm-se o resultado. Facílimo.

Último exercício: produto vetorial por matriz + produto escalar O exercício era (AxC).B, ou seja, resolvia-se primeiro o produto vetorial AxC (sendo C o resultado do exercício anterior, [-8i + 8j + 10k]), e com o resultado era pra fazer escalar com B.

E é isso aí, galera. Só é uma conta enorme, mas não é nada do que não tínhamos feito antes. Aliás, todo esse conteúdo a gente já tinha visto antes porque era uma revisão, mas as férias tavam gostosas demais pra lembrar, né?

De qualquer forma, todo o conteúdo apresentado na primeira aula ontem foi esse. Se precisarem em algum momento do conhecimento necessário pra fundamentos de vetor em Física II e Mecânica dos Sólidos, esse é o tópico. Um bom dia a todos. :)

#vetores #física geral #aula I #engenharia de computação #unopar #3º semestre #revisão

Aula I - Linguagens e Técnicas de Programação Orientada a Objetos

Então, gente. Não sei se farei resumo de todas as aulas, mas a matéria de ontem foi bem sossegada então vale a pena tentar alguma coisa pra começar. Aliás, praticamente só lembramos como programar (rs), vou deixar aqui passo-a-passo do que foi feito ontem pra vocês fazerem em casa se precisarem.

a) Os downloads JDK: facílimo de fazer e instalar. Só clicar em Download abaixo do JDK (não JRE, sempre bom lembrar), escolher a opção que corresponde ao sistema operacional e à sua arquitetura. São apenas 80MB. Não acho que seja necessário explicar a instalação também, o que é conveniente porque tenho ele instalado faz um tempo já e teria de reinstalar, então prossigamos. (se for preciso o passo-a-passo, avisem)

Eclipse: escolha a Eclipse IDE For Java Developers, selecione o sistema operacional e arquitetura desejados e bom download. Quando terminar, extraia e execute o aplicativo: ele pedirá um local de trabalho, aonde serão preferencialmente salvos seus projetos.

b) Os exercícios em C

1. Escreva um algoritmo que escreva seu nome na tela. Esse exercício foi pra rir, né. Aposto que a maioria de vocês fez assim:

E ok. É a solução mais fácil, mas só pra não deixar batido... Quando eu não sabia que estava autorizada essa maneira, eu fiz assim:

(vale a pena lembrar que meu vetor é de 9 chars porque, bem, meu nome tem oito letras; mas é só trocar pelo tanto de caracteres que tem seu nome + 1)

Mais complicadinho, mas convenhamos, não é nada perto do que encaramos semestre passado e do que está por vir.

2. Escreva um algoritmo que implemente a sequência de Fibonacci. Esse exercício foi um pouquinho mais complicado, mas ainda era fácil, considerando que não havia nenhuma restrição. Podia-se usar quantas variáveis quisesse, recursão, for e o caramba. E podia imprimir quantos números da sequência quisesse também.

Então, a sala fez de uma forma e se quiserem podem me apresentar, a minha foi a seguinte:

E é isso aí.

c) Os exercícios em Java A parte que todo mundo quer aprender, de verdade, esse semestre. Mas foi igualzinho em C, só com a diferença da impressão.

Primeiramente, vamos lembrar o passo-a-passo de como faremos esse programa no Eclipse. Se não abriram o Eclipse ainda, abram. Aberto, feche a janela do Wizard e estará na mesma tela que viram ontem, com o prazer de não ter que trocar JavaEE por Java na parte lá em cima porque já vem ajustado.

Agora, File -> New -> Java Project. Dê o nome que quiser em Project name, troque a JRE por Use default JRE (currently 'jre7')... Aliás, depende da versão, mas essa que baixamos vem com essa por default. Já pode dar Finish, embora hajam passos adiante. Mas não foram apresentados ainda.

Na janelinha com o nome do seu projeto, expanda-o para melhor visibilidade das coisas. Clique com o botão direito, New -> Class. Bote o nome e deixe o resto do jeito que está, Finish e agora podemos programar.

1. Escreva um algoritmo que escreva seu nome na tela.

O primeiro exemplo:

É, de fato, algumas coisinhas mudaram. O public class nome já veio assim que criamos a classe (de nome, bem, "nome", no meu caso). Foi necessário criar a "função" main, com a String args[], mas agora não é apenas void e sim public static void. Tudo isso é coisa que veremos pra que serve mais tarde, mas por enquanto é isso. E quanto ao printf, foi substituído por System.out.println. Um pouco mais longo, mas também veremos porquê.

O segundo exemplo:

Mais fácil que em C, dessa vez. Não precisei colocar nenhuma função chata de lembrar como strcpy. A mesma coisa pro main, no entanto, note que não usei um vetor de char e sim uma variável do "tipo" String propriamente dito. Note também que ele não está em negrito. SPOILER ALERT: veremos mais pra frente que essa String em maiúsculo não é um tipo, e sim um objeto, mas bem. Também pude inicializar a variável com texto, coisa que acho que dá pra fazer em C, mas não me recordo. Bem besta. E no final, não foi necessário colocar %s dentro do println. Só o nome da variável já bastou.

2. Escreva um algoritmo que implemente a sequência de Fibonacci. Agora que sabemos como criar a main, e sabemos como imprimir, não tem diferença nenhuma. Sério.

Se você analisar, é a exata mesma coisa de Fibonacci pra C, só que com a sintaxe do Java. Mesmíssima coisa.

E foi isso aí a aula de ontem. É spoiler pra quem vai ter aula com o Soler hoje, mas eu quis postar logo de uma vez pra não esquecer. E é fácil pra caramba, alguns com certeza vão achar esse tópico completamente desnecessário... Mas pra manter organizadinho é bom, e se precisar tá aí.

#aula I #engenharia de computação #java #java for newbies #linguagens e técnicas de programação #orientação a objetos #unopar #3º semestre

Lista de Coordenadas Esféricas - Cálculo Diferencial e Integral II

A temorosa lista final, Coordenadas Esféricas. Enquanto nela temos as maiores contas, não precisamos de tanta análise de gráfico pra resolver os exercícios (é quase a mesma coisa de Cilíndricas nesse quesito, vai ter um exercício ou outro pra dar trabalho mas o resto é o resto). Mas enfim.

Utilidades:

Agora, aos exercícios!

3. Calcule o volume da região R formada pelas esferas x²+y²+z²=a² e x²+y²+z²=b², onde b > a. Essa questão parece complicada a princípio, mas é apenas uma versão diferente de um exercício que já fizemos antes. Lembram, na lista de coordenadas polares, o exercício de região anular? Que tinha dois círculos, um dentro de outro, e precisávamos descobrir a área que o maior tinha, não-pertencente ao menor?

(lembram desse exercício? Agora imagine que isso daí é uma figura 3D, não 2D)

E vocês lembram como resolvemos a região anular, né? Montamos uma integral que ia do raio a ao raio b, etc. Nesse caso, pois é, não muda quase nada. Exceto que não teremos uma integral em coordenadas polares e sim em coordenadas esféricas, então o que vai de a a b não é o raio, e sim o ρ.

Mas esse é o primeiro limite, temos que estabelecer os outros dois. O do meio envolve o modo como será feito o giro de varredura de ϕ , e, bem, temos esferas regulares aí. Em esferas regulares, o giro de varredura costuma ser em 180°, o que dá, bem, π em radianos. É óbvio que começa em 0.

E o terceiro limite, bem, é o normal das coordenadas cilíndricas que já estamos acostumados. É uma esfera completa, vai de 0 a 2π.

Montada a integral, vamos resolver.

Resolvido? Próxima.

Bem, esse exercício (um pouco modificado, claro) foi tipo o FATALITY na prova. Inclusive eu ainda tenho um ódio absurdo dele porque foi ele que eu errei. Mas isso não vem ao caso, vamos resolvê-lo de uma vez. Lembram daquele exercício do cilindro+parabolóide das coordenadas cilíndricas? Pois é, assim como o 3 era o Hard Mode das coordenadas polares, esse daqui é o Hard Mode das coordenadas cilíndricas.

O que acontece é o seguinte: temos duas figuras, uma esfera e, dentro dessa esfera, um cone. Precisamos achar o volume que pertence à esfera e não ao cone, mais ou menos assim:

(o desenho muito provavelmente deve ter coisas incorretas, mas entendendo aonde se deve calcular o volume, basta)

Já que já sabemos o que vamos fazer, vamos montar a integral, que é muito mais fácil do que parece porque o exercício nos faz o precioso favor de dizer TUDO o que precisamos.

A função que vamos colocar na integral? Check, é aquele z junto com a raíz. Claro, tudo convertido para coordenadas esféricas.

O limite de ρ? Facílimo. x²+y²+z²=a² (no exercício foi colocado errado), então vai de 0 a a. E o limite de ϕ ? Também. O exercício nos diz que o ângulo entre o eixo z e a superfície é α , então vai de 0 a α. Oras. O limite de θ é o único que não nos é dado, mas já manjamos o suficiente para saber que vamos fazer uma varredura de círculo completa, 360°. 0 a 2π.

Então? Integral montada, vamos trabalhar. Convertendo os valores antes, claro.

Difícil? Mas não impossível. Ainda mais agora, que vocês sabem como faz. Se entenderam minha explicação. (sempre bom lembrar que, se não entenderam, eu faço questão que me perguntem ou até mesmo enviem explicações melhores, não tem orgulho nenhum em blog feito pra ajudar uns aos outros)

NÃO CONFUNDAM O EXERCÍCIO COMO EU FIZ, SÉRIO. Aquele xyz não é uma mera representação de f(x, y, z), estamos integrando xyz. Cuidado.

De qualquer forma, vamos ler o exercício como um todo, porque parece bem fácil: temos uma esfera xyz de rho 4, e queremos calcular apenas o volume do primeiro octante dela. Primeiro octante, lembram?

Exatamente, vamos calcular o volume nessa proporção aí. O primeiro quarto da figura. Usando aquela função xyz.

Só que não é simplesmente assim, integrar xyz e pronto. Temos que considerar que estamos pegando apenas uma parte da esfera, e com isso, as duas varreduras mudam. Mas não se preocupe, essa parte não é assim tão crítica. Pelo contrário, não é muito difícil de decifrar.

Primeiro, se estamos pegando 1/4 da esfera que permite um giro de até 360°, theta será obviamente 1/4 de 360°. Em radianos, isso fica 1/4 de 2pi, o que seria pi/2. E com isso, concluímos que theta vai de 0 a pi/2.

Segundo, e bem mais complicado de entender: a varredura phi. Pra falar a verdade, pela figura, eu não conseguiria deduzir - confesso que passei bem falho nessa parte, porém eu coloquei a fórmula para o phi logo no início, né? Então, foi justamente pra esse exercício. Ela não seria necessária se fossemos deduzir na figura, mas como eu deveria uma explicação completa pra vocês, vou pelo caminho que dominei, que é a fórmula matemática em si. Lembrando que, em uma esfera, rho é equivalente ao raio. Porque x²+y²+z²=r² E x²+y²+z²=rho². Logo, pela função x²+y²+z²=16, podemos determinar que rho e o raio são a raíz de 16, que é 4. Colocando 4 nos dois lugares da fórmula do phi:

Perdão se soar mais complicado, não dispenso explicações melhores, como sempre. Mas bem, agora sabemos que a varredura phi vai de 0 a pi/2 também.

Já determinamos que rho é 4, né? Então temos a integral quase montada, só converter o resto para coordenadas esféricas e começar a patifeira.

Pois é, gente. Ninguém falou que a integral seria fácil, também. Sempre bom, quando for trabalhar com coordenadas esféricas, estar com a trigonometria muito bem afiada - porque os exercícios VÃO cobrar.

6. Faça o exercício 5 agora usando coordenadas cilíndricas. Bem, galera. Esse exercício é basicamente reanalisar o outro em outras coordenadas. Pra falar a verdade, só muda uma coisa: não sabemos a altura z pra colocar na integral. Mas primeiro vamos falar do que temos, depois voltamos pra altura z.

Varredura theta: não muda, continua de 0 a pi/2. Raio r: já achamos o raio pra resolver a questão do ângulo phi na 5, ele também é 4.

Ótimo, estamos situados no que temos, agora vamos falar de altura z. Lembram dos piores momentos de coordenadas cilíndricas, e integrais triplas, aonde precisávamos isolar a variável para colocar na integral? Pois é, eles estão de volta. Mas só pra um limite, felizmente.

Queremos saber como vamos colocar z na integral e, bem, a única saída é pegá-lo na função x²+y²+z²=16 e isolá-lo. z²=16-x²-y² z=sqrt(16-x²-y²) E como estamos discutindo coordenadas cilíndricas, já podemos transformar x e y diretamente: z=sqrt(16-r²) Esse é o limite final, e apenas. Analise bem a figura. Note que, se estamos discutindo apenas um octante, a altura começa essencialmente em 0. Então z vai de 0 a sqrt(16-r²).

Dá pra montar a integral? Sim. Só substituir os termos restantes.

#cálculo #cálculo diferencial e integral II #coordenadas esféricas

Lista de Coordenadas Cilíndricas - Cálculo Diferencial e Integral II

Muitos temem ainda mais as coordenadas cilíndricas e, especialmente, esféricas. Eu particularmente não, e vou tentar passar pra vocês nessa lista porque é muito mais fácil integrar figuras que suportam coordenadas cilíndricas que as que exigem coordenadas cartesianas.

A começar, um breve resumo de coordenadas cilíndricas, aonde presumo que você já tenha estudado um pouco integrais triplas e MUITO BEM coordenadas polares. É favorável que lembre um pouco da geometria analítica do primeiro bimestre. Pois bem, você deve ter estudado muito bem coordenadas polares porque as coordenadas cilíndricas são, apenas, suas sucessoras. Enquanto usávamos coordenadas polares para calcular área (2D) de figuras circulares, as coordenadas cilíndricas são exatamente isso só que com o acréscimo da terceira dimensão (geralmente altura z). Enquanto em coordenadas polares convertíamos dA em rdrdϴ, em cilíndricas convertemos dV em dzrdrdϴ. Simples, não? Talvez não pareça tanto agora, mas veremos nos exercícios.

Ah, sim, enquanto x continua virando rcosϴ, e y continua rsenϴ, z vira... Nada. Continua z, mesmo, já que temos um diferencial exclusivo pra ele.

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1. Calcule a integral:

Questão dada, infelizmente uma dessas nunca cai na prova. A integral já tá montada e dada em coordenadas cilíndricas, é só resolver.

Ah vá, essa é de boa.

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2. Calcule o volume do parabolóide z = 16-x²-y² para z >= 0. (bem, gente, espero que não se incomodem com o >=... Como fazemos computação, nada mais natural que ler "maior ou igual a" na hora, não é?)

Primeiramente, a geometria analítica de um parabolóide tem que estar bem fixa na mente de vocês. z = 16-x²-y² significa claramente um parabolóide de boca pra baixo, de altura máxima 16 e raio 4 quando toca o eixo x (z = 0). Como z está limitado em >= 0, já sabemos o raio máximo; e já sabemos a altura máxima também.

(parabolóide da função muito bem desenhado)

dzrdrdϴ Limites dz: não vamos pegar simplesmente que z vai de 0 a 16, dessa vez usaremos as características comuns de integral tripla. z depende tanto de x quanto de y, mas não há diferencial para x nem para y, porque temos que converter tudo em coordenadas cilíndricas: z = 16-x²-y² = 16-r²cos²ϴ-r²sen²ϴ = 16-r²(cos²ϴ+sen²ϴ) = 16-r²*1 = 16-r² Logo, z vai de 0 a 16-r².

Limites dr: o raio vai de 0 a 4, já determinamos isso.

Limites dϴ: se dá por varredura do círculo (em radianos), e como é um parabolóide completinho dos lados (vai de -4 a 4 tanto em y quanto x), o círculo faz uma varredura de 360°, o que significa que ele vai de 0 a 2π.

Integral montada? Então vamos calcular:

Até agora são questões dadas. Mas não fica muito pior, exceto uma em especial que eu nem mesmo sei resolver. Não se preocupe.

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3. Calcule

, usando coordenadas cilíndricas, onde R é limitado superiormente pelo parabolóide z = x²+y² e inferiormente pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro x²+y² = 4. Essa questão é facílima, mas é um pé no saco. Pé, no, saco. De explicar. Isso porque pra uma prova convem muito mais você decorar a integral e montar, mas o professor é ótimo em DESTRUIR a prova de quem decora exercício, recomendo muito mais entender mesmo. E vou me esforçar o máximo pra explicar bem e ajudá-los a entender também.

O esquema é o seguinte. Só de ler o exercício sabemos que temos um parabolóide, e pelos sinais sabemos que temos um parabolóide de boca pra cima. Até aí ok, mas não queremos saber do parabolóide. Sério. A figura que vamos calcular o volume não é um parabolóide, é um sólido único que têm características de parabolóide e de cilindro. Só sabemos que a altura z segue aquela função ali (R é "limitado superiormente"). Quanto aos limites laterais, bem, isso nos dá a função do comprimento y e da profundidade x, que seguem as propriedades de um cilindro.

Se você tentar plotar usando as duas figuras, vai dar um gráfico assim:

Calcularemos o volume da parte em amarelo.

Entenderam? Eu REALMENTE estou aberto a propostas de explicações melhores, porque sinceramente, eu entendo o exercício mas tenho uma dificuldade imensa em passá-lo.

Ok, figura montada, agora precisamos montar a integral:

dzrdrdϴ Primeiro, já temos uma função inicial x²+y² a colocar na integral antes mesmo de qualquer coisa, que é a função do cilindro. x²+y² em coordenadas cilíndricas sabemos que se torna r², então basicamente vamos começar já integrando r² assim:

Agora vamos aos limites: dz: já está especificado no exercício que z depende de x²+y² (que é r²), não é? Então, basicamente, esse é o limite final. Pela figura (e pelo exercício também, aquela parte de "limite inferior"), sabemos que o limite inicial é 0. Basicamente, z vai de 0 a r². dr: o raio máximo é 2 (x²+y² = 4), de 0 a 2. dϴ: 2π.

Então, a integral completa é isso, e já vamos resolver:

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4. Calcule o volume do cilindro de raio R, altura h e z >= 0, por:

a) Geometria espacial. Esse exercício é mais que simples, é inútil. É só você lembrar da fórmula do ensino médio: πr²h

b) Integral em coordenadas cilíndricas. Só montar a integral com os limites de 0 a 2π, 0 a r e 0 a h. A genérica dos cilindros. Fica assim:

c) Integral em coordenadas cartesianas. É a integral normal, de limites dzdydx ou a ordem dos diferenciais que você desejar. A fórmula do cilindro é x²+y²=r², com z sempre independente, logo dz indo de 0 a h. Basicamente.

Enquanto dx e dy não vão de 0 a alguma coisa, já que eles formam um círculo que é definido em torno de 0. Ele vai de -(alguma coisa) a (alguma coisa), naturalmente. No caso, o desafiado é dy, então vamos isolá-lo da função: x²+y²=r² -> y²=r²-x² -> y = sqrt(r²-x²) Logo, dy vai de -sqrt(r²-x²) a sqrt(r²-x²). Simples.

dx é mais fácil, é só eliminar o eixo y e isolar x, o que dá: x²=r² -> +-x = +-r Logo, dx vai de -r a r.

Olha, como eu tentei resolver a integral e, por um milagre, consegui, vou postar aqui pra vocês a resolução. Se acharem muito complicado de entender, não se preocupem, eu duvido muito que o professor vá cobrar.

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INFORMAÇÕES RELEVANTES ANTES DE FAZER O PRÓXIMO EXERCÍCIO: δ = m/v, m = δV, onde m = massa de um corpo, V é o volume e δ

é a densidade. A massa de um sólido é dada por m =

5. Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto com raio a e altura h. Ache a massa se a densidade em um ponto P é diretamente proporcional à distância de uma das bases a P. (sugestão: use coordenadas cilíndricas e diga que δ(x, y, z) = kz, onde k é uma constante)

Vamos lá. Cilindro circular reto com raio a e altura h, temos as fórmulas x²+y²=a², e uma altura h fixa. Ou seja, nos limites, colocaríamos: 0 a 2π de varredura, porque nos foi informado que temos um cilindro completo. Raio de 0 a a, hurr durr. Altura de 0 a h, também sem segredo. Essa integral é facinha de montar, e não é muito difícil de resolver também. A função inicial é kz, como sugerido pelo exercício, e voalá:

Exercício até muito fácil pra ser o último, mas é isso mesmo. Espero que tenham entendido bem o conteúdo, porque a prova de cálculo passada teve mais de um exercício de coordenadas cilíndricas... Então, é, o professor cobra bastante!

A lista de coordenadas esféricas vem logo em seguida e esperem pelas contas mais monstro de todo o Cálculo Diferencial e Integral II.

#cálculo #cálculo diferencial e integral II #integrais triplas #coordenadas cilíndricas

Lista de Integrais Triplas - Cálculo Diferencial e Integral II

LISTA DE INTEGRAIS TRIPLAS Ah, a temerosa... Honestamente, acho a mais chata de todas as listas. Embora todos tenham a impressão de que coordenadas esféricas sejam o pior conteúdo do semestre, só as triplas têm essa chatice desigual de ter de imaginar QUALQUER tipo de figura. Esféricas, bem, é só imaginar algo relacionado a esferas ou cones e montar equações.

Mas ok, nada de novo a apresentar a vocês aqui, vamos direto aos exercícios.

1. Calcule a integral iterada.

1......................

Olha. Tá, é uma integral tripla. Mas convenhamos, é muito fácil; não tem segredo nenhum.

2......................

3......................

4......................

5......................

ESSA integral é o Hard Mode desse exercício. "Ah, mas você disse que não tem segredo!!!" E não tem. Mas é natural que você se perca nela e tenha que apagar meia página de conta, e isso mais de uma vez. Pra facilitar, vou usar ao extremo a técnica de colocar coisas pra fora da integral. Note a separação:

6. Outra mais difícil que as primeiras, mas nada tão monstruoso quanto a quinta.

(do fundo do coração, torço pra que esteja inteligível)

7-10. Se f é uma função contínua arbitrária de três variáveis e Q é a região exibida na figura, expresse

como uma integral tripla iterada de seis maneiras diferentes.

Sólido 7

O exercício que temos aqui é o seguinte: não temos que resolver integral nenhuma, mas sim olhar pra figura, pras fórmulas e montar seis integrais diferentes que descubram o volume. Tudo o que precisamos aqui é saber o básico de análise de figuras, e saber jogar com as equações. Não tem muito segredo e, após resolver esse primeiro, os outros serão fáceis de resolver de olhos fechados.

A figura dispensa explicações, e devemos partir para montar a integral direto. Existem seis maneiras diferentes de montar a integral, e eles dependem da ordem dos diferenciais: 1. dxdydz 2. dxdzdy 3. dydxdz 4. dydzdx 5. dzdxdy 6. dzdydx

Pois é. O exercício pede pra que você mostre todas essas seis, montadinhas, e corretas. O jeito de tirar prova real é resolvendo as integrais e vendo se todas dão o mesmo resultado, mas é claro que não vamos resolver dez mil integrais se não é necessário então confirmaremos apenas na calculadora (como suponho que esteja estudando no computador, tenha a sua Wolfram Alpha, MATLAB ou Microsoft Mathematics do lado). Mas vamos logo.

dxdydz Como essa é a nossa primeira integral, é a que mais nos vai dar trabalho. As outras sempre vão reaproveitar alguma coisa de alguma que a gente já resolveu antes. Primeiro passo: limites de dx. Como a integral começa em dx, o limite da frente é baseado na função f(x) considerando TODAS as variáveis. O x começa em 0 (vemos pela figura), e vai crescendo dependendo de y e z. Conseguimos achar essa dependência isolando x da função completa: x+2y+3z = 6 -> x = 6-2y-3z E esse é o limite final de dx (de 0 a 6-2y-3z). Segundo passo: limites de dy. Agora a função já não tem mais x, mas y continua dependente de z para crescer. Sabemos que y TAMBÉM inicia em 0, mas não podemos dizer que ele vai simplesmente de um ponto a outro. Podemos descobrir sua dependência pegando a função anterior, desconsiderando o eixo x e eliminando y: 2y+3z = 6 -> 2y = 6-3z -> y = (6-3z)/2 E aí está nosso segundo limite final. Terceiro passo: limites de dz. O mais fácil passo, já que trabalhamos apenas com algarismos, sem nenhuma variável aqui (o último diferencial é independente). Pela figura, vemos que ele vai de 0 a 2. Se quiser descobrir esse valor, apenas pegue a função original, elimine o eixo x e y e isole z: 3z = 6 -> z = 6/3 = 2 Não é isso? Integral montada:

A integral não é irregular: não sobra nenhuma variável, temos o resultado fixo. E o resultado é 6uV. Pode fazer na calculadora, é isso daí mesmo. Se essa integral estiver certa, TODOS os resultados depois desse devem ser 6uV.

dxdzdy Primeiro passo: limites de dx. Uma consideração a fazer é que o limite de uma variável quando ela é a primeira nunca muda, e quando ela é a última também. Isso ocorre porque na primeira ela SEMPRE será dependente de todas as variáveis, e na última ela SEMPRE será independente de variáveis. No entanto, no meio, ela estará dependendo de variáveis diferentes, por isso cada caso é único. Explicado, sabemos que os limites são de 0 a 6-2y-3z. Segundo passo: limites de dz. Já sabemos como pegar, só não o temos. É meio caminho andado. Peguemos a função original e eliminemos o eixo x, agora isolemos z: 2y-3z = 6 -> 3z = 6-2y -> z = (6-2y)/3 Pronto. Terceiro passo: limites de dy. Podemos ver pela figura que y vai de 0 a 3, e podemos provar isso eliminando todos os outros eixos da função e isolando y: 2y = 6 -> y = 6/2 = 3 Simples, não? A integral fica:

Resultado: 6uV novamente. Parece que estamos indo pelo caminho certo.

dydxdz Primeiro passo: limites de dy. Se você não se lembra como descobrimos dx na operação passada, simplesmente pegamos a função total e o isolamos. Faremos o mesmo com dy agora: x+2y+3z = 6 -> 2y = 6-x-3z -> y = (6-x-3z)/2 Segundo passo: limites de dx. Pegamos a função original e eliminamos o eixo y, depois isolamos x, como já de costume: x+3z = 6 -> x = 6-3z Terceiro passo: limites de dz. Já sabemos que z vai de 0 a 2.

dydzdx Primeiro passo: limites de dy. Já temos: (6-x-3z)/2 Segundo passo: limites de dz. Pegamos a função original e eliminamos o eixo x, depois isolamos z: x+3z = 6 -> 3z = 6-x -> z = (6-x)/3 Terceiro passo: limites de dx. Bem, esse é inédito. Vemos na figura que vai de 0 a 6, e provamos ele eliminando todos os outros eixos da função, veja: x = 6

dzdxdy Primeiro passo: limites de dz. Isolemos z da função inicial: x+2y+3z = 6 -> 3z = 6-x-2y -> z = (6-x-2y)/3 Segundo passo: limites de dx. Pegamos a função inicial e removemos o eixo z, agora isolamos x: x+2y = 6 -> x = 6-2y Terceiro passo: limites de dy. Já sabemos que vai de 0 a 3.

dzdydx Primeiro passo: limites de dz. Já temos. (6-x-2y)/3 Segundo passo: limites de dy. Removemos o eixo z, isolamos y: x+2y = 6 -> 2y = 6-x -> y = (6-x)/2 Terceiro passo: limites de dx. Sabemos que vai de 0 a 6.

Respondido o exercício? Sim. Mas vem mais três chatíssimos por aí. Como eu disse, essa lista é definitivamente a mais chata.

Sólido 8

Esse exercício é mais sossegado porque o limite de z é constante (de 0 a 2), ele não depende de nenhuma variável. Resta apenas trabalho com x e y e, bem, é mais fácil do que parece. Como ele pede integrais iteradas, presumo que seja desnecessário trabalhar com coordenadas cilíndricas (próxima lista), embora se fossemos calcular DE FATO o volume seria o método mais adequado.

dxdydz Primeiro passo: limites de dx. Pegamos a função completa e isolamos x: x²+y² = 9 -> x² = 9-y² -> x = sqrt(9-y²) Mas a função começa em 0? Não. E não podemos dizer que ela começa em lugar constante. Ela começa no mesmo lugar que o limite final, só que invertendo o sentido do eixo. Logo, dx vai de -sqrt(9-y²) a sqrt(9-y²). Segundo passo: limites de dy. Eliminamos o eixo x da função e isolamos y: y² = 9 -> y = sqrt(9) = +/-3 Limite final e limite inicial, respectivamente. Terceiro passo: limites de dz. 0 a 2, constante. Aí você me diz: "é estranho, né!!! Temos duas integrais que temos constantes!!!" Sim, temos, mas não se preocupe, é isso daí mesmo. Dá pra você fazer uma analogia com o fato de, em coordenadas cilíndricas, você ter um limite de 0 a z para a altura... Mas eu não vou fazer isso.

O resultado vai dar 18π . Não me pergunte como, eu não resolveria uma integral dessas sem convertê-las pra coordenadas cilíndricas NUNCA. Envolve uma manipulação trigonométrica absurda (de onde mais brotaria um π?), e eu prefiro não passar por isso.

dxdzdy A integral não vai mudar praticamente nada. Só vamos inverter dy e dz e seus respectivos limites, que são as constantes. Quer ver? Primeiro passo: limites de dx. Temos o mesmo da anterior. Segundo passo: limites de dz. Constantes, 0 a 2. Terceiro passo: limites de dy. É o mesmo da anterior. Logo...

Simples, né?

dydxdz Agora sim as coisas vão mudar um pouquinho, mas bem pouquinho. Como trabalhamos com um círculo de altura elevada, é natural que mudemos apenas um terminho ou outro. Primeiro passo: limites de dy. Função inicial, isola y. Lembram? x²+y² = 9 -> y² = 9-x² -> y = sqrt(9-x²) Obviamente, indo de -sqrt(9-x²) a sqrt(9-x²) porque o eixo y não começa em 0. Segundo passo: limites de dx. Vendo na figura, começa em -3 e termina em 3. Isolando-o na função esquecendo do eixo y, bem, também dá +/-3. Que são os limites final e inicial. Terceiro passo: limites de dz...zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz.

dydzdx Não vou nem colocar os passos aqui. Só troquem dx por dz, só.

dzdxdy Para ser bem simples: vamos lembrar todas as outras partes, porque elas serão úteis. dz é de 0 a 2, então tudo o que nos sobra é uma integral dupla dxdy. Já sabemos como fica dx, e já sabemos como fica dy, porque já fizemos dxdydz. Basta repeti-las:

dzdydx: dz de 0 a 2, integral dupla dydxdz. Só olhar em outro exercício e repetir:

Todas elas dão o mesmo resultado, de acordo com a calculadora. Imagino que seja um resultado concreto.

Sólido 9

Essa é nos moldes da primeira, questão de ir isolando eixos e ignorando eixos. Facílima, só consome tempo.

dxdydz Limites dx: z = 9-4x²-y² -> z+4x² = 9-y² -> 4x² = 9-y²-z -> x² = (9-y²-z)/4 -> x = sqrt((9-y²-z)/4) Eixo vai de -sqrt((9-y²-z)/4) a sqrt((9-y²-z)/4), porque faz parte do círculo. NOTA: na resposta da lista está sqrt((9-y²-z)/2), mas eu só consigo imaginar que isso aconteça porque o /2 está FORA da raíz embora não pareça. Penso que seja isso: x = sqrt(9-y²-z)*sqrt(1/4) = sqrt(9-y²-z)/2 Posso estar errado, e em um erro SÉRIO porque isso interfereria no resultado final. Se me arranjarem uma teoria melhor, ficarei grato. Limites dy: z = 9-y² -> z+y² = 9 -> y² = 9-z -> y = sqrt(9-z). Vai de -sqrt(9-z) a sqrt(9-z). Limites dz: z = 9. Nada de +/- aqui, ele começa em 0. Tem que ser um valor específico.

dxdzdy Limites dx: já temos. Limites dz: z = 9-y², bem fácil, rs. Começa em 0, porque é o eixo z, note a figura. Limites dy: 0 = 9-y² -> y² = 9 -> y = sqrt(9) = +/-3

dydxdz Limites dy: z = 9-4x²-y² -> z+y² = 9-4x² -> y² = 9-4x²-z Limites dx: z = 9-4x² -> z+4x² = 9 -> 4x² = 9-z -> x² = (9-z)/4 -> x = sqrt((9-z)/4) -> x = sqrt(9-z)/2 (ocorre o mesmo problema aqui que ocorreu com dx mais pra cima) Limites dz: já temos.

dydzdx Limites dy: já temos. Limites dz: z = 9-4x² (e começa em 0) Limites dx: 0 = 9-4x² -> 4x² = 9 -> x² = 9/4 -> x = sqrt(9/4) = +/-3/2

dzdxdy Limites dz: err... z = 9-4x²-y² (começando em 0) Limites dx: 0 = 9-4x²-y² -> 4x² = 9-y² -> x² = (9-y²)/4 -> x = sqrt((9-y²)/4) -> x = sqrt(9-y²)/2 (começando em -sqrt(9-y²)/2) Limites dy: já temos.

dzdydx Limites dz: já temos. Limites dy: 0 = 9-4x²-y² -> y² = 9-4x² -> y = sqrt(9-4x²) (começando em -sqrt(9-4x²) Limites dx: já temos.

O resultado final de todas as integrais montadinhas e bonitinhas é esse:

Enfim, próximo e último do tipo. Mas não acredite que o pior está acabando, ainda temos exercícios torturantes de DESENHAR a figura antes de montar a integral. Então, é, o pior ainda está por vir.

Sólido 10

Nada diferente do comum aqui, exceto que TODOS os lados vão de -(resultado) a +(resultado) porque é uma figura simétrica nos dois eixos.

dxdydz Limites dx: 36x²+9y²+4z² = 36 -> 36x² = 36-9y²-4z² -> x² = (36-9y²-4z²)*1/36 -> x = sqrt(36-9y²-4z²)*sqrt(1/36) = sqrt(36-9y²-4z²)/6 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais) Limites dy: 9y²+4z² = 36 -> 9y² = 36-4z² -> y² = 36-4z²*1/9 -> y = sqrt(36-4z²)*sqrt(1/9) = sqrt(36-4z²)/3 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais) Limites dz: 4z² = 36 -> z² = 36/4 = 9 -> z = sqrt(9) = +/-3

dxdzdy Limites dx: já sabemos. Limites dz: 9y²+4z² = 36 -> 4z² = 36-9y² -> z² = 36-9y²*1/4 -> z = sqrt(36-9y²)*sqrt(1/4) = sqrt(36-9y²)/2 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais) Limites dy: 9y² = 36 -> y² = 36/9 = 4 -> y = +/-2

dydxdz Limites dy: 36x²+9y²+4z² = 36 -> 9y² = 36-36x²-4z² -> y² = 36-36x²-4z²*1/9 -> y = sqrt(36-36x²-4z²)*sqrt(1/9) = sqrt(36-36x²-4z²)/3 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais) Limites dx: 36x²+4z² = 36 -> 36x² = 36-4z² -> x² = 36-4z²*1/36 -> x = sqrt(36-4z²)*sqrt(1/36) = sqrt(36-4z²)/6 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais) Limites dz: já sabemos.

dydzdx Limites dy: já sabemos. Limites dz: 36x²+4z² = 36 -> 4z² = 36-36x² -> z² = 36-36x²*1/4 -> z = sqrt(36-36x²)*sqrt(1/4) = sqrt(36-36x²)/2 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais) Limites dx: 36x² = 36 -> x² = 36/36 = 1 -> x = sqrt(1) = +/-1

dzdxdy Limites dz: 36x²+9y²+4z² = 36 -> 4z² = 36-36x²-9y² -> z² = 36-36x²-9y²*1/4 -> z = sqrt(36-36x²-9y²)*sqrt(1/4) = sqrt(36-36x²-9y²)/2 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais) Limites dx: 36x²+9y² = 36 -> 36x² = 36-9y² -> x² = 36-9y²*1/36 -> x = sqrt(36-9y²)*sqrt(1/36) = sqrt(36-9y²)/6 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais) Limites dy: já sabemos.

dzdydx Limites dz: já sabemos. Limites dy: 36x²+9y² = 36 -> 9y² = 36-36x² -> y² = 36-36x²*1/9 -> y = sqrt(36-36x²)*sqrt(1/9) = sqrt(36-36x²)/3 (considerando o eixo negativo dos limites iniciais) Limites dx: já sabemos.

As integrais ficam:

E essas eu ficaria muito feliz que alguém confirmasse a resposta, porque a calculadora parece não aguentar integrais desse porte.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

11-20. Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações, e use uma integral tripla para achar seu volume.

Sólido 11 z+x² = 4; y+z = 4; y = 0, z = 0 Confuso? Tivemos um exercício semelhante na primeira lista de integrais duplas. Esse é parecido, só que 1,5x pior. Primeiramente, vamos montar o gráfico de z+x²=4. Pra facilitar, isolamos z: z = 4-x² z = 0, x = +-2; z = 1, x = +-1,73; z = 2, x = +-1,41; z = 3, x = +-1; z = 4, x = 0; Não é necessário colocar nenhum valor de z abaixo de 0, porque ele está limitado logo naquele z = 0 ao lado das equações.

(versão feia e bobona do gráfico z = 4-x²)

Ok, né, não temos volume nenhum a tirar disso daí ainda... Mas calma! Ainda tem muita coisa pra fazer. Tá vendo aquela função y+z=4 ali acima? Vamos ter que usar ela também. y = 0, z = 4; y = 1, z = 3; y = 2, z = 2; y = 3, z = 1; y = 4, z = 0; Atualizando o gráfico:

(o gráfico z = 4-x² com a reta y+z=4, ou, se preferir, z = 4-y) Mas ainda não é suficiente, né? Precisamos completar esse gráfico. Vamos pensar o seguinte: temos uma função que delimita xz, e uma que delimita yz. Precisamos limitar xy também, mas como vamos fazer isso? A resposta é: "juntando" as outras duas funções. Precisamos relacionar todas as funções: z = 4-x² z = 4-y Vamos usar as duas ao mesmo tempo. z = 0, x = +-2, y = 4; z = 1, x = +-1,73, y = 3; z = 2, x = +-1,41, y = 2; z = 3, x = +-1, y = 1; z = 4, x = 0, y = 0;

(gráfico das três funções juntas, totalmente feito no Paint e, graças a isso, com uma assimetria insuperável)

É esse o monstrinho que temos que calcular volume. Mas espero que tenha aprendido a analisar gráficos bem com o último exercício, porque, se você o fez, não terá muita dificuldade em entender o que vou fazer aqui: Temos 2 funções, certo? z+x² = 4 y+z = 4 Ótimo! Então podemos trabalhar da mesma forma que trabalhamos no exercício passado, só que sem a pressão de ter que montar seis integrais diferentes. Vamos montar uma integral dydzdx, que é a melhor combinação, junto com dxdzdy, porque se dz não estiver no meio teremos de manipular as funções usando a substituição (não integral por substituição, mas substituição de sistemas lineares).

Limites de dy: y+z = 4 -> y = 4-z (mínimo 0) Limites de dz: z+x² = 4 -> z = 4-x² (mínimo 0) Limites de dx: x² = 4 -> x = sqrt(4) = +-2 (máximo +2, mínimo -2) O exercício diz que é necessário descobrir o volume de fato, então além de montar a integral, vou resolvê-la pra vocês. :) Dessa vez aplicando o método da simetria para dx, porque são dois lados idênticos e só precisamos calcular um deles pela integral e multiplicá-lo por 2.

~~~

Sólido 12 x²+z² = 4, y²+z² = 4

Honestamente, não lembro desse exercício, enquanto o outro ao menos quando eu terminei o gráfico eu falei "poxa, é isso mesmo!". Vamos ver no que vai dar, seguiremos os mesmos passos do sólido anterior.

x²+z² = 4 Isso é um cilindro deitado, espero que sua geometria analítica esteja boa pra pegar o gráfico na hora em que ele lhe é mostrado.

(só a pontinha do cilindro de raio 2)

y²+z² = 4 Bem, isso é um círculo, risos. Honestamente não sei como encaixar os dois na mesma figura sem tornar tudo confusíssimo, mas vou tentar de qualquer forma.

("que coisa zoada!")

Ok, agora vamos relacionar as equações: x²+z² = 4 y²+z² = 4 Vamos isolar z porque ele aparece em ambas: z = sqrt(4-x²) z = sqrt(4-y²) Podemos ver que para z, x e y serão equivalentes. z = 0, x = y = +-2; z = +-1, x = y = +-1,73; z = +-2, x = y = 0; E é isso daí mesmo, qualquer valor fora do raio de -2 a 2 que você colocar vai fazer a raíz dar valor negativo.

E pelo que parece, acabamos pegando aquela figura completa pra calcular o volume. Bem, podemos calcular da mesma forma que fizemos o outro, acho. Uma integral dydzdx, porque dz é uma função que funciona pras outras duas, etc.

Limites de dy: y²+z² = 4 -> y² = 4-z² -> y = sqrt(4-z²) (-sqrt(4-z²) a sqrt(4-z²)) Limites de dz: x²+z² = 4 -> z² = 4-x² -> z = sqrt(4-x²) (-sqrt(4-x²) a sqrt(4-x²)) Limites de dx: x² = 4 -> x = sqrt(4) = +-2

E, claro, nada mais natural que eu não saber resolver essa integral.

Provavelmente dá pra resolver por coordenadas esféricas, mas vá, é uma lista de integrais triplas apenas, não vamos complicar tanto. Ou ainda, posso deixar pra depois porque estou cansado. E porque não é realmente necessário, vamos terminar de resolver o necessário.

Sólido 13 Holy shit, esse é bom.

y = 2-z², y = z², x+z=4; x = 0 E eu sinceramente nem consigo resolver. Tentei de um monte de jeito, e não consegui. Talvez eu esteja cansado demais, ou talvez eu não consiga mesmo. Estou livre pra quem quiser resolver e me enviar, e qualquer dia desses posso aparecer com a solução porque é assim que funciona matemática (saudades PIBIC Jr.), mas por enquanto... Chega.

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