短絡的思考につき―。 @tanraku-teki - Tumblr Blog

Keypirinhaをカスタムしよう！

こんばんは．Windows では極力「エクスプローラー」を使いたくないロシュミット数です．

さて，私は普段ランチャーアプリを用いて，PC内のお目当てのフォルダであったり，ファイルであったりを検索しています．

#PC環境

数学2：三角関数の教材

どうも．現在，とある高校で非常勤講師として努めている losch です．授業で配るプリント用に，この記事を残しておきたいと思います．

#教材 #数学

プリンタを買い替えたくない

こんにちは．就活が終わったことで記事の更新頻度が上がっている Loschmidt です．

唐突ですが，私の家にはプリンタがあります．一応スキャンも出来る優れものです．しかし，インク代・紙代を節約したい私はいつも大学(特に院生室)のプリンタで印刷しています．(←セコい)

そうすると，家のプリンタはスキャンでしか使わなくなり，買って早々スキャナと成り下がりました．けれどたまには家で印刷したいときもあります．印刷のために大学に行くのは流石に癪です．

そこで久々に使ってみると，黒色だけ全く印刷できない...

#雑記 #備忘録

highlight.jsの使い方

こんばんは．loschです．

前回記事でhighlight.jsを簡単に紹介しました．今回はその導入と詳しい使い方を記事にしたいと思います．

#blog環境 #syntax highlight #備忘録

Tumblr記事内のコード埋め込みとシンタックスハイライト

どうも，Loschmidt です．

当ブログでは何かしらのソースコードを載せることが多いですが，それには今までgistで埋め込んできました．（以前の記事）

しかし，gistでコードの埋め込みは結構面倒です....

そこで，今回は別の方法でコードの埋め込み，そしてシンタックスハイライトの設定をしていきたいと思います．

#blog環境 #syntax highlight

ブログのデザインをリニューアルしました．

どうも．最近就活が無事終わって安堵しているLoschです．

前々から思っていたのですが当ブログ，結構不親切ですよね．

#blog環境 #備忘録

Firefoxの検索プラグインを復元する．

どうも．普段 macbook air で作業しているLoschです．好きなブラウザは Firefox ，好きなメールクライアントは Thunderbird ．Mozilla 大好きマンです．

#firefox #browser #mozilla #PC環境

生物物理若手の会夏学（第61回：2021年）3日目&4日目を終えて

生物物理若手の会夏学に参加していた男，Loschです．

さて，夏学がとうとう終わっちゃいました．．．

自分の知識の整理と，当日の楽しさを忘れないためにも夏学の4日間をブログ記事として残していきたいと思います．

#bpss #bpss2021 #生物物理 #若手の会 #夏学

生物物理若手の会夏学（第61回：2021年）2日目を終えて

一昨日から夏学に参加している男，Loschです．

さて，夏学も2日目を終えました．

自分の知識の整理と，当日の楽しさを忘れないためにもこの4日間をブログ記事として残していきたいと思います．

ただ，私は専門が生物ではないので，専門外の内容には間違いも有り得るかとは思われるので，もし間違いやミスリードを誘いかねない表現など見つけられましたら，記事のコメント欄やDMにてご連絡ください．

#bpss #bpss2021 #生物物理 #若手の会 #夏学

生物物理若手の会夏学（第61回：2021年）1日目を終えて

最近ブログの更新頻度を高めている男，Loschです．

昨日(2021/09/07)から2021/09/10まで，生物物理若手の会夏学がオンライン開催されます！

私はこれに参加しております(2019年初参加以来，今回は2回目の参加です)．

自分の知識の整理と，当日の楽しさを忘れないためにもこの4日間をブログ記事として残していきたいと思います．

#bpss #bpss2021 #生物物理 #若手の会 #夏学

WindowsにおけるJulia languageの私的最適環境

みなさんお久しぶりです．Losch でしゅ．(←韻を踏みに行くな)

最近（といっても2ヶ月ほど前...），研究のため(とゲームや動画編集のため...)に PC を自作しました． OS は Linux ディストリビューションでも良かったのですが，やはり汎用性(とゲームを遊ぶため...)を考え，OS は Windows にしました．かれこれ2年弱は Windows から離れ mac を使っていたので，久々に Windows を使ってみると，中々慣れないですね...

#Julia #Notepad＋＋#PC環境

スレッドお化け坊やのクリアスマホケースを買いました

皆さま，お久しぶりです，Loschです．

#iPhone

久々の投稿 -時間を売る側ではなく買う側に回りたい話-

お久しぶりです。Loschです。

今回は久々の更新ですが、ふと思ったことを綴りたいと思います。

#雑記

読了：黒川信重著「絶対数学の世界」

黒川信重著「絶対数学の世界」を読了したのでその感想を綴っていく．

絶対数学の世界 ―リーマン予想・ラングランズ予想・佐藤予想― Amazon.co.jp

#読書 #数学

macの環境変数PATHの設定

最近，PCをsurface 4からmacbook airに買い替えた．

普段，プログラミングにはJuliaを用いているので，macにもインストールしPATHも通してやろうと思ったのだが，緊急事態発生．

#mac #tarminal #PC環境

maraigue-memo

L2ノルムが決まっているd次元ベクトルvについて、L1ノルムを最大化するには

【補足】

L2ノルムとは簡単にいえば「普通の平面や空間中の距離」（ユークリッド距離。中学校で出てくる、三平方の定理を使って算出される距離）を一般のベクトルについて定義したものである。v = (v1, v2, …, vd) のとき、√(v12 + v22 + … + vd2) で計算するのがL2ノルムである。

L1ノルムとは、「マンハッタン距離」（移動が東西南北にしかできないと考えたときの最小移動経路。詳しくはぐぐって）を一般のベクトルについて定義したものである。v = (v1, v2, …, vd) のとき、|v1| + |v2| + … + |vd| で計算するのがL1ノルムである。

【問題設定】

d次元空間においてL2ノルムがα (α>0) であるようなベクトルのうち、L1ノルムが最大になるのはどのようなときか。

例えば、「2次元空間においてL2ノルムがαであるようなベクトルのうち、L1ノルムが最大のものは？」というのは、図を描けば直感的にわかるだろう（図はα=2）。

つまり、原点から45度（135度、225度、315度でも同じ）に行く、すなわちベクトルとして(±α/√2, ±α/√2)を選べばよく、そのときのL1ノルムは α×√2 となる。

これは一般化すれば、d次元空間においてL2ノルムがαであるようなベクトルのうち、L1ノルムが最大のものは、おそらく (±α/√d, ±α/√d, …, ±α/√d)（そのときのL1ノルムは α・√d）になるのだろうけど、その証明がすぐに思いつかなかったのである。

【解き方の方針】

ふと「ラグランジュの未定乗数法」を使えば解けるとわかったので、それで解いた。ラグランジュの未定乗数法とは簡単にいえば、条件付きの多変数の最大化/最小化を行うときに用いられる計算である。

ベクトルvを引数に取り実数一つを返す関数 f(v) は、vに制限がなければ、vが以下の条件を満たすときに極大あるいは極小になる。

∂f(v)/∂v1 = 0, ∂f(v)/∂v2 = 0, …, ∂f(v)/∂vd = 0

一方でラグランジュの未定乗数法では、vに制限を加えて「f(v)が、g(v)=0という条件を満たす中で極大/極小になる」というものを考える。その条件は、F(v) = f(v) - λg(v) とおいたとき、vが以下の条件を満たすときに極大あるいは極小になるというものである。

g(v)=0, ∂F(v)/∂v1 = 0, ∂F(v)/∂v2 = 0, …, ∂F(v)/∂vd = 0

【答え】

結論から言うと、上記の予想「L1ノルムを最大にするベクトルvは v = (±α/√d, ±α/√d, …, ±α/√d) で、そのときのL1ノルムは α・√d」は正しい。

上記のラグランジュの未定乗数法における条件において、

f(v) = |v1| + |v2| + … + |vd|

g(v) = v12 + v22 + … + vd2 - α2

とする。g(v)については「L2ノルムがαである」ことを表現する代わりに、「L2ノルムの2乗がα2である」としている（平方根を含んだままでは計算しにくいため）。

これを踏まえて ∂F(v)/∂vi (i ∈ {1, 2, …, d}) を計算すると

vi > 0 のとき、∂F(v)/∂vi = 1 - 2λ・vi

vi < 0 のとき、∂F(v)/∂vi = -1 - 2λ・vi

vi = 0 のとき、微分不能（別途検討する→補足2）

となるので、vi = 0 の場合を除くと、∂F(v)/∂vi = 0 ⇒ |vi| = 1/2λ が極値となる条件となることがわかる。これを g(v) = 0 に当てはめると、(1/2λ)2 + (1/2λ)2 + … + (1/2λ)2 - α2 = 0 より d/(4λ2) = α2, つまり 1/2λ = α/√d となる。すなわち、|vi| = α/√d がL1ノルムを最大にする条件であり、そのときのL1ノルムは α・√d である。（終）（本当はこれは極値でしかなく、極大/極小の判定や最大であることの証明も必要である→補足1）

（補足1）

極大/極小の判定には本来であれば、∂2 F(v)/∂vi∂vj をすべてのi, jの組み合わせに対して行わないとならない。しかしこの場合は不要であって、単に ∂2 F(v)/∂vi∂vi が計算できればよい。なぜなら式の形より、i≠j のとき ∂2 F(v)/∂vi∂vj は明らかに0になるからである。

さてこれを計算すると、vi≠0のとき、∂2 F(v)/∂vi∂vi = -2λ となる。先述の計算で「|vi| = 1/2λ」という条件があったので、-2λは負の数である。∂2 F(v)/∂vi∂vi がすべての i について同一の負の数であって、かつ i≠j のとき ∂2 F(v)/∂vi∂v = 0 のときは、その点vではF(v)は極大値となることが知られている。（より詳しくは「ヘッセ行列」というものを利用して定式化できる。多変数関数の極値判定とヘッセ行列 | 高校数学の美しい物語）

極大値がこれらの点しかなく、かつf(v)の値は有界なので、これらは最大値である。

（補足2）

もし vi = 0 となるような i が存在する（すなわち、ベクトルの要素の少なくとも一つが0である）ときにL1ノルムが最大になりえないことを確かめ、証明を完了する。

vi = 0となる i がk個存在するとする（0 < k < d）。このとき、残る d - k 個の数について、「d-k 次元ベクトルのL2ノルムが α であるという条件のもとで、L1ノルムを最大化する」ことを考えると、そのときのL1ノルムは α・√(d-k) となる。よってこちらのほうがα・√dよりも小さいので、vi = 0 となるような i が存在するときにL1ノルムは最大にはなりえない。

（循環論法にも見えるが、dが小さい側から順番に証明して数学的帰納法を使っていると考えればよい。d=2のときはk=1しかないので直接計算すればよい。）

tanraku-teki

なるほど.....

Lp収束性の問題の足掛かりになったかも

#数学

意外とタメになったかも

#その他

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