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Kit Lycée : l’exponentielle

Tu n’as pas assez révisé pour ton contrôle ? Tu voudrais ne revoir que l’essentiel ? Tu as peur de tout oublié pour le bac ?

Voici le pdf du kit de survie sur l’exponentielle ! Tout ce qu’il y a à savoir d’absolument vital pour se dépatouiller dans la jungle des examens.

--> Télécharge-le sur mon drive  <--

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Monte Carlo : approximer pi !

►Difficulté : ** ►Sujet      : Découvrir les méthodes de Monte Carlo,leurs différents domaines d'applications et construire une exemple pratique. Cette exemple portera sur l'approximation de pi grâce à un script en python. Prérequis : Aucun

►Code source sur mon Github

Naissance d’un outils de calcul très puissant

C'est en 1950 qu'une équipe de chercheur menée par Nicholas Metropolis met au point une méthode dite de Monte Carlo. Le nom étant tiré du célèbre casino de Monte Carlo, où les jeux d'argent - domaine propice à l'exploitation des probabilités - sont légion. Par la suite c'est toute une famille d'algorithmes qui portera ce nom, regroupant des procédures qui se chargent d'estimer un résultat numériques à la suite de répétitions d'expériences aléatoires.

Lors de la seconde guerre mondial, les Etats-unis investissent considérablement dans la recherche en physique et en mathématiques. Érudit déjà reconnu pour plusieurs travaux en maths, John Von Neumann est également un fervent anticommuniste. C'est sans scrupules qu'il participa à la recherche de la bombe H car pour lui, seul une puissance démocratique méritais d'obtenir un tel moyen de pression, la course contre la Russie était engagée. Les temps de calcules étant considérablement long, Von Neumann et Stanislaw Marcin Ulam développèrent d'avantages les méthodes de Monte Carlo. Simuler au hasard des événements et prendre la moyenne des résultats comme approximation se révéla plus rapide et néanmoins très juste ! 

Des applications multiples 

Il ne faut pas croire que ce divin outils de calcule n’est réservé qu’a la théorie des jeux, elle est utiles absolument partout ! Souvent utilisé pour le calcul d’air, on peu aisément intégrer des fonctions dont on ne sais pas déterminer aisément la primitive. En effet, pour les moins matheux d’entre vous je rappelle que l’intégrale d’une fonction sur un intervalle donné [a,b] n’est rien d’autre que l’air sous la courbe à cette intervalle. 

Pour cela on tire des points au hasard situés de par et d’autre de la courbes, puis on calcule le rapport entre les point situé au dessous de la courbes (donc compris dans l’intégral) et le nombre total de points tirés... et voilà une valeur approché de notre intégrale ! 

Cette approche de l’intégration permet de résoudre divers problèmes, notamment en finance, en météorologie, optimisation ou encore la télécommunication. Cela déborde même sur les sciences sociales où  de nombreux problèmes exigent l'analyse des propriétés d'un nombre si grand d'objets que seul des procédés de type Monte Carlo peuvent les traités.

Un exemple à tester chez vous !

Et oui, parce que les maths c’est quand même le seul domaine scientifique où l’on a besoin de trois fois rien pour réaliser ses petites expériences ! Je vous propose de faire fonctionner vos méninges, en vous frottant à la question suivante :

Vous posséder un cercle de rayon r et un carré de côté 2r. Très soucieux de vos cours de collège, vous vous souvenez bien évidemment que l’air d’un cercle équivaut à pi fois sont rayon au carré, quant à l’air d’un carré ce n’est autre que son côté élevé lui même au carré ! D’après l’explication plus haut du fonctionnement d’un algorithme type Monte Carlo dans le cas d’un calcul d’aire, à votre avis, comment estimer pi avec ce qu’on à sous la main ?

Ça y est, vous y avez réfléchis ? En êtes vous sûr(e) ? Je dévoile la solution plus bas.

Bien, bien soit ! Bravo à ceux qui on relevé le défis et pour les autres, on dira que c’est ma formulation qui n’étais pas très claire. *clin d’oeil*

Alors si vous avez bien compris mon petit speach sur le calcul d’intégrale, vous aurez deviné que pour calculer une aire de façon probabiliste, il faut tiré aléatoirement des points se situant dedans et à l’extérieur de la figure, puis faire le rapport nombre de point dedans / nombre de point total. 

Mais comment se servir de l’air du cercle et du carré pour calculer notre si célèbre nombre irrationnel, pi ? De petites ligne de calcules seront plus simple à comprendre que de longues phrase :

Aire du cerle : pi*r² Aire du carré : (2r)² = 4r²

(pi*r²)/4r² = pi/4 , car les r² s'annulent

Remarquez que si on multiplie ce résultat par quatre on obtient naturellement pi. d'où pi = 4 * (pi*r²)/4r²

La façon la plus rapide d’utiliser Monte Carlo et de prendre r = 1 et d’inscrire le cercle dans le carré. Ainsi nous tirerons aléatoirement des points dans le carré, l’aire du cercle sera environs égale au nombres de point à l’intérieur de lui divisé par le nombre de points total, qui n’est autre que l’approximation l’air du carré. Puis on multiplie se rapport par quatre pour obtenir pi.

Evidemment, si l’on ne tire que trois ou quatre points au hasard, l’approximation de pi sera ridicule ! Ils faut une quantité astronomique de tir et c’est pour ça qu’on laisse ce genre de simulation à des ordinateurs...enfin, sauf si vous êtes un peu agité du bocal comme ces deux étudiants qui se sont amusés à reproduire cette expérience avec un fusils de chasse et du papier aluminium. Les délires de nos cousin québécois sont parfois incongru.

Libre à vous d’essayer cela de manière totalement wtf, si vous en avez le temps pourquoi pas ? Sinon j’ai coder pour vous deux scripts en Python (voir haut de cet articles) pour étudier tout cela. Le premier permet de généré un graphique représentant les points tiré au hasard dans le carré, avec ceux dans le cercle apparaissant en rouge, ainsi que de calculer pi  :

- Avec 10 000 tir, on obtient une valeur de 3,1468 pour pi. l’approximation réelle étant 3,1415

Tandis que le second calcul pi en fonction du nombre de tirage et en trace sa courbe. On constate clairement que plus le nombre de tirage est grand, plus l’on se rapproche de notre chère nombre mystérieux :

- L’estimation officelle de pi à 3,14159265 est en rouge. Avec un petit nombre de tir, on fluctue énormément avant d’arriver à une approximation plus précise.

Les scripts données nécessite un minimum de connaissance en python pour pouvoir faire apparaître les graphiques. Néanmoins le calcule de pi est très simple. Il consiste en l’algorithme suivant :

for i in range(nb_de_tirs):       x = random.uniform(-1,1)   # prend un nombre aléatoire dans [-1,1[                 y = random .uniform(-1,1)   # car c’est les limites du carrés

   if not x**2+y**2 > 1:          # si x et y vérifie l’équation d’un  cercle de rayon 1,        tir_dedans += 1            #  le point est dans le cercle

   pi = 4* shoot_inside / nb_de_tirs       #Calcul de pi

   print ("Pii vaut: “, pi)                              #affiche pi dans la console