“Root Locus” türkçe manasıyla “Köklerin Yer Eğrisi” (Türkçeye çevirince saçma oluyor) kavraması güç olan ve ağır matematik modellemeler içeren kontrol teorisi. Mühendislik öğrencilerinin baş belası ve korkulu rüyası olarak gözükse de aslında bu teorinin gerçek hayatta mühendislere ne kolaylık sağladığını gördüğünüzde ya da anladığınızda o kadar da ürkünç gelmiyor.
Öncelikle bu teoriye neden ihtiyaç duyulduğundan bahsedeyim. Kontrol sistemlerinde çoğunlukla opamplardan oluşturulan ve yükseltgeç görevi gören alt sistemler kullanılır. Kullanılan bu yükseltgeçlerin değerleri yani yükseltme miktarları açık çevrimli bir sistem için sorun değildir çünkü açık çevrimli sistemler stabil sistemlerdir bu yüzden yükseltgeç değerleri de sistem stabilitesini etkilemez. Fakat kapalı çevrimli bir sistem için sisteme yerleştirilen yükseltgecin yükseltme miktarı sistemin stabilitesini bozabilir. Burada dip not olarak stabiliteden ne kast-ettiğime de değinmek istiyorum; bir sistemin stabil olması demek sisteme verilen input değerinin sistem içerisinde zamanla alçalarak yahut yükselerek outputta beklenen değere ulaşması demektir. Bunu biraz daha somutlaştıralım isterseniz. Mesela aşağıdaki gibi basit bir RC devre düşünün.
Bu sistemin transfer fonksiyonuna baktığınızda output’un voltaj değerinin artarak kapasitör voltajına ulaşmasını ve bu noktadan itibaren sabit kalmasını beklersiniz. Yani outputumuz şu şekilde bir grafik çizer;
Bu durum sistemin stabil olması anlamına gelir. Yani sistemin transfer fonksiyonu beklediğimiz değeri vermiştir. Fakat sistemin transfer fonksiyonu bazen öngörmediğimiz bir değer verebilir. Mesela yukarıdaki transfer fonksiyonu (1/Ts+1) değil de (1/Ts-1) gibi bir fonksiyon olsaydı, bu durumda “Ts” değeri 1 olduğunda yani 1/RC=1 olduğunda sistemin transfer fonksiyonu sonsuz olacaktı ve böylelikle sistemin outputunda sonsuz bir voltaj gözükecekti. Sonsuz tabiri matematikte tabir edilebilse bile gerçekte karşılığı yoktur bu yüzden sonsuz tabirinin gerçekteki tabiri öngörülemez anlamına gelir. Yine stabil olmayan (1/Ts-1) fonksiyonuna farklı bir açıdan yaklaşırsak; Fonksiyonda T=-1/RC dir. Bu ifade matematiksel olarak zamanda ters ilerlemek anlamına gelir ve bu durumun gerçek hayatta bir karşılığı yoktur. Yani gerçekte bu sistemin ne yapacağı öngürülemez. Bu yüzden eğer transfer fonksiyonu böyle olan bir sistem geliştirirseniz (Böyle bi sistem yapmayı başarırsanız nobel alırsınız ) bu sistem stabil değildir.
Her neyse Root Locus demiştik. Evet şimdi kapalı çevrim bir sistem düşünün. Örneğin bir servo motor kontrol sistemini düşünebilirsiniz. Servo motorlar kapalı çevrim sistemlerdir. Aşağıdaki şemada gördüğünüz üzere sistem, motorun outputundaki pozisyonu potansiyometre ile kontrol eder ve inputa yönlendirerek motor pozisyonunun kontrolünü sağlar.
Şimdi bu sistem, motorun kontrolünü sağlamak için yükseltgeçler kullanılmak zorundadır. Çünkü motoru hareket ettirmek güç gerektiren bir işlemdir. Yani sistemimizin şematiği ve transfer fonksiyonu şu şekilde olur;
Burada K yükseltgeçtir. G(s) motordur, H(s) ise sensördür yani motorun çıkışındaki potansiyometredir. Şimdi bizim amacımız sistemin stabilitesini incelemek olduğu için ilk işimiz sistemin transfer fonksiyonunu gerçekte öngörülemez yapan yükseltgeç değerlerine bakmak olacaktır. Çünkü yükseltgeç değeri sistemin transfer fonksiyonunu sonsuz yapan değerleri de değiştirir. Sistemin transfer fonksiyonu matematiksel olarak sonsuz olursa sonsuzun gerçekte karşılığı olmadığı için verilen tepki öngörülemez. Bu yüzden Root Locus çizmemiz gerekiyor. Root Locus bize hangi K değerinin sistemin stabilitesini bozduğunu gösteren bir grafiktir. Bu yüzden dizayn ettiğiniz bir servo motor kontrol sistemine yerleştirdiğiniz yükseltgeçlerin değerleri bu grafik baz alınarak seçilmesi gerekiyor.
Mesela şöyle bir sistem olduğunu düşünün;
Bu kontrol sisteminin transfer fonksiyonu şudur; . Bu transfer fonksiyonunu sonsuz yapan, diğer bir değişle sistemin output voltajını öngörülemez yapan paydadaki s = (-K-1)/K değerleridir. Ve gördüğünüz gibi bu ” s” değerleri “K” yükseltgeç değerine göre değişir. K değerlerinin değişimi s değerlerini nasıl değiştirdiğini görmek istiyorsak bu durumu grafiğe dökmemiz gerekiyor. Bu yüzden, ilk önce yükseltgeci kullanmamış gibi düşünürsek yani payda şu durumda olursa; (s+1), s=-1 noktası transfer fonksiyonunu sonsuz yapar. Şimdi K yükseltgecini devreye eklediğimizde ve değerlerini 0 dan sonsuza kadar değiştirmeye başladığımızda s=-1 noktası K değerlerine göre hareket edecektir. Fakat burada önemli olan nokta şudur ki K değeri negatif olamaz. Çünkü yükseltgeçtir.
K= 0 iken transfer fonksiyonunu sonsuz yapan “s” değeri sonsuzdur ve K değeri arttıkça yani sonsuza yaklaştıkça transfer fonksiyonunu sonsuz yapan “s” değeri de “-1″ e yaklaşır. Ve eğer “s” değerine “-1″ den büyük bir değer verirseniz. bu sefer “K” değeri negatif olur ve K negatif olamayacağı için “s”, “-1″ den büyük değer alamaz. (Bu yüzden reel eksen üzerinde kendisinin sağında tek sayıda sıfır ya da kutup bulunduran doğru parçaları kök eğrilerinin geçmesi muhtemel bölgelerdir.) Bu durumda K değerleri sıfırdandan sonsuza doğru değiştikçe sistemin stabilitesini bozan s değerleri de “-1″ den “-∞” ” a hareket eder. İşte sistemin Root locus’u yukarıdaki grafiktir. Bu durumda sistem tüm K değerleri için stabildir. Çünkü sistemin polleri K’nın değişimi boyunca negatiftir. Sistemin pollerinin negatif olması ilk başta örnek olarak verdiğim RC devre ile benzer davranışa sahip olmasını sağlar. Eğer sistemin polleri pozitif olursa o zaman sistem stabil olmaz. ( Örnek için Bknz= yukarıdaki RC Devre Örneği)
Root Locus çizimini basitleştirmek adına yapılması gerekenler maddeselleştirmiş. Şimdi bu prosedürlerden bahsedeyim.
Açık sistemin transfer fonksiyonuna bakılarak s-düzlemine kutuplar ve sıfırlar yerleştirilir ve Reel eksen üzerinde root locus çizgilerinin geçebileceği yerler işaretlenir.
Reel eksen üzerinde kök eğrilerinin geçebileceği yerler açı şartını sağlar. Buna göre reel eksen üzerinde kendisinin sağında tek sayıda sıfır ya da kutup bulunduran doğru parçaları kök eğrilerinin geçmesi muhtemel bölgelerdir. Bu yerler K değerini negatif yapmayan yerlerdir. Çünkü K değeri negatif olamaz.
Burada açı şartı şudur; ifadesi “0” a eşit olduğunda KG(s)H(s) fonksiyonunun “-1″ e eşit olması gerekir. “-1″ noktasının laplace düzleminde açısı -180 derecedir. Yani KG(s)H(s) fonksiyonunun açısı -180 derece olmalıdır.
Asimtotların sayısı ve aralarındaki açılar belirlenir.
Asimtot dediğimiz şey, sonsuza giden “s” değerinin yaklaştığı doğrudur. Bu doğru üzerinde K değeri sıfırdır. Yani sistemimizin output değeri sıfırdır. Transfer fonksiyonunuzda kaç tane polünüz varsa K değerinin değişimi aslında o kadar sayıdaki pol’ün değişimini,o kadar sayıdaki polün sonsuza gitmesini sağlar. Fakat eğer fonksiyonunuzda sıfırlarınız da varsa bu durumda sıfır sayısı, değişim gösteren pol sayısını azaltacak yönde etki eder. Doğal olarak Pol sayısı sıfır sayısı olmak üzere asimtot sayısı = ifadesi kadardır.
Asimtotlar arasındaki açı ise
Örneğin 5 kutubu 2 sıfırı olan bir transfer fonksiyonunun pozitif reel eksenle 60,180,300 derece açı yapan üç asimtotu vardır.
Bunun ispatı biraz ağır matematik içeriyor şöyle ki;
olur. Burada q kadar asimtot olduğu ve aralarındaki açının 180/q olduğu görülüyor.
Asimtotların kesiştiği nokta belirlenir.
Reel eksen üzerinde olan bu nokta
Buradaki ifadesi bütün-sistemin kutuplarının toplamını, ifadesi ise bütün-sistemin sıfırlarının toplamını ifade eder. Paydadaki ve ise sırasıyla kutup ve sıfırların ‘sayısını’ belirtir.
Yine bu formülün ispatı ağır matematik içerir. Transfer fonksiyonunun pay ve paydası ayrı ayrı şu şekilde ifade edilebilir;
o halde yukarıdaki kalıbı limit içerisne yerleştirirsek;
Bu fonksiyonu serileri kullanarak kullanabileceğimiz başka bir fonksiyona yaklaştırırız şöyleki ;
ve yaklaştığımız bu fonksiyon en kısa ifadeyle şu forma sokulabilir;
Burada yine küçük basitleştirilmiş form kullanıyoruz.
Yukarıdaki formu basitleştirirsek;
Böyle bir form elde ederiz. Bu formu bir yukarıda bulduğumuz diğer form ile birleştir isek
Olur. Bu durumda tüm asimtotların tek bir noktadan yani s=-σ, dan geçtiğini görebiliyoruz. Çünkü fonksiyonu sonsuz yapan ortak değer s=-σ dır.
Kök eğrilerinin ayrılma ve birleşme noktaları belirlenir.
Root Locus, kazancın reel eksen üzerindeki maksimum noktasında daha da artmaya devam ederse reel ekseni terk eder. Bu durumda sistemin polleri artık sadece reel değil karmaşık sayıdır. Bu noktalar artan kazançla pollerin hareketine göre ayrılma ya da birleşme noktaları olarak adlandırılır.Bu noktalar:
formülüyle bulunur. Türev almamızın sebebi K nın reel eksen üzerindeki maksimum noktasını bulmaktır. G(s)H(s) fonksiyonunun “s” e göre türevi bize K nın reel eksen üzerindeki maksümum noktasını verir. Bu denklemin bütün çözümleri ayrılma/birleşme noktası değildir. İlk olarak ayrılma birleşme noktaları 1. adımda belirlenebilen root locus eğrisini geçirebilecek aralıklar arasında olmalıdır. Bu aralıkta olmayan bir nokta ayrılma/birleşme noktası olamaz. İkinci olarak gerçek ayrılma noktaları transfer fonksiyonuna yazılıp çözüldüğünde pozitif K değeri verirken diğer noktalar negatif K değeri verir.
Eğer karmaşık kutup/sıfır varsa: Ayrılma ve birleşme açıları belirlenir.
Root locus eğrilerinin karmaşık kutup ve sıfırlara yakınlaşırken nasıl bir yörünge çizerek ulaştığı önemlidir. Bunu anlamak için ayrılma ve birleşme ayçıları incelenir. Eğer kutuplar/sıfırlar reel eksenin üzerinde ise bu açıların önemi yoktur. Çünkü bu durumda kök eğrileri reel ekseni takip ederek kutup/sıfırlara ulaşır. Dolayısıyla ayrılma/birleşme açıları sıfır ya da 180 derecedir.
Karmaşık eksenin kesildiği noktalar belirlenir.
Son olarak root locus eğrisi karmaşık ekseni kesebilir. Bu noktada sistemin kutupları tamamen imajiner hale gelir. Karmaşık düzlemin kesildiği noktada kök eğrisi yarı düzlemler arası geçiş yapar. Bu yüzden karmaşık eksenin kesildiği noktalar sistemin kararlılığı için eşik oluşturur. Karmaşık eksenin kesildiği noktalar routh hurwitz kriteriyle ya da transfer fonksiyonunda “s” yerine jw koyularak bulunabilir.
Root locusu çizdiğinizde bakılması gereken noktalar, eğrinin imajiner ekseni kestiği noktalardır. Çünkü eğri imajiner eksenden sağ tarafa geçtiğinde stabilite kaybolur. Stabilitenin kaybolması sağ tarafta “s” değerinin pozitif olmasından kaynaklanıyor. Doğal olarak Root locus’un imajiner ekseni kestiği noktalardaki K değerleri eşik değerdirler.Biraz daha arttırıldıklarında sistem stabilitesi kaybolur.
Mesela aşağıdaki root locus grafiğine bakarsak;
s=-1.612j noktasında K değeri 34.77 değerindedir. K değeri 34.78 olursa sistem stabilitesi bozulur. Bu grafiğinçözümü için bakınız:
http://tr.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6klerin_yer_e%C4%9Frisi
Ve böylece bir yazının daha sonuna gelmiş bulunuyoruz. Sağlıcakla kalın efenim…
Elektronik Hobi
Kontrol Teorisi
