Space and time are the great imponderables of human experience, the continuum within which every life is lived and every river flows. In its largest, its most architectural aspect, the calculus is a great, even spectacular theory of space and time, a demonstration that in the real numbers there is an instrument adequate to their representation. If science begins in awe as the eye extends itself throughout the cold of space, past the girdle of Orion and past the galaxies pinwheeling on their axes, then in the calculus mankind has created an instrument commensurate with its capacity to wonder.
No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função, isto é, ela é o coeficiente de inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função y = f(x) em um determinado ponto P=(x0, f(x0)). Ela pode ser calculada através da fórmula:
Ou, se chamarmos x – x0 de h, podemos usar a fórmula:
Ambas as fórmulas estão corretas, mas dependendo da situação é mais conveniente usar uma ou outra.
Além da notação dx/dx, que se lê “a derivada de y em relação a x”, é muito comum utilizarmos uma linha para representála, como f’(x), que representa a derivada de f(x).
A derivada possui uma infinidade de aplicações nos ramos da Matemática, da Física e da Engenharia. Ela pode ser utilizada, por exemplo, para calcular a velocidade instantânea de um corpo ou de uma partícula em um instante t ou para resolver problemas que envolvam a variação de duas grandezas.
É interessante notar que a derivada sempre será um limite que resultará em uma situação 0/0, o que exigirá sua simplificação para alcançarmos seu verdadeiro valor. Por ser um limite, uma função apenas será diferenciável (um outro nome para derivável) em certo ponto se o limite da fórmula da derivada existir naquele ponto. De forma geral, uma função f(x) não será derivável em pontos que tenham bico ou em cuja reta tangente seja vertical. Ainda, se f(x) for diferenciável em um ponto x0, então f(x) é contínua em x0, mas a recíproca não é verdadeira!
Como recorrer às fórmulas acima toda a vez que se quer calcular uma derivada pode ser algo cansativo, existem alguns “truques” que podem auxiliar na obtenção do famigerado valor:
1) A derivada da soma é a soma das derivadas:
2) A derivada da diferença é a diferença das derivadas:
3) Ao contrário do que você possa estar pensando, a derivada do produto NÃO é o produto das derivadas; ao invés, ela é calculada através da fórmula abaixo, descoberta por Leibniz:
4) Da mesma forma, a derivada do quociente NÃO é o quociente das derivadas, mas é obtida através da fórmula abaixo, desde que g(x) seja diferente de 0:
5) A derivada de uma constante é sempre igual a 0.
6) A derivada de uma função potência na forma f(x) = xn é f’(x) = nxn-1 ou, em outras palavras, baixa-se e diminui o expoente (o expoente torna-se coeficiente de x e o novo expoente de x é o expoente original menos 1). Isso vale para expoentes Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais.
A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores. O limite de uma função possui grande importância no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática, definindo derivadas e continuidade de funções.
Dizemos que uma função f(x) tem um limite A quando x → a (→: tende), isto é,
, se, tendendo x para o seu limite, de qualquer maneira, sem atingir o valor a, o módulo de f(x) – A se torna e permanece menor que qualquer valor positivo, predeterminado, por menor que seja.
, pois
depende do comportamento de f(x) para os valores de x próximos, mas diferentes de a, enquanto f(a) é o valor da função em x = a.
Determinando o limite de uma função:
Texto feito por:
Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Para aquelas pessoas que acharam interessante o programa matematico geogebra [link disponivel no blog] mas não sabem como tirar proveito máximo dessa ferramenta,eis um vídeo ensinando os primeiros passos para entrar nesse fantástico mundo chamado MATHEMAGICKS =)
A matemática sempre foi tratada por muitos como a materia mais "chata" da escola, mas MATEMÁTICA está em tudo, inclusive na sua diversão!
O video acima mostra um jogador comum de um jogo de tiro, que brinca com a realidade virtual do jogo. O jogo tenta reproduzir a vida real e um tiro de longa distancia é afetado pela gravidade e pelo vento, e é com isso que nosso narrador brinca.Entao podemos dizer o tiro faz mesmo uma parabola como diz o narrador, e com isso ele brinca que vai usar o PODER DA MATEMÁTICA para poder acertar seu alvo.
Mas o que é uma parabola?
"Parábola é o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não pertencente à diretriz, chamado foco.
Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.
O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta.
Desde pequeno sua mae ja devia lhe dizer, MENINO TUDO TEM LIMITES NESSA VIDA.
E apesar do conceito de sua mae nao poder esta totalmente condizente com o conceito de limite da matematica, que tal aprendermos um pouco sobre?
Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.
E com isso descobrimos mais uma vez que matematica pode ser MÁGICA, nos levando a um mundo que nao estavamos acostumados!
Calculo é a materia que muda nosso modo de ver o mundo, afinal, o mundo sempre disperta novas ideias e novos horizontes, e para isso que serve o calculo, para nos abrir a mente para estes horizontes
De uma grande inspiraçao, donald, nosso amigo pato, nos ajuda a entender como esse mundo da matemática pode ser magico, e nos inspira a aprender, e buscar seu conhecimento.
