A Student's Tumblelog

By Mu'amar Musa Nurwigantara

[curiosamathematica]

If you've ever felt disheartened by being told you need to rewrite an answer or revise a piece of work, then think yourself lucky. A group of mathematicians are part way through the Herculean task of rewriting the longest proof in mathematics—that of the classification of finite simple groups.

[muamarmusa]

Which one is harder - proving or rewriting?

[muamarmusa]

Grup - Matematika Simetri #NulisRandom2015

Aslinya untuk 4 Juni 2015, namun baru bisa diposting 5 Juni 2015 pukul 00.04 -_-

Kali ini, topik #NulisRandom2015 saya tidak terlalu random, jadi saya akan sedikit mengurangi kata-kata yang tidak baku di sini :]. Sebelum berkenalan dengan sesosok makhluk bernama grup, mari perhatikan gambar berikut.

Sejak SD, kita sudah mengenal adanya simetri lipat dan putar, misalnya pada kasus ini, segitiga sama sisi. Bahkan konon katanya, sebenarnya manusia sejak bayi sudah memiliki intuisi tentang adanya simetri.

Dari gambar, terlihat bahwa sebuah segitiga sama sisi memiliki 3 simetri lipat (pencerminan) dan 3 simetri putar (putaran). Perhatikan bila kita mencerminkan atau memutar segitiga sama sisi sesuai simetrinya, lalu kita melakukan pencerminan atau putaran lain, kita masih akan mendapatkan segitiga sama sisi. Perhatikan pula bahwa setiap pencerminan atau putaran yang kita lakukan (masih sesuai simetri), kita selalu bisa melakukan pencerminan atau putaran lain sehingga posisi segitiga kembali seperti semula. Dari sinilah, konsep tentang grup muncul.

Definisi. Diberikan sebuah himpunan tak kosong G dan sebuah operasi biner *. G disebut grup apabila G memenuhi sifat-sifat berikut:

(Sifat Tertutup) Jika dua sebarang elemen di G dioperasikan, maka hasilnya akan tetap anggota G. (∀a,b∈G) a*b∈G.

(Sifat Asosiatif) Jika hasil operasi dari dua sebarang elemen di G, misalkan a dan b dioperasikan dengan sebarang elemen lain di G, misalkan c, maka hasil operasinya akan sama dengan a dioperasikan dengan hasil operasi b dan c. (∀a,b,c∈G)  (a*b)*c = a*(b*c).

(Sifat Keberadaan Elemen Identitas) Terdapat sebuah elemen di G yang disebut elemen identitas di G (biasanya dinotasikan dengan e, tidak ada hubungannya dengan bilangan Euler) di mana operasi elemen tersebut terhadap sebarang elemen di G selalu menghasilkan elemen itu sendiri. (∃e∈G)(∀a∈G)  a*e=e*a=a.

(Sifat Keberadaan Invers) Setiap elemen di G, misalkan a, memiliki elemen yang disebut invers dari a (dinotasikan dengan a^(-1)) di mana operasi elemen tersebut dengan inversnya akan menghasilkan elemen identitas di G. (∀a∈G)(∃a^(-1)∈G)  a*a^(-1)=a^(-1)*a=e.

(Pahami dulu yaa, karena bagian definisi ini kata-katanya sedikit agak cukup abstrak :] )

Kembali ke simetri segitiga tadi. Mari kita cek apakah simetri dari segitiga tadi adalah grup.

Misalkan kita namakan himpunan yang berisi simetri-simetri dari segitiga sama sisi dengan S3. Di sini, kita juga definisikan operasinya adalah komposisi dari “perlakuan-perlakuan” (pencerminan dan putaran) yang akan kita kerjakan pada segitiga tersebut. Sudah kita singgung di awal, bahwa hasil komposisi dari pencerminan dan putaran yang kita lakukan tetap akan menghasilkan segitiga sama sisi – dengan kata lain, hasil operasinya akan tetap menjadi anggota S3. Artinya, S3 sudah memiliki sifat yang pertama.

Kemudian, perhatikan salah satu elemen pada S3 (pada gambar terletak pada pojok kanan bawah) yaitu putaran sejauh 360 derajat. Elemen ini merupakan elemen identitas, karena apapun perlakuan yang kita kerjakan pada segitiga tersebut, putaran sejauh 360 derajat tidak mengubah apa-apa. Jadi, sifat ketiga sudah kita pegang.

Selanjutnya, perhatikan simetri-simetri lipat (pencerminan) dari segitiga tersebut. Bila kita melakukan pencerminan pada segitiga tersebut, lalu melakukannya lagi, maka segitiga tersebut akan kembali ke posisi semula, yaitu elemen identitas. Sedangkan pada simetri-simetri putarnya, bila kita melakukan putaran pada segitiga tersebut, lalu melakukannya dua kali lagi, maka segitiga tersebut akan kembali ke kondisi semula. Perlakuan yang kita lakukan untuk mengembalikan posisi segitiga semula inilah yang merupakan invers dari perlakuan awal tadi. Jadi, sifat keempat sudah kita pegang.

Tinggal tersisa sifat kedua, yaitu sifat asosiatif. Bisa kalian cek sendiri bahwa komposisi perlakuan-perlakuan pada segitiga akan memenuhi sifat ini. Jadi, terbukti bahwa S3 merupakan grup terhadap komposisi.

Lalu, adakah aplikasi lain dari grup?

Banyak sekali unsur-unsur di sekitar kita yang merupakan grup. Contoh yang kita berikan di awal tadi hanyalah salah satu grup saja. Contoh lainnya, misal himpunan bilangan bulat ℤ terhadap operasi penjumlahan (coba buktikan bahwa himpunan tersebut adalah grup :] ). Selain itu, ada salah satu contoh konkrit lagi yang sebenarnya pernah saya singgung di postingan #NulisRandom2015 sebelumnya: Kubus Rubik :D

Grup simetri sendiri merupakan salah satu jenis grup yang paling banyak digunakan. Pada bidang kimia, kita bisa menggunakan teori grup pada sifat-sifat simetri dari bentuk molekul. Pada bidang seni, kita bisa menggunakan teori grup pada pengubinan (tessellation).

Kalau kalian masih penasaran tentang grup dan kawan-kawannya, kalian bisa mengutak-atik google untuk mendapatkan berbagai wawasan tentang grup. Jangan lelah untuk ber-kepo ria ya. :D

[muamarmusa]

Rubik #NulisRandom2015

(Asumsikan ini masih) 3 Juni 2015

Ini ketiga kalinya tertarik sama rubik, setelah tahun 2009 sama 2012 (perhatikan polanya :D ). Dulu tahun 2009, Indonesia lagi ngetrennya rubik, dan waktu itu aku masih SMP. Saking penasarannya, dulu sampe cari buku tutorial rubik di sebuah toko buku di pojok perempatan BTN Kotabaru. Setelah gak ngetren, bukunya aku simpen sampe tahun 2012.

Pas SMA, waktu itu aku nemuin buku itu lagi, dan ujung-ujungnya tertarik lagi sama rubik. Karena waktu itu sudah ada modem (beda sama jaman SMP yang masih mengandalkan warnet) akhirnya langsung download software stopwatch khusus rubik, jadi udah termasuk scramble-nya (acakannya). Waktu itu, setiap hari nyoba teruuss dan didapatlah rekor 1:00.80 (dalam menit:detik) dengan average of 12 (rata-rata 12 acakan terakhir) 1:20.23 :D. Haha bangga banget saat itu, padahal dari buku yang aku beli (oleh Wicaksono Adi, kalo mau cari) seorang speedcuber masih dianggap newbie kalau belum mencapai sub-20 detik -_-.

Setelah bertahun-tahun, baru tertarik lagi sama rubik pas kuliah. Tepatnya semester ini, ada dua faktor yang mendukung: (1) Departemen Edukasi LSiS beli rubik buat inventaris departemen, (2) Semester ini dapet mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar (yang salah satu aplikasinya di rubik). Berhubung buku dan softwarenya masih ada, tapi rubiknya ilang, jadi aku langsung ke sebuah supermarket dekat UGM buat beli rubik. Dan setelah 5 hari mencoba (30 Mei-3 Juni) berhasil mendapatkan rekor 42.52 detik dan average of 12 54.87 detik :D (iya, aku tahu kalo ini masih newbie selama 6 tahun -_-).

Jadi, buat kalian yang penasaran sama rubik, langsung coba aja :D setidaknya buat nemenin aku, karena sejauh ini pamor rubik kembali sedikit, gak kaya dulu pas tahun 2009 -_-.

Selesai 23.54, 6 menit sebelum 3 Juni 2015 selesai :v

[muamarmusa]

Postingan Pertama #NulisRandom2015

2 Juni 2015

Pertama tahu ada event namanya #NulisRandom2015 itu dari beberapa temen seangkatan dan kakak angkatan ( tumblr.musmeong.com ) yang share event ini di Facebook masing-masing, dari fanpage Nulisbuku. Hmm sebenernya bingung juga mau nulis apa -_- tapi setidaknya postingan pertama bisa jadi batu loncatan (titik tumpu? pusat massa?) untuk mencoba menulis di tumblr sendiri, yang sudah cukup berdebu (tapi masih lebih berdebu muamarmusa.blogspot.com kayaknya).

Jadi, buat kalian yang cukup nganggur dan gabut, boleh dicoba untuk #NulisRandom2015 :]

EH AKU LUPA KALO BULAN INI JUGA ADA UAS -_-

[kidsneedscience]

Happy π Day! 

Pi has been known to most cultures since antiquity, with the earliest known calculations dating back to the Great Pyramid at Giza, whose perimeter measures about 1760 cubits and a height of about 280 cubits, giving the ratio 1760/280 ≈ 6.2857 which is approximately equal to 2π ≈ 6.2832. The earliest verifiable use of the lower case Ancient Greek letter π (pi) to symbolize the ratio of the diameter of a circle to its circumference was by the mathematician William Jones in his 1706 work a New Introduction to the Mathematics. In that work, however, Jones says that the ‘truly ingenious Mr. John Machin’ used it before him. There are many ways to derive π (pi), from the rough approximation of 22/7 to the most recent calculations that extend π (pi) to over a trillion digits, calculated over months and years with supercomputers. 

To give you an idea of what π looks like, the image above is taken from a single sheet of standard office paper with π printed to the first 4,811 digits, about all that will fit on a single page with the widest margins possible.  Print both sides of the sheet and it will still take you 100 sheets of paper just to print the first million digits.  

Apologies to all those not in the Eastern Time zone of the United States-this post should hit your dashboard on 3/14/15 at 9:26 am.

Enjoy π (pi) day, and have a slice of pie!

[educational-gifs]

[curiosamathematica]

A visual demonstration of the Pythagorean theorem using liquid.

[muamarmusa]

A good visual :D

[jpedmaths]

Ancient Greek, geometric view of prime numbers.

[muamarmusa]

The classic definition of prime numbers.

[padzandfriends]

Bagian Terakhir dari Transisi Kekuasaan the series (yatta, finally here~)

akhirnya, bagian terakhir dari post menteri-menterian~ sekarang sudah Februari saja ya, post ini sudah basi 3 bulan

ma ikka (　´∀｀)

Anyway, rasanya kurang afdol kalau Mimin tidak ikut membahas anaknya Teladan...

[muamarmusa]

“di dunia ini ada dua macam manusia; mereka yang didefinisikan oleh almamaternya, atau mereka yang mendefinisikan almamaternya.”

[kuchisabish11]

An actuary is basically someone who tries to predict the future. And how might we do that? By using maths and statistics to analyze things that went on in the past and apply that logic to future things.

Really need to work hard for this, and there must be hard time to get to that place. To understand math better, to learn many things (idealism, politics, organisation etc.), to jump then fall, to do many new things while I’m young and reckless.

an innocent 18 year-old girl

[muamarmusa]

Actually this is not my future job, but it must be good to be an actuary XD

[utechnology]

Drones in Agriculture

Drones + Computer Science + Big Data = Amazing.

[muamarmusa]

WOW. Just, wow.

cc Department of Electronics and Computer Science, UGM

[islamic-art-and-quotes]

Quran 93:7 and prayer mat

Originally found on: saif-alshaali

[geometricloci]

BERNAR VENET  painting 

[exploratorium]

2014: The Year in (Unsung) Science

Chances are, these staff-picked science stories of 2014 missed your radar. Let’s fix that.

#3. Twin Primes, Ad Infinitum

Long ago, mathematicians noticed an odd pattern among the prime numbers, numbers divisible only by themselves and 1. Often, and seemingly at random, two primes occur separated by a single even number. For example, 5 and 7 are prime numbers separated by 2, as are 41 and 43. We call these “twin primes.”

Mathematicians know that there are an infinite number of primes, but here’s a question that has long kept at least some of them up at night: How many of these primes are twin primes?

Last year, Yitang Zhang stunned, yes, stunned the mathematical community by showing that there are an infinite number of prime pairs separated by an amount less than 70 million. This year, mathematicians have been furiously working to push this number down—if they can get it down to 2, they will have (finally!) proven that there are, in fact, an infinite number of twin primes. Currently, they’ve got the prime gap proven down to 246…hold your breath for updates.

Some discoveries we love in part because they are so obscure. This is an, er, prime example. Says Exploratorium exhibit developer (and mathematician) Paul Stepahin, “It’s almost like the pointlessness is what makes it so beautiful.”

Sources: Princeton University & Institute for Advanced Study, Slate, Nature 

Full post here.

[muamarmusa]

Most of unsolved problems in mathematics are in number theory, isn't it? Or, is it? Why?

[truthofislam2529]

[islamic-quotes]

FORGIVE THEM EVEN IF THEY ARE NOT SORRY

let them forgive and overlook, do you not wish that Allah should forgive you? For Allah is Oft-Forgiving, Most Merciful.

Quran 24:22

More islamic quotes HERE

[muamarmusa]

:')

[teejay82]

We started our unit on expressions today. I wanted the kids to see more than just a bunch of numbers and letters that had no meaning, so I did a few simple drawings*/stories and asked them to represent them with numbers and variables.

1) If I had this fruit on my table, how could I represent what I have with an expression?

2) If I went shopping and bought something that was $25, and then I bought something that was $15, how can I represent how much I spent?

3) If I had two $10 bills in my pocket, and then someone stole one of those bills, how do I represent that situation with an expression? Side note: I also felt the need to apologize that my robber ended up looking like a Teenage Mutant Ninja Turtle… =)

4) If these cans of soda went on sale, but there was no price shown anywhere, how could I represent the cost of the two cans? If I find someone to do a price check for me, and they tell me each can was $0.25, how would I figure out the total cost?

This led into our lesson on evaluating expressions.

These were really simple problems, but I hope it helped remind them that math connects to real life. I hope it also helped some of them take a small step toward believing they can do math. At the very least, they seemed more interested/entertained by my lame drawings, which made for a more positive atmosphere going into our main lesson time.

Thanks, gjmueller, for posting that article on “The 8 Minutes That Matter Most.” I read it during my prep period today and added this little activity as a result. I think you made the day more fun for both the kids and me! =)

*I didn’t take a picture of my real drawings on the board, so I recreated it with Kids Doodle on my iPad. It looks a lot more fun in this picture than it did on my whiteboard… (Kids Doodle: http://bit.ly/kidoios)

[muamarmusa]

mathematics should be made as interesting as possible :3

[penacava]

[padzandfriends]

Bagian 7 dari Transisi Kekuasaan the series (oh my, akhirnya lanjut juga…)

Waktu kemarin screening background pendidikan para menteri, Mimin menemukan bahwa Smandel kali ini juga kedapetan jatah kursi di kabinet… (｡´∀｀)ﾉ

Setelah sebelumnya dipenuhi deretan artis ...