#funkcija

[i-am-heathcliff-234]

Logično

[balkanin]

Alija poručio "na funkcije predložite borbene ljude koji imaju svoje stavove i brane ih, a ne činovnike!"

Alija poručio “na funkcije predložite borbene ljude koji imaju svoje stavove i brane ih, a ne činovnike!”

Predsjednik SDA je tražio da se vodi računa da niko ne može imati dvije ili više funkcija

Na funkcije predložite borce (borbene ljude koji imaju svoje stavove i brane ih), a ne činovnike, napisao je Alija Izetbegović 20. oktobra 1998. godine

Na posljednjoj sjednici Predsjedništva SDA, održanoj 5. juna usvojen je zaključak prema kojem “jedna osoba može biti član samo jednog upravljačkog tijela…

View On WordPress

[ukopcavanje]

Funkcija V

Odrediti f(x) ako važi: \( f^{-1}(\frac{x-3}{2x+4})=\frac{x+1}{3x-1} \)

Za početak, zamenimo izraz \( \frac{x-3}{2x+4} \) sa t. Preko t ćemo izračunati x.

\[ t=\frac{x-3}{2x+4}\] \[ x-3=t(2x+4) \] \[ x-3=2xt+4t \] \[ x-2xt=3+4t \] \[ x(1-2t)=3+4t \] \[ x=\frac{3+4t}{1-2t} \] \[ \]

Sada odredimo \( f^{-1}(x) \). t postaje x.

\[ f^{-1}(x)=\frac{\frac{3+4x}{1-2x}+1}{3\frac{3+4x}{1-2x}-1} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{\frac{4+2x}{1-2x}}{\frac{9+12x}{1-2x}-\frac{1-2x}{1-2x}} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{\frac{4+2x}{1-2x}}{\frac{8+14x}{1-2x}} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{(1-2x)(4+2x)}{(1-2x)(8+14x)} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{4+2x}{8+14x} \] \[ f^{-1}(x)=\frac{2+x}{4+7x} \] \[ \]

Sada kada smo odredili \( f^{-1}(x) \), odredićemo inverzno preslikavanje f(x). To ćemo uraditi tako što ćemo izraz \( \frac{2+x}{4+7x} \) zameniti sa \( y_{0} \). Preko \( y_{0} \) ćemo odrediti x.

\[ y_{0}=\frac{2+x}{4+7x} \] \[ 2+x=y_{0}(4+7x) \] \[ 2+x=4y_{0}+7xy_{0} \] \[ x-7xy_{0}=4y_{0}-2 \] \[ x(1-7y_{0})=4y_{0}-2 \] \[ x=\frac{4y_{0}-2}{1-7y_{0}} \] \[ \]

\( y_{0} \) postaje x. Dobili smo da je \( f(x)=\frac{4x-2}{1-7x} \)

\[ \]

Rešenje predložila učenica: Milica Zubljić. Škola: Matematička gimnazija Kraljevo. Odeljenje: I-8. Koordinator Ukop(č)avanja: Jovan Pavlović. ✓ pAyPAL.ME DoNiRAJ BLoG →  ✓ REDBuBBLE sHop / izLoG →  ✓ pHoTocRowD FoToGRAF →  ✓ FAcEBook sTRANicA →  ✓ piNTEREsT TABLA →  Ilustracija: Doug Ohlson [USA] (1936-2010) ~ 'Gemini', 1965. Acrylic on canvas (112 × 244 cm).

[ukopcavanje]

Funkcija IV

Ako je niz funkcija \( f_{n}(x), \\ n \in \mathbb{N} \), definisan na sledeći način: \( f_{1}(x)= \frac{x}{x-1}, \\ f_{2}(x) = \frac{1}{1-x}, \) \( f_{n+2}(x)= f_{n+1}(f_{n}(x)), \) odrediti: \( f_{1998}(1998) \).

Tražimo prvu sledeću funkciju u nizu, odnosno \( f_{3}(x) \):

\[ f_{3}(x)= f_{2}(f_{1}(x)) \] \[ f_{2}(\frac{x}{x-1}) = \frac{1}{1-\frac{x}{x-1}} \] \[ = \frac{1}{\frac{x-1-x}{x-1}} \] \[ = \frac{1}{\frac{-1}{x-1}} \] \[ = \frac{x-1}{-1} \] \[ = 1-x \] \[ \]

Tražimo sledeću funkciju, odnosno \( f_{4}(x) \):

\[ f_{4}(x) = f_{3}(f_{2}(x)) \] \[ = f_{3}(\frac{1}{1-x})= 1 - \frac{1}{1-x} \] \[ = \frac{1-x-1}{1-x} \] \[ = \frac{-x}{1-x} \] \[ = \frac{x}{x-1} \] \[ \]

Primećujemo da važi: \( f_{4}=f_{1} \), ali zahtevamo da se dve uzastopne funkcije iz niza podudaraju sa odgovarajućim parom funkcija koje smo dobili ranije. Zato nastavljamo sa računanjem i tražimo \( f_{5} \):

\[ f_{5}=f_{4}(f_{3}(x))=f_{4}(1-x) \] \[ = \frac{1-x}{1-x-1} \] \[ = \frac{x-1}{x} \] \[ \]

Zaključujemo da \( f_{5} \) nije jednako \( f_{2} \), pa računamo dalje:

\[ f_{6}(x)= f_{5}(f_{4}(x))= f_{5}( \frac{x}{x-1}) \] \[ = \frac{\frac{x}{(x-1)}-1}{\frac{x}{x-1}} \] \[ = \frac{\frac{x-x+1}{x-1}}{\frac{x}{x-1}} \] \[ = \frac{1}{x} \] \[ \]

Zaključujemo da \( f_{6} \) nije jednako ni jednoj prethodnoj funkciji, pa idemo dalje:

\[ f_{7}(x) = f_{6}(f_{5})= \frac{x}{x-1} \] \[ \]

Zaključujemo da je \( f_{7} = f_{1} \), pa moramo proveriti da li je \( f_{8} = f_{2} \):

\[ f_{8} =f_{7}(f_{6}(x))=f_{7}(\frac{1}{x}) \] \[ = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}-1} \] \[ = \frac{1}{1-x} \] \[ \]

Zaključujemo da je \( f_{8}=f_{2} \), što znači da se funkcije ponavljaju nakon svakih 6 koraka. Sada proveravamo \( f_{1998}(x) \). Formiraćemo klase ekvivalencije na osnovu deljivosti sa 6. Broj 1998 je deljiv sa 6, i pripada klasi brojeva deljivih sa 6. U tu klasu spadaju funkcije \( f_{6},f_{12}...f_{1998}... \) Shodno tome računamo:

\[ f_{1998}(x) = \frac{1}{x} \] \[ f_{1998}(1998) = \frac{1}{1998} \] \[ \]

Rešenje predložio učenik: Ognjen Kužić. Škola: Matematička gimnazija Kraljevo. Odeljenje: I-8. Koordinator Ukop(č)avanja: Jovan Pavlović. ✓ pAyPAL.ME DoNiRAJ BLoG →  ✓ REDBuBBLE sHop / izLoG →  ✓ pHoTocRowD FoToGRAF →  ✓ FAcEBook sTRANicA →  ✓ piNTEREsT TABLA →  Ilustracija: Liam Gillick [UK] (b 1964) ~ 'Unit of Collapse', 2017. Powder-coated aluminium (15 x 200 x 15 cm).

[ukopcavanje]

Funkcija III

Date su funkcionalne jednačine: \( f(x+1)=3x+2, \\ g(2x+3)=2-3x \). Odrediti: \(f^{-1} \circ g \).

Izvršiću dve smene: \( x+1=k , \\ 2x+3=t \).

\[ x=k-1 , \\ x=(t-3)\div 2 \] \[ f(k)=3\cdot(k-1)+2 \] \[f(k)=3k-3+2 \] \[f(k)=3k-1 \] \[f(x)=3x-1 \]

Odredili smo f(x). Izračunajmo inverznu funkciju:

\[f(x)=y \] \[y=3x-1 \] \[3x=y+1 \] \[x=(y+1)\div 3 \] \[f^{-1}(x)=(x+1) \div 3 \]

Izračunali smo \( f^{-1} \). Odredimo funkciju g(x), uvođenjem druge smene u drugu funkcionalnu jednačinu:

\[g(t)=2-3\cdot(t-3)\div2 \] \[g(t)=2-(3t-9)\div2 \] \[g(t)=(4-(3t-9))\div2 \] \[g(t)=(4-3t+9)\div2 \] \[g(t)=(13-3t)\div2 \] \[g(x)=(13-3x)\div2 \]

Odredili smo g(x). Izračunajmo konačno traženu kompoziciju funkcija:

\[f^{-1} \circ g= f^{-1}(g(x))= \] \[f^{-1}((13-3x) \div2 )= \] \[(13-3\cdot(x+1)\div3)\div2= \] \[(13-x-1)\div2= \] \[(12-x)\div2= 6-x \div2 \]

Na taj način smo na kraju izračunali i traženu kompoziciju funkcija: \(f^{-1} \circ g = 6-x \div2 \).

Rešenje predložio učenik: Uroš Nedeljković. Škola: Matematička gimnazija Kraljevo. Odeljenje: I-8. Koordinator Ukop(č)avanja: Jovan Pavlović. ✓ pAyPAL.ME DoNiRAJ BLoG →  ✓ REDBuBBLE sHop / izLoG →  ✓ pHoTocRowD FoToGRAF →  ✓ FAcEBook sTRANicA →  ✓ piNTEREsT TABLA →  Ilustracija: Leon Polk Smith [USA] (1906-1996) ~ 'Beyond the Blue', 1981. Acrylic on canvas (244 x 470 cm).

[ukopcavanje]

Funkcija II

Odrediti f(x) ako važi: \( (x-1)\times f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x-1} \)

Na početku ćemo uvesti smene \( t=\frac{1}{x} \); \( a=f(x) \) i \( b=f(\frac{1}{x}) \) :

\[ (\frac{1}{t}-1)\times b+a=\frac{1}{\frac{1}{t}-1} \]

Proširićemo jedinice na levoj i na desnoj strani jednakosti sa t, radi sabiranja:

\[ \frac{1-t}{t}\times b+a= \frac{1}{\frac{1-t}{t}}\]

Umesto t možemo pisati x:

\[ \frac{1-x}{x}\times b+a=\frac{1}{\frac{1-x}{x}}\] \[ \frac{1-x}{x}\times b+a=\frac{x}{1-x}\]

Dobili smo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Sistem ćemo rešiti metodom suprotnih koeficijenata.

Početnu jednačinu ćemo pomnožiti sa \( \frac{-(1-x)}{x} \) :

\[ \frac{-(1-x)}{x}\times (x-1)\times a-\frac{(1-x)}{x}\times b=\frac{-(1-x)}{x}\times \frac{1}{x-1}\] \[ \frac{x-1}{x}\times (x-1)\times a-\frac{1-x}{x}\times b=\frac{x-1}{x}\times \frac{1}{x-1}\] \[ \frac{(x-1)^{2}}{x}\times a-\frac{1-x}{x}\times b=\frac{1}{x}\]

Sabraćemo novodobijenu jednačinu sa drugom jednačinom sistema \( \frac{1-x}{x}\times b+a=\frac{x}{1-x} \) :

\[ \frac{x^{2}-2x+1}{x}\times a+a=\frac{x}{1-x}+\frac{1}{x}\] \[ a\times(\frac{x^{2}-2x+1}{x}+1)=\frac{x}{1-x}+\frac{1}{x}\]

Jedinicu u zagradi na levoj strani proširićemo sa x, razlomak \( \frac{x}{1-x} \) sa x, a razlomak \( \frac{1}{x} \) sa (1-x) :

\[ a\times(\frac{x^{2}-2x+1+x}{x})=\frac{x^{2}}{x-x^{2}}+\frac{1-x}{x-x^{2}}\] \[ a\times(\frac{x^{2}-x+1}{x})=\frac{x^{2}-x+1}{x-x^{2}}\] \[ a=\frac{\frac{x^{2}-x+1}{x-x^{2}}}{\frac{x^{2}-x+1}{x}}\] \[ a=\frac{x}{x-x^{2}}\] \[ a=\frac{x}{x\times(1-x)}\] \[ a=\frac{1}{1-x}\]

Na taj način dobili smo traženu funkciju:

\[ f(x)=\frac{1}{1-x}\] \[ \]

Rešenje predložio učenik: Mihailo Lukić. Škola: Matematička gimnazija Kraljevo. Odeljenje: I-8. Koordinator Ukop(č)avanja: Jovan Pavlović. ✓ pAyPAL.ME DoNiRAJ BLoG →  ✓ REDBuBBLE sHop / izLoG →  ✓ pHoTocRowD FoToGRAF →  ✓ FAcEBook sTRANicA →  ✓ piNTEREsT TABLA →  Ilustracija: Chen Wenji [China] (b 1954) ~ 'Page Red•Color', 2016. Oil on Aluminum Panel (90 x 175 cm).

[ukopcavanje]

Funkcija I

Odrediti f(x) ako važi: \( f(x)+2\times f(\frac{1}{x})=x \)

Na početku ćemo uvesti smenu \( t=\frac{1}{x} \) :

\[ f(x)+2\times f(\frac{1}{x})=x \] \[ f(\frac{1}{t})+2\times f(t)= \frac{1}{t} \]

Umesto t ovde možemo koristiti x:

\[ f(\frac{1}{x}) +2\times f(x)= \frac{1}{x} \]

Dopisivanjem početne jednakosti kao druge jednačine, dobili smo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Sistem ćemo rešiti metodom suprotnih koeficijenata:

\[ f(\frac{1}{x}) +2\times f(x)= \frac{1}{x} \] \[ f(x)+2\times f(\frac{1}{x})= x \]

Prvu jednačinu ćemo pomnožiti sa -2:

\[ -2\times f(\frac{1}{x})-4\times f(x)= \frac{-2}{x} \]

I potom sabrati sa drugom jednačinom iz sistema:

\[ -3\times f(x)= x-\frac{-2}{x} \] \[ -3\times f(x)= \frac{x^{2}-2}{x} \] \[ f(x)= \frac{x^{2}-2}{-3\times x} \] \[ f(x)= \frac{2-x^{2}}{3\times x} \]

Na taj način dobili smo traženu funkciju.

Rešenje predložio učenik: Mihailo Lukić. Škola: Matematička gimnazija Kraljevo. Odeljenje: I-8. Koordinator Ukop(č)avanja: Jovan Pavlović. ✓ pAyPAL.ME DoNiRAJ BLoG →  ✓ REDBuBBLE sHop / izLoG →  ✓ pHoTocRowD FoToGRAF →  ✓ FAcEBook sTRANicA →  ✓ piNTEREsT TABLA →  Ilustracija: Elise Ferguson [USA] (b 1964) ~ 'Cloud Bank', 2017. Pigmented plaster on MDF panel (76.2 x 152.4 cm).

[geto-srbija]

ЈОХАНЕС – КОМЕСАРЧИНА БРИСЕЛСКЕ МАШИНЕРИЈЕ И КОРИСТАН ЛОБИСТА СТРАНИХ КОМПАНИЈА И ТУЂИХ ИНТЕРЕСА!?

ЈОХАНЕС – КОМЕСАРЧИНА БРИСЕЛСКЕ МАШИНЕРИЈЕ И КОРИСТАН ЛОБИСТА СТРАНИХ КОМПАНИЈА И ТУЂИХ ИНТЕРЕСА!?

  Српски диктатор све ређе помиње ”моји пријатељи из иностранства”. Не узима у уста више ”Госпођу Меркел”, не одлази у Беч код Курца (министра спољних послова), Орланда заобилази, Матео Ренци му није поуздан савезник, Милу Ђукановићу дугује и паре и јаре, остао је без Гвида Вестервелеа који је умро од сиде…Још се једино љуби са Федериком Могерини и Јоханесом Ханом, европским комесарима, а заноћи,…

View On WordPress