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LE MOUVEMENT BROWNIEN ET SON HISTOIRE, RÉPONSES À QUELQUES QUESTIONS par Jean-Pierre Kahane                                                                                                                                                                                            D’abord, qu’appelle-t-on mouvement brownien ?                                                                                                                                                                              Deux choses : un phénomène naturel, et un objet mathématique.                                                                                                                                                      De quoi s’agit-il ?                                                                                                                                                                                                                                    Le phénomène naturel est le mouvement désordonné de particules en suspension dans un liquide. Il a été observé dès le 18ème siècle, sinon avant.                                                                                                                              L’objet mathématique est un processus gaussien dont la variance des accroissements est égale au temps écoulé. Norbert Wiener, qui l’a défini en 1923, l’appelait « the fundamental random function. »                                                                                                                                                                      Quel rapport entre les deux ?                                                                                                                                                                                                              C’est toute une histoire, dans laquelle les physiciens jouent un rôle majeur.                                                                                                                                  Certains, au 19ème siècle, avaient pressenti que le mouvement des particules pouvait tenir à l’agitation moléculaire. Mais le grand départ est venu en 1905 avec Einstein. A l’origine, Einstein voulait tester la théorie cinétique moléculaire de la chaleur dans les liquides. Cela l’a mené à une formule qui permettait, à partir de l’observation du mouvement brownien, de calculer le nombre d’Avogadro.                                                                                                                                                                                                                                          Jean Perrin a réalisé ce programme, et achevé ainsi d’établir la réalité des atomes ; il faut lire le grand classique qui en est résulté, Les Atomes (1912). Les observations de Jean Perrin ont inspiré Norbert Wiener. Dès ses premiers mots sur le mouvement brownien, Wiener cite un article de Perrin de 1909, qui évoque à ce sujet les courbes sans tangente des mathématiciens. Et Wiener se propose en effet de bâtir un modèle dans lequel les trajectoires sont continues, avec une vitesse infinie en tout point.                                                                                                                                                                                                D’où vient l’appellation de « mouvement brownien » ?                                                                                                                                                                        De Richard Brown, un grand botaniste écossais du début du 19 ème siècle, qui s’intéressait à l’action du pollen dans la reproduction des plantes. Il a été amené, comme d’autres, à observer le mouvement irrégulier et incessant de particules de pollen en suspension dans l’eau. A priori, il s’agissait là d’un phénomène vital. Cependant les expériences que Brown a su monter avec des particules inorganiques montrent que c’est faux. L’apport du biologiste a été de sortir le phénomène de la biologie.                                                                                                                                                                                                      Mais, dans un autre sens, l’appellation vient de Paul Lévy. Ce sont les écrits de Paul Lévy qui ont fixé l’usage de nommer« mouvement brownien » le processus de Wiener.                                                                                                                                                                                                                                            L’histoire parait donc simple. Jusqu’à Brown, le phénomène est du ressort de l’histoire naturelle. Avec Einstein et Perrin, il est l’objet d’une théorie physique et il donne lieu à des expériences de physique. Avec Wiener et Lévy, il est défini mathématiquement et son étude mathématique commence. Est-ce bien cela ?                                                                                                                                  Oui et non. Si l’on ne retient comme origine du mouvement brownien des mathématiciens que le mouvement de particules de pollen en suspension dans l’eau, il est exact que Brown, Einstein, Perrin, Wiener et Lévy représentent les maillons essentiels de la chaîne qui va de la botanique à la mathématique en passant par la physique. Mais il y a bien d’autres maillons dans la chaîne, et surtout d’autres sources et d’autres liens dans l’histoire du mouvement brownien.                                                                                                                                                                                                                                      D’autres sources et d’autres liens ? Lesquels ?                                                                                                                                                                                      On ne va pas pouvoir tout détailler, parce que le mouvement brownien occupe aujourd’hui une place centrale en mathématiques et qu’il est lié à la plupart de leurs branches : les équations d’évolution, l’analyse de Fourier, la théorie du potentiel, la théorie des fonctions d’une variable complexe, la géométrie et la théorie des groupes, l’analyse numérique, ... A ces liens correspondent d’autres sources historiques, parmi lesquelles trois me semblent devoir être signalées en priorité.                                                                                                                                                                                                                                                  1. L’équation de la chaleur (Fourier 1808) et sa diffusion ; la mise en évidence par Louis Bachelier dans sa thèse (1900) du processus de fluctuation des cours en Bourse et le fait que sa probabilité p(x,t)dx que ce processus se trouve entre x et x+dx au temps t obéit à l’équation de la chaleur (Bachelier parle du « rayonnement » de cette probabilité) ; c’est la source historique du lien entre mouvement brownien et mathématiques financières.                                                                                                                                                                            2. Les promenades au hasard, qui remontent au début du calcul des probabilités, avec l’image qu’en donne l’évolution de la fortune d’un joueur au jeu de pile ou face, puis, en 1905 de nouveau, les « random flights » de Pearson, qui sont des marches aléatoires isotropes dans le plan, et, en 1921, la première étude par Georges Polya des marches au hasard sur Z puissance d (récurrence ou transience, existence ou non de points multiples).                                                                                                                                                        3. Les séries de puissances et les séries trigonométriques à coefficients aléatoires, dont l’idée remonte à Emile Borel en 1896, mais qui n’ont pu faire l’objet d’études rigoureuses, à partir de 1920, que lorsque se sont formalisées les notions de probabilité et de propriétés presque sûres (Steinhaus ; Paley et Zygmund ; Paley, Wiener et Zygmund) ; c’est d’ailleurs en collaboration avec Paley et Zygmund, en 1932, que Wiener a achevé son programme en montrant que la non-dérivabilité en tout point de sa fonction aléatoire était presque sûre.                                                                                                                              Dans ces liens, il y a les retombées. Pouvez-vous en signaler quelques unes ?                                                                                                                                    Il y en a tant ... D’abord, en me bornant aux trois sources que je viens de signaler, voici quelques éléments :                                                                                                                                                                                                          1. La thèse de Louis Bachelier a été longtemps ignorée et elle est maintenant très populaire ; le mouvement brownien est l’outil de base des mathématiques financières.                                                                                                                                                                                                                                              2. Les promenades au hasard sur les groupes, les arbres, les graphes, les surfaces, sont de bons moyens pour explorer leur structure à l’infini.                                                                                                                                                  3. Wiener a proposé comme programme d’unifier la présentation des séries trigonométriques à coefficients aléatoires, dont fait partie la série de Fourier-Wiener qui représente le mouvement brownien, et ce programme a débouché sur une nouvelle théorie, les probabilités dans les espaces de Banach.                                                                                                                                                Par ailleurs, une retombée essentielle du processus de Wiener est l’axiomatique de Kolmogorov en 1933, qui ne se borne pas au classique (Ω,A,P), mais qui montre, exactement à la manière de Wiener, comment construire l’espace de probabilité à partir d’une famille (Ωc,Ac,Pc), adaptée au processus à probabiliser.                                                                                                                                                                                                                                            Il faudrait ensuite citer les équations différentielles stochastiques, l’intégrale d’Itô etc...                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              ...Ce qui est fascinant est la variété et la puissance des outils mis en œuvre dans cette étude, et l’appui que se prêtent mutuellement physiciens et mathématiciens.                                                                                                                                                                                                                                      Au moment d’écrire cet article, j’ai eu le bonheur d’entendre au séminaire Poincaré (le séminaire Bourbaki des physiciens) un exposé de Bertrand Duplantier sur le mouvement brownien. C’est à la fois une mise au point historique, avec toutes les références souhaitables, et un aperçu stimulant sur les recherches en cours. Oui, il reste encore bien des choses à trouver, et si vous voulez vous en convaincre, lisez Werner, lisez Duplantier.                                                                                                                                                    Références                                                                                                                                                                                                                                  Wendelin Werner, « Les chemins de l’aléatoire », Pour la Science n° 286 (août 2001), p. 68-74.                                                                                                                                                                                                                            Bertrand Duplantier, « Le mouvement brownien », Séminaire Poincaré 1 (avril 2005), p. 155-212.                                                                                                                                                                                            http://images.math.cnrs.fr/Le-mouvement-brownien-et-son.html

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Les Atomes - Michelle