#pivot theorem

[goodmath]

미켈의 점 (Miquel's Point)

[Cut-The-Knot의 미켈의 점][ctkmqp]을 우리말로 옮겨봤다. 아래의 명제에 대한 증명에서 [심슨 직선][mysl]을 잘 활용하는 점이 흥미롭다. ------------------------- 주어진 삼각형의 변 또는 그 연장선 위에서 각각 한 점을 선택하자. [Pivot 정리][mypvt]에 의하여, 그림에 있는 세 원은 한 점에서 만난다. 이 점을 **세 원에 대한 미켈의 점**(Miquel's Point)이라 한다.[^1] > **처음에 선택하는 세 점이 한 직선 위에 있을 때, 주어진 삼각형의 외접원도 또한 미켈의 점을 지난다.** 이제 *세 원에 대한 미켈의 점*은 **네 직선에 대한 미켈의 점**이라고 불린다. 아래는 위 명제의 증명이다. ----------------------------------

주어진 네 직선에 1, 2, 3, 4라고 번호를 붙이자. 한 번에 세 직선을 선택하는 네 가지 방법이 있다. 각각의 선택된 세 직선은 삼각형과 그 외접원을 만든다. *이제 네 원이 한 점을 공유함을 증명하자.* *두 삼각형 123과 124를 고려하자. 그들의 외접원은 두 점에서 만나고, 그 중 1과 2의 교점이 아닌 점을 P라고 하자.* 주어진 두 삼각형에 대하여 각각 P의 [심슨 직선][mysl]을 고려하자. 하나는 P에서 1, 2, 3에 내린 수선의 발을 지나고, 다른 하나는 P에서 1, 2, 4에 내린 수선의 발을 지난다. 따라서 두 심슨 직선은 두 점을 공유한다. 즉, 두 심슨 직선은 일치한다. 같은 방법으로 P에서 삼각형 134와 234의 변에 내린 수선의 발은 같은 직선 위에 있다고 할 수 있고, 그 직선은 삼각형 134와 234에 대한 P의 심슨 직선이다. 여기서, *P는 삼각형 134와 234의 외접원 위에 있다.* 그러므로 **네 개의 외접원은 P에서 만난다!** ∎ [^1]: 세 원은 주황, 노랑, 초록색의 원이고, 미켈의 점은 P이다. [ctkmqp]: http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Miquel.shtml [mypvt]: http://goodmath.tumblr.com/post/74707793904/pivot-theorem [mysl]: http://goodmath.tumblr.com/post/74068266973/simson-line

[goodmath]

Pivot Theorem

[Cut-The-Knot][ctkpvt]에서 처음 본 정리이다. [Wolfram MathWorld][mwpvt]에서는 Pivot 정리를 확장한 결과가 [미켈(Miquel)의 정리][mwmq]라고 말하고 있다. 궁금해서 [영문 위키의 미켈의 정리][wkmq]를 찾아봤지만, Pivot 정리의 내용에 대한 설명만 있어서 아쉬웠다. [Cut-The-Knot][ctkpvt]에서는 Pivot 정리를 증명할 때 ‘역’을 이용하는데 그에 비해 아래의 증명이 더욱 간단한 것 같다. 증명은 [영문 위키의 미켈(Miquel)의 정리][mwmq]에 나온 Pivot 정리의 증명과 같은 방법이다. ‘역’의 명제는 [영문 위키의 Pivot 정리][wkpvt]를 옮겼고, 증명은 [Cut-The-Knot][ctkipvt]에 있는 증명을 편집하여 옮겼다. --------------------------------------- # [Pivot 정리][ctkpvt] > 주어진 삼각형의 각 변에서 각각 한 점이 있다. 한 꼭짓점 그리고 그 꼭짓점에 인접하는 두 변 위의 점을 지나는 원은 유일하다. 모든 꼭짓점에서 이러한 원을 고려하면 총 세 개의 원이 있다. 그러면, 세 원은 한 점에서 만난다. ## 증명

△BDF의 외접원과 △CDE의 외접원의 교점을 O라 하자. 그러면 사변형 BDOF와 CDOE는 원에 내접하는 사변형이므로 다음이 성립한다. - ∠B + ∠DOF = 180° - ∠C + ∠DOE = 180° ∠EOF + ∠FOD + ∠DOE = 2×180° 는 자명하고 따라서, ∠EOF + ∠A = 2×180° - (∠DOF + ∠DOE) + ∠A = 2×180° + ∠B + ∠C - 2×180° + ∠A = ∠A + ∠B + ∠C = 180° 즉, 사변형 AEOF는 원에 내접하고, 따라서 △AEF의 외접원은 점 O를 지난다. ∎ --------------------------------------- # [Pivot 정리의 ‘역’][wkpvt] > 한 점을 공유하는 세 원이 있다. 그러면 꼭짓점이 각각의 원 위에 있고, 변은 원의 교점을 지나는 삼각형이 무한히 많이 존재한다.[^1] ## [증명][ctkipvt]

1. 원 O₁에서 임의의 점 A를 택하자. 2. - A=F 이면, A에서 O₁에 대한 접선 tA을 그리자. - A≠F 이면, 직선 AF를 그리자. 3. 그려진 직선을 TA라 하고, 직선 TA와 원 O₂의 교점을 점 B라고 하자. 1단계에서 원 O₂의 B에서 시작하고, F를 D로 바꿔서, TB와 O₃의 교점을 C라고 하자. 다시 1단계에서 원 O₃의 C에서 시작하고, F를 E로 바꿔서, 마지막으로 직선 TC을 그리자. 이제 직선 TC가 직선 AB와 점 A에서 만남을 보이자. A′를 TC와 AB의 교점이라 하고, △A′BC를 생각하자. 이 삼각형에서 ∠B와 ∠C는 A에 의존하지 않는다. ∠B는 호 DF 또는 호 DOF에 대응하는 원주각이고 ∠C는 호 DE 또는 호 DOE에 대응하는 원주각이기 때문이다. 따라서 ∠B + ∠C 는 상수이고, 모든 삼각형의 내각의 합은 상수이므로 ∠A′도 상수이다. 이제 A의 변화에 따른 A′의 자취가 두 점 E, F를 지나는 원의 일부가 됨을 밝히자. 그 원이 O₁과 동일함을 밝히기 위해서, 각을 계산하자. - ∠DOF + ∠B = 180° - ∠DOE + ∠C = 180° - ∠EOF + ∠A = 180° 물론, ∠DOF + DOE + ∠EOF = 2×180° 이 성립한다. 따라서, ∠A는 다음과 같다. ∠A = 180° - ∠EOF = 180° + ∠DOF + DOE - 2×180° = 180° + (180° - ∠B) + (180° - ∠C) - 2×180° = 180° - (∠B + ∠C) 그리고 △A′BC에 주목하면, ∠A′ = 180° - (∠B + ∠C) 이다. A와 A′는 동일한 직선 TA 위에 있으므로, A=A′ 이다. ∎ ----------------------------- ## 참조 목록 - [Cut-The-Knot의 Pivot 정리][ctkpvt] - [Cut-The-Knot의 Pivot 정리의 ‘역’][ctkipvt] - [영문 위키의 Pivot 정리][wkpvt] - [영문 위키의 미켈의 정리][wkmq] - [Wolfram MathWorld의 Pivot 정리][mwpvt] - [Wolfram MathWorld의 미켈의 정리][mwmq] [^1]: 서로 다른 위치에 있는 두 삼각형은 다르게 생각하기 때문이다. 증명을 보면 알겠지만, 만들어지는 모든 삼각형은 서로 닮음이다. [ctkpvt]: http://www.cut-the-knot.org/proofs/Pivot.shtml [ctkipvt]: http://www.cut-the-knot.org/proofs/ManyCircles.shtml#proof [wkpvt]: https://en.wikipedia.org/wiki/Pivot_theorem [wkmq]: https://en.wikipedia.org/wiki/Miquel's_theorem [mwpvt]: http://mathworld.wolfram.com/PivotTheorem.html [mwmq]: http://mathworld.wolfram.com/MiquelsTheorem.html