미켈의 점 (Miquel's Point)
[Cut-The-Knot의 미켈의 점][ctkmqp]을 우리말로 옮겨봤다. 아래의 명제에 대한 증명에서 [심슨 직선][mysl]을 잘 활용하는 점이 흥미롭다. ------------------------- 주어진 삼각형의 변 또는 그 연장선 위에서 각각 한 점을 선택하자. [Pivot 정리][mypvt]에 의하여, 그림에 있는 세 원은 한 점에서 만난다. 이 점을 **세 원에 대한 미켈의 점**(Miquel's Point)이라 한다.[^1] > **처음에 선택하는 세 점이 한 직선 위에 있을 때, 주어진 삼각형의 외접원도 또한 미켈의 점을 지난다.** 이제 *세 원에 대한 미켈의 점*은 **네 직선에 대한 미켈의 점**이라고 불린다. 아래는 위 명제의 증명이다. ----------------------------------
주어진 네 직선에 1, 2, 3, 4라고 번호를 붙이자. 한 번에 세 직선을 선택하는 네 가지 방법이 있다. 각각의 선택된 세 직선은 삼각형과 그 외접원을 만든다. *이제 네 원이 한 점을 공유함을 증명하자.* *두 삼각형 123과 124를 고려하자. 그들의 외접원은 두 점에서 만나고, 그 중 1과 2의 교점이 아닌 점을 P라고 하자.* 주어진 두 삼각형에 대하여 각각 P의 [심슨 직선][mysl]을 고려하자. 하나는 P에서 1, 2, 3에 내린 수선의 발을 지나고, 다른 하나는 P에서 1, 2, 4에 내린 수선의 발을 지난다. 따라서 두 심슨 직선은 두 점을 공유한다. 즉, 두 심슨 직선은 일치한다. 같은 방법으로 P에서 삼각형 134와 234의 변에 내린 수선의 발은 같은 직선 위에 있다고 할 수 있고, 그 직선은 삼각형 134와 234에 대한 P의 심슨 직선이다. 여기서, *P는 삼각형 134와 234의 외접원 위에 있다.* 그러므로 **네 개의 외접원은 P에서 만난다!** ∎ [^1]: 세 원은 주황, 노랑, 초록색의 원이고, 미켈의 점은 P이다. [ctkmqp]: http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Miquel.shtml [mypvt]: http://goodmath.tumblr.com/post/74707793904/pivot-theorem [mysl]: http://goodmath.tumblr.com/post/74068266973/simson-line