원뿔곡선의 판별식 (Discriminant of a Conic Section)
방정식 *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Bxy* + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 에 대한 해집합 {(*x*, *y*)}의 그래프는 무엇일까? 우선, *A*=*B*=*C*=0 이면, 해집합의 그래프는 다음 중 하나이다. - *D*≠0 ∨ *E*≠0 ⇒ *직선* - *D*=*E*=0 ∧ *F*=0 ⇒ *평면* - *D*=*E*=0 ∧ *F*≠0 ⇒ *공집합* **이제 *A*=*B*=*C*=0 이 아니라고 가정하자.** 즉, *A*, *B*, *C* 중에서 적어도 하나는 0이 아니라고 하자. > 이때, *x*, *y*에 관한 이차방정식 *S*(*x*, *y*)의 해집합의 그래프를 **원뿔곡선**([Conic Section][cs])이라 한다. 특히, 타원, 쌍곡선, 포물선을 **비퇴화**(non-degenerate) **원뿔곡선**이라 하고 그 외의 경우를 **퇴화**(degenerate) **원뿔곡선**이라 한다. 또한, *Ax*²+*Bxy*+*Cy*²을 **동반 이차형식**(Associated Quadratic Form)이라 한다.[^1] 만약 0 = *S*(*x*, *y*) = (*ax*+*by*+*c*)(*dx*+*ey*+*f*) 와 같이 인수분해 되면, 어떻게 될까? *A*, *B*, *C* 중에서 적어도 하나는 0이 아니므로, *a*=*b*=0 또는 *d*=*e*=0 이 될 수 없다. *따라서, 해집합은 두 직선 ax+by+c=0, dx+ey+f=0 의 합집합이다.* **사실 여기서 중요한 것은 *S*(*x*, *y*)의 인수분해의 유일성이다.** 만약 *S*(*x*, *y*)의 인수분해가 유일하지 않다면, 해집합은 하나로 결정되지 않는다. 그런데, 실수는 유일 인수분해 정역([Unique Factorization Domain][ufd], 이하 UFD)이므로 다항식 환 ℝ[*x*, *y*]는 UFD이다.[^2] 따라서, *S*(*x*, *y*)의 인수분해는 유일하다. **이제 *S*(*x*, *y*)가 실수 위에서 기약이라고 가정하자.** 즉, *S*(*x*, *y*)가 실수 위의 다항식 환([Ring][r]) ℝ[*x*, *y*]의 기약 다항식([Irreducible polynomial][ip])이라 하자. *A*, *B*, *C* 중에서 적어도 하나는 0이 아니므로, 다음과 같은 7가지 경우를 고려할 수 있다.
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ A ╳ ╳ ╳ ◯ ╳ ◯ ◯ B ╳ ╳ ◯ ╳ ◯ ╳ ◯ C ╳ ◯ ╳ ╳ ◯ ◯ ╳
◯는 0임을 뜻하고, ╳는 0이 아님을 뜻한다. ------------------------------------ ## 혼합항 *xy*가 없는 경우: ③, ⑤, ⑦ ③, ⑤, ⑦의 경우에 *B*=0 이므로, 혼합항(cross-product term) *xy*가 없다. #### 경우 ③: *A*≠0, *B*=0, *C*≠0 *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 다음과 같이 표현된다. $$A \left( x + \frac{D}{2A} \right) ^2 + C \left( y + \frac{E}{2C} \right) ^2 = \left( \frac{D}{2A} \right)^2 + \left( \frac{E}{2C} \right)^2 - F$$ 따라서, 방정식 *S*=0 의 해집합은 경우에 따라 다음과 같은 그래프를 갖는다. 단, *R*는 윗식의 우변을 의미한다. - *R*=0 ⇒ *한 점*[^3] (−*D*/(2*A*), −*E*/(2*C*)) - *R*/*A*<0 ∧ *R*/*C*<0 ⇒ *공집합* - *R*/*A*>0 ∧ *R*/*C*>0 ⇒ *타원* - *AC*<0 ⇒ *쌍곡선* 특히, 마지막 경우에 *R*≠0을 가정할 필요가 없다. 왜냐하면 *AC*<0 이면 *S*가 기약이므로 *R*≠0 이기 때문이다. #### 경우 ⑤: *A*≠0, *B*=0, *C*=0 *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 의 해집합의 그래프는 경우에 따라 다음과 같다. - *E*=0 ⇒ *공집합* (∵ *S*는 기약) - *E*≠0 ⇒ *포물선* #### 경우 ⑦: A=0, B=0, C≠0 *S*(*x*, *y*) = *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 의 해집합의 그래프는 경우에 따라 다음과 같다. - *D*=0 ⇒ *공집합* (∵ *S*는 기약) - *D*≠0 ⇒ *포물선* ------------------------------------ ## 혼합항 *xy*가 있는 경우: ①, ②, ④, ⑥ 세 경우 ②, ④, ⑥에 대하여 결론부터 말하면, 세 경우의 해집합의 그래프는 모두 다항함수가 아닌 유리함수의 그래프이다. 이것이 *쌍곡선*임을 아래에서 밝힐 것이다. #### 경우 ②: *A*≠0, *B*≠0, *C*=0 *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Bxy* + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 다음과 같이 표현된다. $$y = - \frac{Ax^2 + Dx + F}{Bx + E}$$ *S*는 기약이므로 우변은 약분되지 않는다. #### 경우 ④: *A*=0, *B*≠0, *C*≠0 *S*(*x*, *y*) = *Bxy* + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 다음과 같이 표현된다. $$x = - \frac{Cy^2 + Ey + F}{By + D}$$ *S*는 기약이므로 우변은 약분되지 않는다. 직선 *y*=*x*에 대하여 대칭이동 시키면 다음과 같다. $$y = - \frac{Cx^2 + Ex + F}{Bx + D}$$ #### 경우 ⑥: *A*=0, *B*≠0, *C*=0 *S*(*x*, *y*) = *Bxy* + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 다음과 같이 표현된다. $$y = - \frac{Dx + F}{Bx + E}$$ *S*는 기약이므로 우변은 약분되지 않는다. #### 경우 ①: *A*≠0, *B*≠0, *C*≠0 이때, *S*(*x*, *y*) = *Ax*² + *Bxy* + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 은 ②, ④, ⑥과 같이 *y*를 *x*에 관하여 또는 *x*를 *y*에 관하여 간단히 표현할 수없다. **여기서 새로운 기술(technique)의 필요가 발생한다.** ------------------------------------ ## 혼합항 소거하기[^4]: *B*≠0 우선 *S*(*x*, *y*)를 행렬을 이용하여 나타내보자. $\mathbf{x} := \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix}$, $Q := \begin{bmatrix} A & B/2 \\\\ B/2 & C \end{bmatrix}$, $K := \begin{bmatrix} D & E \end{bmatrix}$라 하면, *S*(*x*, *y*)=0 을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$S(x, y) = \mathbf{x}^{T} Q \mathbf{x} + K \mathbf{x} + F = 0 \tag{1} \label{1}$$ 그리고나서 다음의 세 단계를 거쳐 혼합항을 소거할 수 있다. 사실 세 단계의 논의는 주축정리([Principal Axis Theorem][pat])의 증명과 다름없다. #### 1단계: 행렬 *Q*를 직교대각화하는 행렬 *P* 구하기 *Q*x = *λ*x 즉, (*Q*−*λI*)x=0 을 만족하는 영이 아닌 x가 존재하기 위한 필요충분 조건은 det(*Q*−*λI*)=0 이다. 즉, 다음이 성립한다. $$\lambda^2 - (A + C)\lambda +\frac{4AC - B^2}{4} = 0 \tag{2} \label{2}$$ 따라서, 두 고윳값은 다음과 같다. $$\lambda_1 = \frac{A + C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2}}{2}$$ $$\lambda_2 = \frac{A + C - \sqrt{(A - C)^2 + B^2}}{2}$$ 특히, *λ*1과 *λ*2는 동시에 0이 될 수 없다. 만약 *λ*1=*λ*2=0 이면, (A−C)²+B²=0 이다. 그러나 *B*≠0 이므로 (A−C)²+B²>0 이다. $r^2 := \left( A - C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2} \right)^2 + B^2$ 이라 하면, *λ*1의 단위고유벡터는 다음과 같고, $$\frac{1}{r} \begin{bmatrix} A - C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2} \\\\ B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{11} \\\\ p_{21} \end{bmatrix}$$ *λ*2의 단위고유벡터는 다음과 같다. $$\frac{1}{r} \begin{bmatrix} -B \\\\ A - C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{12} \\\\ p_{22} \end{bmatrix}$$ 그러므로 *P*는 다음과 같다. $$P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\\\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}$$ #### 2단계: 필요에 따라 *P*의 열을 교환하여 det*P*=1 이 되게 한다 1단계에서 이미 det*P* = 1 이 되도록 했다. 한편, det*P*=1 은 직교좌표변환 x=*P*x′ 즉, 다음을 만족하는 선형변환 *P*가 회전변환임을 말해준다. $$\begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} x' \\\\ y' \end{bmatrix}$$ #### 3단계: x=*P*x′를 식 $(\ref{1})$에 대입하기 *x*′*y*′-평면에 있어서 *S*(*x*, *y*)=0 에 대응하는 방정식을 얻기 위해 x=*P*x′ 를 식 $(\ref{1})$에 대입하면, (*P*x′)T*Q*(*P*x′) + *K*(*P*x′) + *F* = 0 즉, (x′)T(*P*T*QP*)x′ + (*KP*)x′ + *F* = 0 이 된다. P는 Q를 직교대각화하므로 다음이 성립한다. $$P^T Q P = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}$$ 따라서 (x′)T(*P*T*QP*)x′ + (*KP*)x′ + *F* = 0 을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{bmatrix} x' & y' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\\\ y' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\\\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\\\ y' \end{bmatrix} + F = 0$$ 즉, *S*′(*x*′, *y*′):= *λ*1*x*′2 + *λ*2*y*′2 + *D*′*x*′ + *E*′*y*′ + F = 0 이다. (단, *D*′= *Dp*11 + *Ep*21이고, *E*′= *Dp*12 + *Ep*22이다.) 이 방정식은 혼합항을 갖지 않는다. ------------------------------------ **다시 말해, 혼합항이 있는 방정식 *S*=0의 해집합의 그래프는 혼합항이 소거된 방정식 *S*′=0의 그래프를 회전변환 *P*에 의해 회전하여 얻을 수 있다.** 특히, *P*는 직교행렬([Orthogonal matrix][om])이므로 x=*P*x′ ⇔ *P*Tx=x′ 이다. 따라서, 다음이 성립한다. ***S*′(*x*′, *y*′) = *S*′(*p*11*x* +*p*21*y*, *p*12*x*+*p*22*y*) = *S*(*x*, *y*)** 그러므로 만약 *S*′(*x*′, *y*′) = (*a*′*x*′+*b*′*y*′+*c*′)(*d*′*x*′+*e*′*y*′+*f*′) 와 같이 인수분해되면, *S*도 *S*(*x*, *y*) = {*a*′(*p*11*x* +*p*21*y*)+*b*′(*p*12*x*+*p*22*y*)+*c*′}{*d*′(*p*11*x* +*p*21*y*)+*e*′(*p*12*x*+*p*22*y*)+*f*′} 와 같이 인수분해된다. 그러므로 *S*′(*x*′, *y*′)도 기약이다. 따라서, 방정식 *S*′=0의 해집합의 그래프는 경우 ③, ⑤, ⑦에 의하여 알 수 있다. 특히, 세 경우 ②, ④, ⑥에 대하여 *B*≠0, *AC*=0 이므로 식 $(\ref{2})$에서 근과 계수의 관계에 의하여 *λ*1*λ*2<0 이다. 그러므로 경우 ③에 의하여 세 경우 ②, ④, ⑥에서 방정식 *S*=0 의 해집합의 그래프는 쌍곡선이다. ------------------------------------ ## 원뿔곡선의 판별식 ([Discriminant of a Conic Section][csd]) 방정식 *S*=0의 해집합의 그래프가 비퇴화 원뿔곡선이면, *λ*1*λ*2의 부호에 따라 그래프를 간단히 분류할 수 있다. - *λ*1*λ*2 > 0 ⇒ *타원* - *λ*1*λ*2 = 0 ⇒ *포물선* - *λ*1*λ*2 > 0 ⇒ *쌍곡선* 특히, 식 $(\ref{2})$에서 근과 계수의 관계에 의하여 *λ*1*λ*2의 부호는 4*AC*−*B*²의 부호와 같다. 그러므로 동반 이차 형식의 계수만으로 다음의 판별식이 만들어 진다. > 방정식 *Ax*² + *Bxy* + *Cy*² + *Dx* + *Ey* + *F* = 0 의 그래프가 **비퇴화 원뿔곡선이면**, 그래프는 *B*²−4*AC*의 부호에 따라 다음과 같이 분류된다. > > - *B*²−4*AC* < 0 ⇒ *타원* > - *B*²−4*AC* = 0 ⇒ *포물선* > - *B*²−4*AC* > 0 ⇒ *쌍곡선* ------------------------------------ ## 참고문헌 및 링크목록 - «Elementary Linear Algebra, 8th Edition» - Howard Anton - «A First Coures in Abstract Algebra» - John B. Fraleigh - [Discriminant][d] - Wikipedia - [Degenerate Conic][dc] - Wikipedia - [Conic Section][cs] - Wikipedia - [Matrix Representation of Conic Sections][mrcs] - Wikipedia - [Unique Factorization Domain][ufd] - Wikipedia - [Principal Axis Theorem][pat] - Wikipedia - [Orthogonal Matrix][om] - Wikipedia - [Ring][r] - Wikipedia [^1]: ‘Howard Anton’의 «Elementary Linear Algebra, 8th Edition»에서 인용했다. [^2]: ‘John B. Fraleigh’가 쓴 «A First Coures in Abstract Algebra»의 정리 45.29에 의하여 성립한다. [^3]: *R*=0 이면 *S*가 기약이므로 *AC*>0 이다. [^4]: ‘Howard Anton’이 쓴 «Elementary Linear Algebra, 8th Edition»의 “혼합항의 소거법”(Eliminating the Cross-Product Term)을 인용했다. [d]: http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant [dc]: https://en.wikipedia.org/wiki/Degenerate_conic [cs]: https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section [csd]: https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section#Discriminant_classification [mrcs]: http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_representation_of_conic_sections [ufd]: http://en.wikipedia.org/wiki/Unique_factorization_domain [pat]: https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_axis_theorem [om]: http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix [r]: http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics) [ip]: http://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_polynomial