LOGICISMO.
En el complejo terreno de la filosofia de las matemáticas, el logicismo es, junto al formalismo, uno de los más importantes intentos por resolver la crisis del fundamento: es decir, especificar la naturaleza del concepto de número. Elaborado por G. Frege (principios fundamentales de la aritmética, 1903), el logicismo sugiere la posibilidad de reducir las matemáticas a un sistema lógico. Así, el significado de un número podría enunciarse mediante la noción de clase (conjunto): la agrupación de todos y exclusivamente aquellos entes (objetos de cualquier naturaleza) que cuente con algún atributo en común y que pueden ser definidos por una regla de pertenecia. En otras palabras, el número sería la característica común a un determinado tipo de clase; por ejemplo, el 7 expresaría lo que hay de común con las siguientes clases: los días de la semana, las maravillas del mundo, los reyes de Roma, los jinetes del Apocalipsis, los sabios de la antigüedad, etc. Aunque heterogéneos por su contenido, todos gozan de la propiedad de igualdad aritmética: a cada uno y sólo un elemento en los otros. Llamamos número al conjunto de todos los conjuntos similares a éste.
En el programa de Frege, el concepto de clase debía utilizarse de forma cada vez más compleja, explicando la naturaleza de todos los entes matemáticos y de sus operaciones. La imposibilidad de llevar a la práctica este programa de refundación de las matemáticas sobre bases lógicas quedó demostrada en 1903 por el filósofo inglés B. Russell ( Los principios de las matemáticas, 1903). Russell expuso la distinción fundamental entre <<conjuntos normales>> y <<conjuntos no normales>>.
*Los conjuntos normales se definen por el hecho de no contenerse a sí mismos, ya que la totalidad (la clase) posee una naturaleza distinta a la de sus componentes. Muchos conjuntos naturales son de este tipo: una clase de estudiantes no es un estudiante; el conjunto de todos los vendedores de fruta es una asociación comercial, no una enorme frutería, etc.
*Los conjuntos no normales se definen, en cambio, por contenerse a sí mismos como un elemento. El conjunto de todos los colores del espectro luminoso (el blanco) es un color en sí mismo; el catálogo de los libros de una biblioteca es en sí mismo un libro, y esto implica que un catálogo de los libros de una biblioteca es en sí mismo un libro, y esto implica que un catálogo perfecto que contuviese todos os libros debería también contenerse a sí mismo.
La paradoja se produce cuando, al considerar clases de segundo nivel: es decir, clases de clases. La situación aparece de pronto como indefinible: es imposible establecer si estas superclases son a su vez normales o no normales. Russell parafraseó su intuición con un célebre ejemplo. Imaginemos que el barbero de un pueblecito se define a sí mismo de la siguiente manera: <<Alguien que afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos>>. Ahora bien, si él se afeita a sí mismo, entra en contradicción consigo mismo, convirtiéndose en un imposible barbero que afeita a alguien que se afeita a sí mismo; pero si no se afeitara dejaría de ser el barbero de la definición, pues no afeitaría a todos los que no se afeitan a sí mismos.