지난번에 실행해 보았던 3차원 공간에서 상자를 그리고, 그걸 회전시키는 아래 프로그램을 해석해 보도록 하겠습니다.
https://gist.github.com/myjr52/141fbdee383c86a47999
3차원 공간에서 회전하는 물체의 각속도 벡터가 ${\boldsymbol\omega}$라는 $3\times 1$ 벡터로 주어졌을때, 방향 코사인 행렬의 미분 방정식은 다음과 같습니다.
$$\dfrac{dC}{dt} = - [{\boldsymbol\omega}\times] C$$
$$[{\boldsymbol\omega}\times] = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2\\\ \omega_3 & 0 & -\omega_1\\\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{bmatrix}$$
이고, $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$는 각각 $x$, $y$, $z$ 축 방향 각속도입니다. 위의 방정식은 행렬 미분 방정식입니다. $C$는 방향코사인 행렬을 표현하는 $3\times 3$ 행렬입니다.
그런데, scipy를 포함해서 대부분의 수치적분기는 벡터 미분 방정식을 적분하도록 되어있어서, 행렬 미분 방정식은 직접 그 형태로 미분하지 못합니다. 그래서, 아래와 같이 미분 방정식을 정의할때
state가 $C$의 값을 9차원 배열로 가지고 있다고 가정합니다. 함수 정의 내부에서 이 9차원 배열을 가지고 위의 미분 방정식을 구현할수도 있지만, 미분 방정식 자체가 행렬로 구현되어있으므로,
다음과 같이, 9차원 배열을 다시 행렬로 구성하여
여기서 state는 9차원 배열이고, 이를 reshape 함수를 써서 $3\times 3$행렬로 만들었습니다.
그 다음 행렬 미분 방정식을 구성하기 위해, 다음과 같이 $[{\boldsymbol\omega}\times]$를 구성하고 난 후
wx = np.array([[ 0, -w3, w2],
[ w3, 0, -w1],
[-w2, w1, 0]])
dDCM_dt = -np.dot(wx,DCM)
함수는 다시 벡터를 돌려줘야 하므로, 다음과 같이 dDCM_dt를 9차원 배열로 바꾸었습니다.
(참고로 matlab 사용자를 위해서) matlab과 python에서 2차원 행렬의 1차원 index를 붙이는 순서가 다릅니다. 예를 들면,
A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
array([[1, 2, 3, 4, 5, 6]])
입니다. 즉 1행부터 시작해서 2행을 그 뒤에 붙입니다. 그런데 같은 행렬을 matlab에서 만들고 reshape(A,1,6)하면 [1 4 2 5 3 6]과 같이 1열부터 시작해서 2열을 붙이고, 3열을 붙이고 그리고 4열을 붙입니다.
참고로 python에서는 A[0] 하면 matlab에서 A(1)에 해당한다고 생각하여 1 이라고 생각하기 쉬운데, A[0]는 첫번째 행, [1,2,3] 입니다. A[1]은 두번째 행 [4,5,6]이고요.
그러면 두번째 열을 빼내고 싶으면 어찌해야 할까요. 그건 matlab에서와 비슷하게 A[:,1]하면 됩니다.
그런데 사실, 행렬을 1차원 배열로 바꾸고 그걸 다시 행렬로 바꿔서 연산을 할때 어느 형태로 변환되는지 굳이 알 필요는 없습니다. python에서 다 알아서 일관되게 바꿔줄것입니다.
단지, 구체적으로 몇행 몇열에 있는 값을 배열에서 찾을때는 그게 어떻게 전환되는지 알고 있어야 겠죠. 하지만, 위의 함수에서 처럼 원래 행렬이 배열로 바뀐 변수가 들어오고, 그걸 함수안에서 다시 행렬로 바꾸어 연산할때는 그냥 크기만 맞춰서 reshape 해주면 됩니다. 굳이 어느 값이 어디로 가는지 알 필요는 없습니다.
"# construct box" 부분은 직육면체 각 모서리를 100개의 점으로 표현하는 부분입니다.
3차원 그림 그리는 부분은 다음회에서 설명하도록 하겠습니다.
jacobvanloon
andulkaphoto
theartofmadeline
annaxmalina
snowghoul
baratheonpilled
germansingergirl
kianamaiart
dailybridgerton
tangentwithtanner