La casualità in una algoritmo matematico frattale
Cosa sono i frattali, come si generano e alcuni esempi in natura. Forme che si ripetono continuamente creando disegni affascinanti, scopriamo insieme cosa sono i frattali e cosa ci dice la matematica a riguardo! Vi è mai capitato di osservare qualcosa in natura e rimanere meravigliati dalla straordinaria ricorrenza di forme geometriche che si ripetono all’infinito? Se la risposta è “ovvio che sì” allora molto probabilmente stavate guardando una frattale. Un frattale è una figura geometrica che, grazie a una sua particolare caratteristica, si ripete all’infinito, sempre con la stessa forma, ma sempre più rimpicciolita nelle sue dimensioni. In questo articolo vediamo come funzionano e quali sono i più famosi esempi di frattali in natura.
Cos’è un frattale e a cosa serve Quando abbiamo a che fare con una figura geometrica frattale abbiamo una struttura che ripropone continuamente se stessa, in tutti i suoi dettagli. I frattali – che si incontrano nello studio dei sistemi dinamici e che vengono descritti da funzioni ricorsive – danno la possibilità di affrontare problemi che la matematica tradizionale faceva fatica a comprendere e risolvere, con la scoperta del loro funzionamento si è iniziato a descrivere l'architettura geometrica che spesso si riproduce nella natura. A formalizzare per la prima volta le proprietà dei frattali fu il matematico polacco e naturalizzato francese Benoit Mandelbrot, ma anche altri matematici del secolo scorso come Hilbert o Cantor ne descrissero le strutture. Si considera frattale una figura che gode delle seguenti proprietà: - Autosimilarità: il frattale è unione di copie di se stesso a scale differenti; - Struttura fine: le strutture ripetute più ampie, mostrano i dettagli di quelle più piccole; - Dimensione non intera: anche se possiamo rappresentare un frattale in un piano o in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la sua dimensione non è intera ma frazionaria. Che vuol dire dimensione frazionaria? Scopriamolo indagando come funzionano i frattali. Come funzionano i frattali La proprietà che caratterizza i frattali è la cosiddetta “dimensione frazionaria” che si oppone a quella intera, tipica delle figure piane e dei solidi della geometria euclidea (come triangoli, quadrati, rettangoli, parallelepipedi, cilindri ecc..). Partiamo da “dimensione” sappiamo che, in geometria, si dice che un segmento ha una sola dimensione, un piano da due dimensioni, mentre un solido ne ha tre. Come si aggiunge il concetto di “frazionaria”? Facciamo un esempio per spiegare concretamente questo concetto che può sembrare astratto. Prendiamo un segmento, un quadrato e un cubo e cerchiamo di suddividerli in parti che siano identiche tra loro, proprio come accade nei frattali. Per ogni esempio chiameremo N il numero di parti identiche che avremo realizzato.
Per il segmento basterà dividerlo a metà e otterremo due parti identiche tra loro. In questo caso quindi N=2. Per il quadrato sarà necessario dividerlo in quattro parti, quattro quadrati identici, ognuno sarà un quarto del quadrato iniziale. N=4. Infine per il cubo sarà necessario dividerlo in otto cubi diversi, ognuno sarà un ottavo del cubo iniziale, N=8. Osservando i tre numeri che abbiamo ottenuto è possibile vedere che ogni volta N è uguale a 2 elevato al numero delle dimensioni della figura, 21 nel caso del segmento, 22 nel caso del quadrato e 23 nel caso del cubo. Ecco, un frattale funziona più o meno così: si parte da una figura nella sua totalità e continuamente si riproduce una struttura che la replichi, per farlo la si suddivide in un numero di parti che corrisponde a una potenza e tutte le parti sono sempre uguali tra loro. Esempi di frattali famosi Esistono alcune tipologie di frattale che sono diventate particolarmente note e possono aiutarci a chiarire ulteriormente il concetto. Il fiocco di neve di von Koch In questo caso partiamo da un triangolo isoscele o equilatero (il triangolo equilatero altro non è che un caso particolare di triangolo isoscele). Questa figura viene divisa in modo tale che ogni lato sia composto da tre segmenti uguali e, successivamente, si sostituisce il segmento centrale con due segmenti della stessa lunghezza.
Se ripetiamo più volte queste due azioni ecco che vedremo prendere forma il nostro fiocco di neve. Il triangolo di Sierpinski Anche questa volta prendiamo un triangolo isoscele, ma lo dividiamo in quattro parti uguali: quattro triangoli più piccoli e poi eliminiamo quello centrale “rovesciato”.
Ripetiamo questa stessa operazione più volte: ecco il frattale che stavamo cercando. Altri frattali famosi connessi alla dinamica complessa Esistono almeno altri due frattali molto celebri la cui struttura si costruisce sulla base di teorie matematiche che contemplano i numeri complessi. In questa sede li mostriamo specialmente per il valore artistico e il fascino che portano con sé. Sono i frattali di Mandelbrot e di Gaston Maurice Julia. Le raffigurazioni qui sotto sono prodotte tramite l'uso di software dedicati al loro disegno.
in foto: Credits: a sinistra Created by Wolfgang Beyer with the program Ultra Fractal 3, CC BY–SA 3.0. Frattali in natura Verso la fine del secolo scorso si sono moltiplicati gli studi sui cosiddetti “frattali biomorfi” ovvero quelli che ricordano oggetti in natura. Uno di questi è il frattale della foglia di felce, che somiglia straordinariamente a quella vera.
in foto: Credits: a sinistra Farry, CC0, a destra Sanjay ach, CC BY–SA 3.0. Altro elemento naturale in cui spesso vengono riconosciuti i frattali è il cavolfiore romano! Anche in questo caso la medesima struttura si replica in ognuna delle punte con regolarità,
Moltissime sono le altre figure in cui la natura sembra replicare vere e proprie strutture matematiche, non è un caso che Galileo Galilei sosteneva che il libro della natura fosse scritto con il linguaggio della matematica. Read the full article