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Zahlensysteme

Ein Zahlensystem mit der Basis 32? Äh, welche Basis?

Kleiner Ausflug in Wissen das man nicht zu brauchen glaubt und doch jeden Tag nutzt.

Oder: warum in der Matrix Hieroglyphen zu sehen sind.

  Einleitung: Dezimalsystem

Was die meisten von uns ja schon wieder aus der Schulzeit vergessen haben: unser Dezimalsystem ist ein Zahlensystem mit der Basis 10. Wir kennen alle noch die Bezeichnung der Stellen (10’er, 100’er, 1000’er, …). Aber wie kommt das zustande? Durch Basis und Exponent im Stellenwertsystem. Die erste Stelle hat den Wert 10⁰. Das ergibt per Definition den Wert 1. Die zweite Stelle hat den Wert 10¹, das ergibt 10. Die dritte Stelle 10² ( = 10*10 = 100 ), die vierte 10³ ( = 10 * 10 * 10 = 1000 ) und immer so weiter. Bei den Nachkommastellen geht es genau so, nur mit negativen Exponenten. Die erste Nachkommastelle mit 10⁻¹ ergibt 0,1. Die zweite mit 10⁻² dann 0,01 und immer so weiter.

Das ergibt den Wert der Stelle. Wie oft dieser Wert zählt wird durch die Zahlzeichen bestimmt (das was wir landläufig Zahlen nennen). In unserem Dezimalsystem sind das die Zeichen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, und 9. Streng genommen muss man hier nämlich unterscheiden: Die Potenz bestimmt den Wert einer Stelle, die Zeichen bestimmen wie oft die Stelle zählt, und die Summe aller gezählten Stellen ergibt die Zahl. Verwirrend ist das weil 0-9 auch die ersten Zahlen sind. Das sind die Zahlen die sich mit nur einer Stelle im Dezimalsystem darstellen lassen. Für die 10 brauchen wir schon zwei Stellen.

Beispiel:

2111 = (2 * 10³) + (1 * 10²) + (1 * 10¹) + (1 * 10⁰) = 2000 + 100 + 10 + 1 = 2111

So weit so überflüssig könnte man meinen. Ist es aber nicht. Warum sollte man jetzt ein Zahlensystem entwerfen das eine andere Basis als die Zehn hat? Anders gefragt, warum sollte man nicht ein komplett anderes Zahlensystem entwerfen, und warum benutzen wir überhaupt dieses? Ja, es gibt andere. Nicht nur andere Stellenwertsysteme, auch sogenannten Additionssysteme. Die römischen Zahlen zum Beispiel. Wer dazu noch mehr sehen möchte findet dies unter KnowHow: Zahlen.

Herleitung: Base32

Nur so viel sei gesagt: die binären (0 und 1) im Computer sind ein duales Zahlensystem. Und wenn man heutzutage auf einem Computer einen Salat aus Buchstaben und Zahlen sieht, dann handelt es mit hoher Wahrscheinlichkeit um das hexadezimale System. Das nutzt nämlich die Basis 16. Wegen der Basis 16 kann man mit einer Stelle schon die Werte 0-15 abbilden. Um das tun zu können braucht man aber Zeichen, Zahlzeichen, genau wie im dezimalen System. Damit die Menschen sich nicht zu sehr umgewöhnen müssen, hat man dafür folgende verwendet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Dabei hat das A den Wert 10, B = 11, C = 12, D = 13, E =14 und F = 15. Während die erste Stelle im hexadezimalen System genau wie im dezimalen den Wert 1 hat (wegen 16⁰), hat die zweite Stelle aber schon den Wert 16 (16¹) und die dritte den Wert 256 (16²). Das bedeutet eine „10“ im hexadezimalen System hat den Wert (1 * 16¹) + (0 * 16⁰) = 16. Eine „100“ hat den Wert (1 * 16²) + (0 * 16¹) + (0 * 16⁰) = 256.

Wo der Vorteil liegt? Nun, im hexadezimalen System kann man größere Zahlen mit weniger Stellen abbilden. Im dezimalen kann eine Stelle von 0-9 und zwei Stellen von 0-99. Im hexadezimalen System kann eine Stelle von 0-15 und zwei Stellen können von 0-255. Wenn ich die Zahl 250 darstellen möchte habe ich hexadezimalen also schon eine Stelle gespart. Bei größeren Zahlen entsprechend (exponentiell).

Wenn man jetzt ein System entwirft das mit der Basis 32 arbeitet (nennen wir es „unser 32’er“), hat man den Vorteil noch einmal erhöht. Dann kann die erste Stelle schon von 0-31 und zwei Stellen können von 0-1023. Also wenn ich eine 1020 darstellen möchte habe ich schon zwei Stellen gespart. Für die Zahlzeichen nutze ich einfach wieder das Alphabet: die Buchstaben A – V mit den Werten 10 – 31. Eine 100 wäre dann (1 * 32²) + (0 * 32¹) + (0 * 32⁰) = 1024 + 0 + 0 = 1024. Eine 10 wäre (1 * 32¹) + (0 * 32⁰) = 32 und eine 1V wäre (1 * 32¹) + (31 * 32⁰) = 32 + 31 = 63. Cool? Irgendwie schon ein bisschen, aber das beste kommt noch.

Ausblick: Hieroglyphen und Aliens

Und genau hier kommt der Haken mit dem Clou ins Spiel: rein theoretisch kann ich beliebige Zeichen für die Zahlzeichen verwenden. Ich könnte genau so gut alt-germanische Runen für die Zahlzeichen nehmen. Im alten Futhark gibt es immerhin 24 Stück, also kann ich statt A – V auch Runen verwenden und komme mit 0-9 wieder auf genug Zeichen für mein 32’er System. Oder ich nehme nur die Runen und verwende die 24 als Basis. Was dabei raus kommt? Kryptische Zeichen auf dem Bildschirm, wie in der Matrix.

Auch erfundene Zahlensysteme sind also kein Hexenwerk. Jeder kann sich sein eigenes System ausdenken. Ihr wollt ein eigenes System für eure eigene kleine Fantasie-Welt? Oder eine eigene Alien-Rasse entwerfen die auf ihre eigene Art zählt? Kleiner Tipp: die Aliens in dem Film „Avatar“ (die Na’vi) zählen im octalen Zahlensystem.

Zurück zu Erde

Zu abgehoben geworden? Nun, was das alles mit uns und unserem Alltag zu tun hat ist einfach: Das die Na’vi in Avatar octal zählen macht deswegen Sinn, weil sie an jeder Hand vier Finger haben. Und jetzt wissen wir vermutlich auch warum wir Erdlinge im Dezimalsystem zählen … 😉

Wer so ein Zahlensystem mit der Basis 32 mal ausprobieren möchte kann das unter Tools: Zahlen tun. Dort findet sich auch das duale, das octale und das römische Zahlensystem.

2017 in römischen Ziffern? MMXVII.

2017 Dual: 11111100001

2017 Octal: 3741

2017 Hexadezimal: 7E1

2017 Base32: 1V1

Lust bekommen?

Viel Spaß beim ausprobieren!

KnoHow: Zahlen

Tools: Zahlen

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[tipps-tricks-kniffe]

Neben den am häufigsten verwendeten Dezimalzahlen gibt es einige weitere Zahlensysteme, die für die unterschiedlichsten Einsatzgebiete wichtig sind, etwa das Binär-, Oktal- oder Hexadezimal-System. Im Computerbereich ist zum Beispiel das Binärsystem wichtig, das nur aus den Ziffern 0 und 1 besteht. Wer häufiger Zahlen von einem in ein anderes Zahlensystem umwandeln muss, kann dafür Excels umfangreiche Konvertierungsfunktionen verwenden.

[fachinformatikerausbildung]

Umrechnen - dezimal in dual/binär

Eine kurze Analyse unseres dezimalen Zahlensystems: Eine Zahl besteht aus den Ziffern 0 bis 9, die nach ihrer Wertigkeit Stellen in der Zahl zugewiesen bekommen. Diese Wertigkeit ist von rechts nach links aufsteigend. Bei der Zahl 6348 hat also die 6 aufgrund ihrer Position in der Zahl einen wesentlich höheren Wert als die Zahl 8. Wir sind es gewohnt, in "Zehner", "Hunderter" und "Tausender" Stelle zu denken - diese Stellen kann man als Multiplikatoren verstehen, die auf die Zahl angewendet werden. Das obige Beispiel ist also vom Ergebnis identisch zu

(6*1000)+(3*100)+(4*10)+(8*1)

. Mit jeder Stelle, die wir weiter nach links rücken, erhält die Stelle einen zehnmal höheren Wert. Technisch ausgedrückt: Jede weitere Stelle erhöht den Multiplikator um einen Faktor entsprechend der Basis des Zahlensystems. Zum binären (dualen) System: Binäre Zahlen funktionieren genauso, es gibt nur weniger Werte, die jede Stelle annehmen kann. Wie unsere gewohnten Dezimalen Zahlen auch haben sie ganz rechts die Stelle mit der geringsten Wertigkeit (0 oder 1), die sich mit jedem Schritt nach links verdoppelt (die Basis des Zahlensystems ist schließlich 2). Die Stelle mit der geringsten Wertigkeit wird deshalb auch als LSB (least significant bit = binäre Zahlenstelle mit geringster Bedeutung) bezeichnet. Demgegenüber steht das MSB (most significant bit), das natürlich die höchste Wertigkeit innerhalb dieser Zahl hat. Die Wertigkeit der Stellen ist also z.B. 16 8 4 2 1, in einer Zahl mit 5 Bit. Die binäre Zahl 10110 (entspricht dezimal 22) hat demnach den Wert

(1*16)+(0*8)+(1*4)+(1*2)+(0*1)

Die Umrechnung von dezimal in binär: Ich bin vor ein paar Tagen auf eine unheimlich schöne Methode gestossen, dezimale Zahlen in binäre Zahlen umzurechnen. Wir erinnern uns hoffentlich alle aus der Grundschule noch an Divisionen mit Rest. Wenn ich z.B. die Zahl 7 durch 3 teile, dann erhalte ich das Ergebnis 2 mit einem Rest von 1. Wenn ich nun eine Zahl in binär ausdrücken möchte, dann kann ich sie einfach immer wieder durch 2 (Basis des binären Zahlensystems) teilen. Der Rest ist von LSB nach MSB meine binäre Zahl. Beispiel: Ich möchte die Zahl 43 in binär ausdrücken. 43 / 2 = 21 Rest 1 21 / 2 = 10 Rest 1 10 / 2 = 5 Rest 0 5 / 2 = 2 Rest 1 2 / 2 = 1 Rest 0 1 / 2 = 0 Rest 1 Die Zahl lautet daher 101011 (weil wir die geringwertigste Stelle zuerst berechnet haben und von dort nach links wandern). Noch ein Beispiel, diesmal die Zahl 12: 12 / 2 = 6 Rest 0 6 / 2 = 3 Rest 0 3 / 2 = 1 Rest 1 1 / 2 = 0 Rest 1 Die Dezimalzahl 12 sieht also in Binär so aus: 1100