Tenseurs et métriques (suite)
Maintenant que nous en savons un peu plus au sujet des tenseurs, voyons comment ils sont utilisés dans la théorie de la relativité générale. Mais il nous faut tout d’abord parler de dérivée covariante…
Transport parallèle et dérivée covariante
En mécanique classique, tout comme dans le cadre de la relativité restreinte, un corps qui n’est soumis à aucune force extérieure se déplace en ligne droite avec une vitesse constante. Bien évidemment ce principe simple ne peut plus s’appliquer tel quel dans un espace courbe. On lui substitue la notion de transport parallèle. A la base, on part du même principe. Lors d’un déplacement infinitésimal dans un espace courbe, la vitesse d’un corps qui n’est soumis à aucune force extérieure doit rester parallèle à elle-même. Mais ce qui est trivial dans un monde euclidien (le vecteur vitesse reste toujours parallèle à lui-même tout au long du déplacement) ne l’est plus dans un espace courbe.
Prenons un exemple beaucoup plus général que celui de notre vecteur vitesse. Prenons par exemple un vecteur quelconque et déplaçons-le au long d’une courbe tout en conservant sa direction. Pour faire simple, nous allons choisir un triangle. Si on fait parcourir le triangle à ce vecteur il revient au point de départ dans la même direction que celle qu’il avait à l’origine.
Supposons maintenant que nous sommes dans un espace courbe : la surface d’une sphère par exemple. Le triangle que nous allons parcourir part d’un point de l’équateur, remonte au long d’un méridien jusqu’au pôle (disons le méridien 0 heure pour fixer les idées), puis redescend vers l’équateur en suivent un autre méridien (le méridien 6 heures fera l’affaire). Parvenu à l’équateur, nous reviendrons à notre point de départ. Nous avons bien parcouru un triangle sur cette sphère en n’empruntant que des grands cercles et en faisant des changements de direction francs. Tout au long de cette randonnée nous nous baladons bien sûr avec notre vecteur-témoins. Au départ, il pointe droit vers le pôle Nord et garde cette direction jusqu’à ce que nous soyons arrivés au pôle. Parvenus à ce point, nous faisons un quart de tour à gauche avant de redescendre vers le Sud. Cette fois, le vecteur, dont nous n’avons pas changé la direction, pointera vers notre droite : vers l’Ouest. Arrivés à l’équateur, nouveau quart de tour à gauche. Le vecteur pointe toujours vers l’Ouest. Revenus à notre point de départ… le vecteur n’est plus du tout dans la même direction ! Ce que nous avons fait n’est rien d’autre qu’un transport parallèle de notre vecteur tout au long de notre trajet. Mais le résultat à l’arrivée est tout à fait différent de celui auquel on s’attendait intuitivement.
On comprend pourquoi cette notion de transport parallèle est tout à fait centrale dès lors que l’on veut étudier la trajectoire d’un corps dans un espace courbe. Il n’est plus possible de s’en remettre à la définition conventionnelle de la dérivée pour calculer la vitesse. La quantité qui respecte les conditions du transport parallèle s’appelle la dérivée covariante.
La dérivée covariante permet de s’affranchir des effets de la courbure pour déterminer l’évolution intrinsèque d’un vecteur tangent à une géodésique. Elle est notée Nablai , i étant l’indice du vecteur unitaire dans l’axe duquel on effectue cette dérivation. La formule permettant de déterminer la dérivée covariante fait intervenir les symboles de Christoffel Gammakij. On aboutit à cette formule en recherchant la dérivée covariante des vecteurs unitaires de la base de l’espace courbe considéré : par définition ils sont transportés parallèlement à eux-mêmes.
Ceci permet de déterminer la valeur des symboles de Christoffel à partir des composants de la métrique :
La formule générale de la dérivée covariante s’écrit de la manière suivante :
Notons que, par définition, la dérivée covariante du tenseur métrique est nulle :
Equation des géodésiques
Comme nous l’avons indiqué dans le post précédent, elle s’obtient en recherchant la courbe de longueur minimum entre deux points. On résout ce problème en appliquant le théorème d’Euler-Lagrange. Soit la fonction s définie comme suit :
s_point étant la dérivée de s par rapport au paramètre tau. On peut écrire :
Le théorème d’Euler-Lagrange permet de trouver aisément la trajectoire qui minimise la quantité L. Elle est telle que :
Si l’on choisit tau tel que tau = s cette équation se simplifie et on parvient après quelques développements supplémentaires à l’équation des géodésiques :
Tenseur de Riemann, tenseur de Ricci et courbure scalaire
La formule qui donne les composants du tenseur de Riemann est relativement complexe, nous la mentionnerons sans chercher à la démontrer :
Le tenseur de Ricci s’obtient par abaissement d’indice du tenseur de Riemann :
Sur le plan mathématique, le tenseur de Ricci est le laplacien du tenseur métrique. Le laplacien est un opérateur (noté Delta) construit à partir des opérateurs divergence et gradient :
La courbure scalaire R est la trace du tenseur de Ricci relativement à la métrique:
La courbure scalaire et le tenseur de Ricci interviennent tous deux dans l’équation d’Einstein de la relativité générale.
Remarque
La dérivée simple et la dérivée covariante sont souvent notées de la manière suivante :
La présence d’une virgule est la marque d’une dérivée simple, celle d’un point-virgule d’une dérivée covariante.
Pour en savoir plus :
post sur les espaces courbes
post d’introduction aux tenseurs
post sur les vecteurs de Killing
post sur le trajectoire dans la métrique de Schwarzschild
post sur la trajectoire dans la métrique de Kerr
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