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Ok. Ok listen. During a Dawn Front fight against Tyr, Louie and Chloris team up. Through some blood curse and True King fuckery they accidentally jump back in time 30 years or so before the events of SN and Chloris gets Elf Pregonate after he helps Louie with his grief over Lunar so Zoey and Noether pop out and -
If there was a ever a woman worth simping for, it was Emmy Noether
She worked out a kink in general relativity and kickstarted the field of abstract algebra
Chung, Lovelace, Haas, Mirzakhani, Vaughan, Pipher, Falconer, Browne, Uhlenbeck, Darden, Kovalevsky, Koch, Quinn, Noether, Kent, Lauter, Germain, Johnson, Haunsperger, Riehl, Hamilton, Radunskaya, ...
Happy Mother's Day to some of the mothers of mathematics: the women today and throughout history whose work, socially and mathematically, has diminished the role gender has in determining which opportunities will be afforded a young person interested in mathematics.
There's work still to be done but we have models in these and so many other women mathematicians. These are women who have passed on a legacy of mathematics instead of genetics, but I think today is a fine day to honor them anyway.
When you're in the mood -- a sketch of Emmy Neother?
Emmy Noether (23 March 1882, Erlangen Germany - 14 April 1935, Bryn Mawr, Pennsylvania): A Jewish woman mathematician who shaped the fields of modern abstract algebra and algebraic topology, while also contributing a significant theorem for theoretical physics.
She has been proclaimed as one of the greatest women mathematicians, but I believe that to be an understatement: she was one of the greatest mathematicians period. Her impact on modern mathematics cannot easily be overstated as she did not only prove important results but shaped the way we look at these algebraic structures and topological invariants. Perhaps I am a bit biased because I went to undergrad at Bryn Mawr College where she taught for the last two years of her life, but I also remember during a full day seminar on topology held at the school, we took a trip with the visiting mathematicians to her grave on campus.
I am planning to name my first cat after her, and I highly suggest reading more into her life, which was shaped both by misogyny and antisemitism. These sources provide a nice starting point: Anges Scott Collge, UC San Diego, Britannica. Moreover, while I usually do not recommend wikipedia articles on mathematics for their propensity to be overly technical, her wikipedia article does a good job explaining her contributions to mathematics in a way that is approachable.
Algèbre de Lie
Une algèbre de Lie de dimension n est un espace vectoriel L de dimension n muni d’une application bilinéaire [ . , . ] :
qui a les propriétés suivantes :
Cette application est appelée crochet de Lie.
Soient ea les éléments d’une base de L. Le crochet de Lie appliqué à ces éléments se décompose dans cette base de la manière suivante :
Les coefficients fcab sont appelés constantes de structure de l’algèbre de Lie L. Ces constantes de structure définissent complètement l’algèbre de Lie considérée.
Algèbre de Lie d’un groupe de Lie
Soit un groupe de Lie G tel que ceux définis dans le post sur les groupes de Lie. On définit la notion de chemin sur ce groupe de la manière suivante. Un chemin est une application différentiable du segment [-1 1] sur ce groupe :
la valeur t = 0 correspondant à la matrice identité Id (l’élément neutre du groupe).
C étant différentiable on peut définir la dérivée de g(t) à l’origine :
On démontre que l’ensemble de toutes les matrices m obtenues par dérivation sur tous les chemins passant par l’application Id est une algèbre de Lie. C’est l’algèbre de Lie du groupe de Lie G. Elle est notée Lie(G).
Espace tangent au groupe de Lie
Revenons à la définition des matrices m ci-dessus. Lorsque t est petit, on peut la réécrire de la manière suivante :
Cette équation explique pourquoi on donne aussi à Lie(G) le nom d’espace tangent à l’élément neutre du groupe G.
Représentation exponentielle et générateurs de G
Parmi tous les chemins associés à un même élément m de Lie(G), il en est un (et un seul) qui a la propriété suivante :
Sur ce chemin, l’équation suivante est vérifiée :
Ce qui permet d’écrire :
Les éléments de toute base de Lie(G) sont appelés générateurs du groupe G. Il est en effet facile de générer à partir de ces éléments l’action d’un élément de G appartenant au voisinage de l’élément neutre.
Algèbre de Lie du groupe SO(3)
Les matrices R du groupe SO(3) peuvent s’écrire de la manière suivante :
Les matrices réelles antisymétriques GU sont les générateurs des matrices RU.
L’ensemble so(3) des matrices réelles antisymétriques GU est l’algèbre de Lie du groupe de Lie SO(3) :
Comme on peut le voir, il y a bijection entre les vecteurs U et les matrices GU. L’ensemble so(3) est isomorphe à R3.
On remarquera par ailleurs que la matrice GU est aussi celle qui est associée au produit vectoriel dans R3 :
Il en découle les relations suivantes sur les générateurs associés aux rotations autour des 3 axes principaux :
Cette relation est celle qui définit les constantes de structure de so(3).
Remarque : En physique quantique, on utilise plutôt la notation :
Les matrices Lx, Ly, Lz associées aux rotations autour des axes Ox, Oy et Oz vérifient les relations :
Algèbre de Lie du groupe SU(2)
Tout élément de SU(2) peut s’écrire :
avec :
Les matrices antihermitiennes de trace nulle G_tilde sont donc les générateurs des matrices M du groupe de Lie SU(2). L’ensemble des matrices antihermitiennes de trace nulle G_tilde est l’algèbre de Lie du groupe SU(2) :
Les matrices de Pauli sigmax, sigmay, sigmaz forment une base de su(2) :
A toute matrice G_tilde on peut donc faire correspondre un vecteur U de R3. L'algèbre de Lie su(2) est donc isomorphe à R3.
Remarque : les matrices de Pauli respectent les mêmes relations de commutation que les matrices Gx, Gy et Gz définie au paragraphe précèdent. Les algèbres su(2) et so(3) ont les mêmes constantes de structure : on dit qu’elles présentent un isomorphisme d’algèbre.
Intéressons nous maintenant la matrice générée à partir de G_tilde(U). On peut écrire cette matrice M(U) sous la forme :
avec :
Rappelons que toute matrice de SU(2) peut aussi s’écrire sous la forme :
Il vient pour les composantes de M(U) :
Toute matrice du groupe SU(2) peut s’écrire à partir d’un vecteur unitaire u et d’un angle theta. C’est un résultat qui ne nous étonnera pas : nous l’avions déjà signalé au chapitre sur les groupes de Lie.
On notera une particularité des matrices de SU(2). L’angle theta utilisé pour exprimer les matrices M(u, theta) peut prendre ses valeurs entre 0 et 4pi. Il en découle les relatons suivantes :
Une rotation de 360 degrés transforme M(u, theta) en son inverse. Il faut effectuer une rotation de 720 degrés pour revenir à la matrice initiale.
Algèbre de Lie et mécanique quantique
Les groupes et algèbres de Lie sont au cœur du formalisme utilisé en mécanique quantique. En physique, les relations d’invariance sont souvent associées à des symétries (théorème de Noether). Mathématiquement, les symétries présentent souvent une structure de groupe. Lorsque celui-ci est continu et dérivable, on a affaire à un groupe de Lie. La recherche des générateurs associés permet alors de définir une observable invariante dans toute symétrie de ce groupe (théorème d’Erhenfest).
Le groupe de Lie SU(2) a de nombreuses applications en physique : il est associé à la symétrie de rotation dans l’espace. Les équations d’un système ne changent pas si l’on opère une simple rotation du référentiel de coordonnées. En physique classique, cette symétrie se traduit par la conservation du moment cinétique. En mécanique quantique, il permet de construire une théorie complète du spin. Mais il faut pour cela définir un nouveau type de champ : le champ spinoriel.
Pour en savoir plus :
posts sur les groupes et algèbres de Lie
post sur les espaces vectoriels et les groupes de Lie
post sur les spineurs
post sur le théorème de Noether
groupes et algèbres de Lie sur Internet
index
Lurking behind Einstein’s theory of gravity and our modern understanding of particle physics is the deceptively simple idea of symmetry. But physicists are beginning to question whether focusing on symmetry is still as productive as it once was.
Emmy Noether looks like she would give good hugs. From now on, whenever I experience misogyny in math and academia, I will imagine that Emmy Noether is giving me a hug, and maybe I will be okay.
