#türev

[souvlia]

We have about enough time to master the derivatives (in turkish obvi) until the new Xanthus ep comes out. I highly recommend you don't miss it (but just so you know, I don't give this kind of good advice to everyone).

[kelimesendromu]

Mutsuzluğun türevinin integralini alsalar herkes mutlu aslında.

[wozwaldllik]

Türev

Diyelim ki yüksek bir köprüden aşağıya bir taş atıyoruz. Newton’un kütleçekim kanununa göre taş düşecektir. Taş dünya tarafından çekilmektedir ve her an biraz daha hızlanarak düşer. Taşın belirli bir zaman sonra, sözgelimi bırakıldıktan tam 3 saniye sonraki hızı nedir? Bunu nasıl hesaplayabiliriz? Ortalama hızı bulabiliriz elbette ama bizim istediğimiz anlık hızdır. Eğer düştüğü ekstra mesafeyi ekstra zamana bölersek bu kısa zaman dilimindeki ortalama hızını bulmuş oluruz. Bu zaman dilimini ne kadar kısa tutarsak taşı durdurduğumuz andaki anlık hızına o kadar yaklaşmış oluruz. Kalkülüsün altında yatan ana fikir bu limitleme işlemidir.

Ekstra süreyi sıfır yapmak geçebilir aklınızdan. Ama o zaman taş hiç ilerleyemez. Bu durumda ortalama hız 0/0 olur ki İrlandalı filozof Bishop Berkeley’in sözleriyle ifade edersek bu “geçmiş niteliklerin hayaletleri”nden başka bir şey değildir. Bu bölme işlemi hesaplanamaz, hatta anlamsızdır.

Daha ileri gidebilmek için bazı simgelere ihtiyacımız var. Düşme mesafesi y ile geçen süre X arasındaki ilişki Galileo tarafından şöyle ifade edilmiştir:

                                  y = 5 x X^2

 Buradaki 5 çarpanı ölçüm birimlerinin metre ve saniye olarak alınmasından kaynaklanır. Eğer taşın 3 saniyede ne kadar düştüğünü merak edersek X = 3 yazarak y = 5 x 3^2 = 45 metre olduğunu hesaplayabiliriz. Peki ama X = 3 iken taşın hızı ne kadardır?

 Şimdi taşın yarım saniyelik bir sürede, 3 ile 3,5 saniyeleri arasında ne kadar düştüğünü hesaplayalım. 3,5 saniye geçtiğinde taş toplam y = 5 x 3,5^2 = 61,25 metre düşmüştür. Dolayısıyla 3. ve 3,5. saniyeler arasında 61,25 – 45 = 16,25 metre düşer. Hız demek yol bölü zaman demek olduğundan ortalama hız 16,25 / 0,5 = 32,5 m/s olur. Bu sayı X = 3’teki anlık hıza yakın olsa gerek. Aynı hesapları daha kısa bir zaman dilimi için, örneğin 0,05 saniye için tekrarlayabiliriz. O zamanda taşın düşmesi 1,5125 m ve ortalama hızı 1,5125 / 0,05 = 30,25 m/s olur. Bu sayı taşın tam 3. saniyedeki hızına daha yakın olmalı.

 Artık meseleyi kökünden çözmek için x saniye ile x + h saniye arasındaki ortalama hızı hesaplamalıyız. Bir iki aritmetik işlemden sonra bunun

                          5 x (2x) + 5 x h

olduğunu görürüz. 0,5’i 0,05’le değiştirirken yaptığımız gibi h’yi küçülttükçe ilk terimin etkilenmediğini (çünkü içinde h yok), ikinci terimin ise gittikçe küçüldüğünü görüyoruz. Buradan çıkaracağımız sonuç:

                          v = 5 x (2x)

Burada v, x anındaki anlık hızdır. Örneğin taşın bir saniye sonraki anlık hızı       (x = 1 iken)

5 x (2 x 1) = 10 m/s olur.

 Eğer Galileo’nun uzaklık formülü y = 5 x x^2 ile v = 5 x (2x) formülünü karşılaştıracak olursak, temel fark x^2’nin 2x’e dönüşmüş olmasıdır. u = x^2 ifadesinden u =2x ifadesine geçiş, türev almanın etkisidir. Newton, u = 2x ifadesini elde etmeye “akı” ve x değişkenine de “akan” adını vermiş, çünkü bunları akan nicelikler olarak kafasında canlandırmıştı. Günümüzde genelde u = x^2, türevini ise du/dx = 2x olarak yazarız. Leibniz tarafından geliştirilen bu gösterim, kullanım açısından d harfinin Newton’un noktalı gösterimine baskınlığının örneklerinden birdir.

     Tony Crilly, Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri

[goklerdengelenbirkarar]

Herkese iyi geceler geceler sana trigonometrik fonksiyonların türevi

[leonardovinci]

Hayaller rasyonel sayı, hayatlar trigonometrik fonksiyonların türevi.

[byphc-blog]

Hayaller rasyonel sayılar gerçekler ters trigonometrik fonksiyonun türevi

[wozwaldllik]

Kalkülüs

Kalkülüs, sözcük anlamı olarak hesaplama demektir. Uygulama alanı o kadar geniştir ki, bir bilim insanının, mühendisin veya ekonomistin kalkülüsle hiç karşılaşmamış olması çok nadirdir. Tarihsel olarak 17. Yüzyılda Isaac Newton ve Gottfied Leibniz öncülüğünde geliştirilmiştir. Çalışmalarının benzerliğinden dolayı kalkülüsü hangisinin keşfettiği uzun tartışmalara yol açmıştır. Bu iki bilim insanının, kalkülüsü keşfederken kullandıkları yöntem farklıydı.

O günden bu yana kalkülüs sürekli genişleyen bir alan oldu. Her bir nesil bir sonrakine daha fazla tekniği miras bıraktıkça konu üzerine olan ders kitaplarının kalınlığı da arttı. Ama tüm bu eklemelerden bağımsız olarak, Newton ve Leibniz’in kurduğu şekliyle kalkülüsün ikiz kuleleri diyebileceğimiz iki temel konusu türev ve integraldir. Bu iki terim Leibniz’in differentialis (farklarını alma veya “parçalara ayırma”) ve integralis (parçaların bütünü veya “birleştirme”) sözcüklerinden gelir.

Teknik dilde türev değişim, integral ise alanın ölçümüyle ilgilidir. Fakat kalkülüs tacının pırlantası, bu ikisinin bir madalyonun iki yüzü gibi olmasıdır: Türev ve integral birbirinin tersidir.

Kalkülüs olmasaydı ne yörüngede dolaşan uydular olurdu, ne ekonomi kuramı, ne de bildiğimiz anlamıyla istatistik. Değişimin olduğu her yerde karşımıza kalkülüs çıkar.

       Tony Crilly, Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri

[huzun1u-b1r-sask1n]

Türev neden bu kadar zor ? Tamam anlıyorum en çok ilgiyi sen istiyorsun tamam ama yani bu kadar da karmaşık olunmaz ya. Yazık değil mi bize