Teleskooppikonjektuuri
Teleskooppikonjektuuri
Teleskooppikonjektuuri antoi matemaatikoille otteen siitä, miten palloja voi yhdistää toisiinsa. Nyt kun se on osoitettu vääräksi, muotojen universumi on räjähtänyt.
Kesäkuun alussa pöhinä kasvoi, kun matemaatikot laskeutuivat Lontoon Heathrow’n lentokentälle. Heidän määränpäänsä oli Oxfordin yliopisto ja konferenssi, joka järjestettiin Michael Hopkinsin 65-vuotispäivän kunniaksi. Hopkins on Harvardin yliopiston matemaatikko, joka oli toiminut monien osallistujien mentorina.
Hopkins teki itseään tunnetuksi 1980-luvun lopulla työskennellessään seitsemän konjektuurin parissa, jotka Doug Ravenel Rochesterin yliopistosta oli muotoillut kymmenen vuotta aiemmin. Ne liittyivät tekniikoihin, joilla määritetään, milloin kaksi muotoa tai avaruutta, jotka saattavat näyttää erilaisilta, ovatkin todellisuudessa samoja. Hopkins ja hänen työtoverinsa todistivat kaikki Ravenelin konjektuurit yhtä lukuun ottamatta, ongelmaa, jolla on vihjaileva mutta salaperäinen nimi, teleskooppikonjektuuri.
Samuel Velasco/Quanta Magazine
Tuolloin Hopkins jätti Ravenelin otaksumat rauhaan. Vuosikymmeniä sen jälkeen teleskooppikonjektuurin ratkaiseminen tuntui lähes mahdottomalta.
”Et voisi koskea tuollaiseen lauseeseen”, Hopkins sanoi.
Mutta kun matemaatikot saapuivat Lontooseen, alkoi liikkua huhuja, että se oli tehty – neljän Massachusetts Institute of Technologyyn sidoksissa olevan matemaatikon ryhmän toimesta, joista kolmea oli neuvonut Hopkins jatko-opiskeluaikana. Neljästä nuorimman, Ishan Levy -nimisen jatko-opiskelijan, oli määrä pitää puhe tiistaina, konferenssin toisena päivänä, jolloin näytti siltä, että todistus saatettaisiin julkistaa.
”Olin kuullut huhuja, että tämä oli tulossa, enkä tiennyt tarkalleen, mitä odottaa”, sanoi konferenssiin osallistunut matemaatikko Vesna Stojanoska Illinoisin yliopistosta Urbana-Champaignista.
Pian kävi selväksi, että huhut pitivät paikkansa. Tiistaista alkaen ja seuraavien kolmen päivän aikana Levy ja hänen kanssakirjoittajansa – Robert Burklund, Jeremy Hahn ja Tomer Schlank – selittivät noin 200 matemaatikon joukolle, kuinka he olivat todistaneet teleskooppikonjektuurin vääräksi, tehden siitä ainoan Ravenelin alkuperäisistä otaksumista, joka ei pitänyt paikkaansa.
Johdanto
Teleskooppikonjektuurin kumoamisella on laaja-alaisia seurauksia, mutta yksi yksinkertaisimmista ja syvällisimmistä on tämä: Se tarkoittaa, että hyvin korkeissa ulottuvuuksissa (ajattele 100-ulotteista palloa) eri muotoinen maailmankaikkeus on paljon monimutkaisempi kuin matemaatikot odottivat.
Kuvausten kartoitus
Muotojen eli topologisten avaruuksien luokittelemiseksi matemaatikot erottavat toisistaan merkitykselliset ja merkityksettömät erot. Homotopiateoria on näkökulma, josta nämä erottelut voidaan tehdä. Se pitää palloa ja munaa pohjimmiltaan samana topologisena avaruutena, koska niitä voi taivuttaa ja venyttää toisiinsa nähden repimättä kumpaakaan. Samalla tavalla homotopiateoria pitää palloa ja putkea perustavanlaatuisesti erilaisina, koska palloon on tehtävä reikä, jotta se muotoutuu putkeksi.
Homotopia on hyödyllinen topologisten avaruuksien luokittelussa – se luo kaavion kaikista mahdollisista muodoista. Se on tärkeää myös ymmärrettäessä jotain muuta, mistä matemaatikot ovat kiinnostuneita: avaruuksien välisiä kuvauksia. Jos sinulla on kaksi topologista avaruutta, yksi tapa tutkia niiden ominaisuuksia on etsiä funktioita, jotka muuntavat eli kuvaavat toisen avaruuden pisteet toisen avaruuden pisteisiin – syötä piste avaruudesta A, saat pisteen avaruudesta B ulostuloksi ja tee sama kaikille A:n pisteille.
Nähdäksesi, miten nämä kuvaukset toimivat ja miksi ne valaisevat kyseisten avaruuksien ominaisuuksia, aloita ympyrästä. Kuvaa se nyt kaksiulotteiselle pallolle, joka on pallon pinta. Tähän on äärettömän monta tapaa. Jos kuvittelet pallon Maan pintana, voit sijoittaa ympyräsi esimerkiksi mille tahansa leveysasteelle. Homotopiateorian näkökulmasta ne ovat kaikki ekvivalentteja eli homotooppisia, koska ne kaikki voivat kutistua pohjois- tai etelänavan pisteeksi.
Seuraavaksi kuvaa ympyrä putken (yksireikäisen toruksen) kaksiulotteiselle pinnalle. Jälleen kerran, tähän on äärettömän monta tapaa, ja useimmat ovat homotopisia. Mutta eivät kaikki. Voit sijoittaa ympyrän vaakasuoraan tai pystysuoraan toruksen ympärille, eikä kumpaakaan voida muuttaa tasaisesti toiseksi. Nämä ovat kaksi tapaa (useasta eri tavasta) kuvata ympyrä torukselle, kun taas pallolle on vain yksi tapa kuvata se, mikä heijastaa näiden kahden tilan välistä perustavanlaatuista eroa: Toruksessa on yksi reikä, kun taas pallossa ei ole yhtään.
On helppo laskea, monellako tavalla voimme kuvata ympyrästä kaksiulotteiseen palloon eli torukseen. Ne ovat tuttuja avaruuksia, jotka on helppo visualisoida. Mutta kuvausten laskeminen on paljon vaikeampaa, kun kyseessä ovat korkeamman ulottuvuuden avaruudet.
Ulottuvuuksien erot
Jos kahdella pallolla on sama ulottuvuus, niiden välillä on aina äärettömän monta kuvausta. Ja jos kuvauksen lähtöavaruus on matalampi kuin kuvauksen kohdeavaruus (kuten esimerkissämme yksiulotteisesta ympyrästä, joka on kuvattu kaksiulotteiselle pallolle), kuvauksia on aina vain yksi.
Osittain tästä syystä kuvausten laskeminen on mielenkiintoisinta silloin, kun kuvattavalla lähtöavaruudella on korkeampi ulottuvuus kuin kuvauksen kohdeavaruudella, kuten silloin, kun kuvaat seitsemänulotteisen pallon kolmiulotteiselle pallolle. Tällaisissa tapauksissa kuvausten määrä on aina äärellinen.
“Pallojen väliset kuvaukset ovat yleensä mielenkiintoisempia, kun lähteellä on suurempi ulottuvuus,” Hahn sanoo.
Lisäksi kuvausten lukumäärä riippuu vain ulottuvuuksien lukumäärän erosta (kun ulottuvuudet kasvavat riittävän suuriksi eroon nähden). Toisin sanoen 73-ulotteisesta pallosta 53-ulotteiseen palloon ulottuvien kuvausten lukumäärä on sama kuin 225-ulotteisesta pallosta 205-ulotteiseen palloon ulottuvien kuvausten lukumäärä, koska molemmissa tapauksissa ulottuvuuksien ero on 20.
Matemaatikot haluaisivat tietää minkä tahansa ulottuvuuseron omaavien avaruuksien välisten kuvausten lukumäärän. He ovat onnistuneet laskemaan kuvausten lukumäärän lähes kaikille ulottuvuuseroille aina 100:aan asti: Pallojen välillä on 24 kuvausta, kun ero on 20, ja 3 144 960, kun se on 23.
Matemaatikot Ishan Levy, Robert Burklund, Jeremy Hahn ja Tomer Schlank (vasemmalta oikealle) havaitsivat, että moniulotteisten pallojen maailma monimutkaistuu hyvin nopeasti. Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfachin arkistot (vasemmalla); Jim Hoyer/UCPH; Christopher Harting; Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfachin arkistot
Mutta kuvausten lukumäärän laskeminen mille tahansa yli 100:n erolle kuluttaa nykyaikaisen laskentatehon loppuun. Ja samaan aikaan matemaatikot eivät ole havainneet tarpeeksi säännönmukaisuuksia kuvausten lukumäärässä ekstrapoloidakseen edelleen. Heidän tavoitteenaan on täyttää taulukko, joka määrittää kuvausten lukumäärän mille tahansa ulottuvuuserolle, mutta tämä tavoite tuntuu hyvin kaukaiselta.
”Tämä ei ole kysymys, johon odotan täydellistä ratkaisua lastenlasteni elinaikana”, sanoi 76-vuotias Ravenel.
Teleskooppikonjektuuri tekee ennusteen siitä, miten kuvausten lukumäärä kasvaa ulottuvuuseron kasvaessa. Käytännössä se ennustaa, että lukumäärä kasvaa hitaasti. Jos se olisi pitänyt paikkansa, se olisi helpottanut taulukon täyttämistä hieman.
Epäilyksestä epäuskoon
Teleskooppikonjektuuri sai nimensä epätodennäköisellä tavalla.
Se alkoi siitä, että erittäin korkeissa ulottuvuuksissa alemmissa ulottuvuuksissa muodostettu geometrinen intuitio usein pettää, ja pallojen välisten kuvausten laskeminen on vaikeaa. Mutta muotoillessaan olettamustaan Ravenel ymmärsi, ettei se ole välttämätöntä. Pallojen välisten kuvausten laskemisen sijaan voidaan tehdä helpompi sijaislaskenta pallojen ja teleskoopeiksi kutsuttujen kohteiden välisistä kuvauksista.
Teleskoopit koostuvat sarjasta kopioita suljetusta, korkeamman ulottuvuuden käyrästä, joista jokainen on pienennetty versio edellisestä käyrästä. Käyräsarja muistuttaa todellisen kokoontaittuvan teleskoopin toisiinsa kytkeytyviä putkia. ”Niin oudolta kuin tämä teleskooppi kuulostaakin kuvailtaessa, se on itse asiassa helpompi asia käsitellä kuin itse pallo”, Ravenel sanoi.
Mutta silti pallot voivat kuvautua teleskoopeille monella eri tavalla, ja haasteena on tietää, milloin nämä kuvaukset ovat todella erilaisia.
Sen määrittämiseksi, ovatko kaksi avaruutta homotopisia, vaaditaan matemaattinen testi, joka tunnetaan invarianttina. Se on avaruuksien ominaisuuksiin perustuva laskutoimitus. Jos laskutoimitus tuottaa eri arvon kullekin avaruudelle, tiedät niiden olevan ainutlaatuisia homotopian näkökulmasta.
Invariantteja on monenlaisia, ja jotkut pystyvät havaitsemaan eroja, joille toiset invariantit ovat sokeita. Teleskooppikonjektuuri ennustaa, että Moravan E-teoriaksi kutsuttu invariantti (ja sen symmetriat) pystyy erottamaan täydellisesti kaikki pallojen ja teleskooppien väliset kuvaukset homotopiaan asti – toisin sanoen, jos Moravan E-teoria sanoo, että kuvaukset ovat erillisiä, ne ovat erillisiä, ja jos se sanoo, että ne ovat samoja, ne ovat samoja.
Mutta vuoteen 1989 mennessä Ravenel oli alkanut epäillä sen totuutta. Hänen skeptisyytensä kumpusi hänen tekemistään laskelmista, jotka eivät näyttäneet olevan yhdenmukaisia konjektuurin kanssa. Mutta vasta saman vuoden lokakuussa, kun valtava maanjäristys iski Bay Areaan hänen ollessaan Berkeleyssä, nämä epäilykset koodautuivat täysimittaiseksi epäuskoksi.
“Tulin tähän johtopäätökseen päivän tai kahden sisällä maanjäristyksestä, joten ajattelen mielelläni, että jotain tapahtui, mikä sai minut epäilemään, ettei se pitänyt paikkaansa”, sanoi Doug Ravenel. Matemaattisten tutkimuslaitosten arkistot Oberwolfachissa.
“Tulin tähän johtopäätökseen päivän tai kahden sisällä maanjäristyksestä, joten ajattelen mielelläni, että jotain tapahtui, mikä sai minut epäilemään, ettei se pitänyt paikkaansa.,” Ravenel sanoo.
Teleskooppikonjektuurin kumoaminen edellyttäisi tehokkaamman invariantin löytämistä, joka kykenisi näkemään asioita, joita Moravan E-teoria ei pysty näkemään. Vuosikymmenten ajan tällaista invarianttia ei näyttänyt olevan saatavilla, mikä asetti oletuksen täysin saavuttamattomiin. Viime vuosien edistys kuitenkin muutti tilanteen – ja Burklund, Hahn, Levy ja Schlank hyödynsivät sitä.
Räjähtävän eksoottinen
Heidän todistuksensa perustuu työkalujoukkoon, jota kutsutaan algebralliseksi K-teoriaksi. Teorian perusti Alexander Grothendieck 1950-luvulla, ja se on kehittynyt nopeasti viimeisen vuosikymmenen aikana. Sillä on sovelluksia matematiikassa, mukaan lukien geometriassa, jossa sillä voidaan tehostaa invariantin toimintaa.
Neljä kirjoittajaa käyttävät algebrallista K-teoriaa apuvälineenä: he syöttävät Moravan E-teorian, ja heidän tuloksensa on uusi invariantti, jota he kutsuvat Moravan E-teorian kiintopisteiden algebralliseksi K-teoriaksi. Sitten he soveltavat tätä uutta invarianttia pallojen ja teleskooppien välisiin kuvauksiin ja todistavat, että se voi nähdä kuvauksia, joita Moravan E-teoria ei pysty näkemään.
Eikä kyse ole vain siitä, että tämä uusi invariantti näkee muutaman kuvauksen enemmän. Se näkee paljon enemmän, jopa äärettömän paljon enemmän. Niin paljon enemmän, että on sanottava, että Moravan E-teoria oli vasta raapaissut pintaa tunnistaessaan kuvauksia palloista teleskooppeihin.
Äärettömän paljon kuvauksia palloista teleskooppeihin tarkoittaa äärettömän paljon enemmän kuvauksia pallojen välillä. Tällaisten kuvausten määrä on rajallinen mille tahansa ulottuvuuserolle, mutta uusi todistus osoittaa, että määrä kasvaa nopeasti ja vääjäämättä.
Se, että kuvauksia on niin paljon, viittaa levottomaan geometriseen todellisuuteen: palloja on niin paljon.
Vuonna 1956 John Milnor tunnisti ensimmäiset esimerkit niin sanotuista ”eksoottisista” palloista. Nämä ovat tiloja, jotka voidaan homotopian näkökulmasta muuttaa varsinaiseksi palloksi, mutta jotka eroavat pallosta tietyssä tarkassa mielessä. Eksoottisia palloja ei ole lainkaan olemassa ulottuvuuksissa yksi, kaksi tai kolme, eikä kukaan ole löytänyt niistä esimerkkejä ulottuvuuden seitsemän alapuolella – ulottuvuudessa, josta Milnor ne ensimmäisen kerran löysi. Mutta ulottuvuuden kasvaessa eksoottisten pallojen määrä räjähtää. Ulottuvuudessa 15 niitä on 16 256 ja ulottuvuudessa 19 523 264.
Ja silti, niin valtavia kuin nuo luvut ovatkin, teleskooppikonjektuurin kumoaminen tarkoittaa, että niitä on paljon, paljon enemmän. Kumoaminen tarkoittaa, että pallojen välisiä kuvauksia on enemmän kuin Ravenelin otaksumaa esittäessä odotettiin, ja ainoa tapa saada enemmän kuvauksia on, että niiden välillä on enemmän erilaisia palloja, joiden välillä voi kuvata.
Matematiikassa ja luonnontieteissä on erityyppisiä edistysaskeleita. Yksi laji tuo järjestystä kaaokseen. Mutta toinen pahentaa kaaosta hälventämällä toiveikkaita oletuksia, jotka eivät pitäneet paikkaansa. Teleskooppikonjektuurin kumoaminen on samanlaista. Se syventää geometrian monimutkaisuutta ja lisää todennäköisyyttä, että useita lastenlasten sukupolvia tulee ja menee ennen kuin kukaan täysin ymmärtää pallojen välisiä kuvauksia.
”Jokainen merkittävä edistysaskel aiheessa näyttää kertovan meille, että vastaus on paljon monimutkaisempi kuin aiemmin luulimme”, Ravenel sanoi.
Artikkelin julkaissut Quanta Magazine
https://eksopolitiikka.fi/tiede/teleskooppikonjektuuri/?utm_source=TR&utm_medium=eksopolitiikka.tumblr.com&utm_campaign=SNAP%2Bfrom%2B_%7C+Eksopolitiikka.fi+%7C_