TTnguyen @ttnguyen71 - Tumblr Blog

Giá trị riêng, vector riêng của ma trận

Giá trị riêng (Eigenvalues) của ma trận

Khái niệm

Trong toán học, giá trị riêng của ma trận là các giá trị mà khi ma trận nhân với một vector không bằng việc nhân vector đó với một số vô hướng (scalar). Một giá trị riêng là một số tự nhiên được ký hiệu là λ, và vector tương ứng được gọi là vector riêng (eigenvector).

Tính toán giá trị riêng

Để tính toán giá trị riêng của một ma trận vuông, ta cần giải phương trình đặc trưng, tức là tìm nghiệm của phương trình det(A - λI) = 0, trong đó A là ma trận đã cho, λ là giá trị riêng cần tìm, và I là ma trận đơn vị cùng kích thước với A. Để giải phương trình này, ta tính định thức của A - λI và đặt bằng 0 để tìm λ.

Sau khi tìm được các giá trị riêng, ta có thể tính được vector riêng tương ứng bằng cách giải phương trình (A - λI)x = 0, trong đó x là vector riêng. Quá trình này còn được gọi là việc tìm nghiệm của phương trình đặc trưng liên quan đến vector riêng.

Ứng dụng

Giá trị riêng và vector riêng của ma trận có rất nhiều ứng dụng trong toán học và khoa học máy tính. Chẳng hạn, chúng được sử dụng trong quá trình phân tích dữ liệu, nén hình ảnh, mã hóa thông tin, và xác định cấu trúc và động lực của các hệ thống phức tạp.

Ứng dụng quan trọng của giá trị riêng là trong việc tìm kiếm các điểm cân bằng của một hệ động lực. Nhờ tính chất của giá trị riêng và vector riêng, ta có thể hiểu được sự dao động, sự ổn định và sự hội tụ của các hệ động lực phức tạp.

Trong thị giác máy tính, giá trị riêng và vector riêng được sử dụng để phân tích hình ảnh và xác định các đặc trưng quan trọng của hình ảnh. Việc áp dụng giá trị riêng và vector riêng trong xử lý hình ảnh giúp tạo ra các thuật toán hiệu quả để nhận dạng và phân loại đối tượng, nhận diện khuôn mặt, và nén và phục hồi hình ảnh chất lượng cao.

Vector riêng (Eigenvectors) của ma trận

Khái niệm

Vector riêng của một ma trận là một vector không bị biến đổi hướng sau khi nhân với ma trận đó. Tức là, nếu v là một vector riêng của ma trận A, thì khi nhân ma trận A với vector v, kết quả sẽ là một đại lượng tương tự như vector v.

Tìm vector riêng

Để tìm vector riêng tương ứng với một giá trị riêng, ta cần giải phương trình (A - λI) x = 0, trong đó A là ma trận, λ là giá trị riêng, x là vector riêng cần tìm và I là ma trận đơn vị. Để giải phương trình này, ta thực hiện các phép biến đổi ma trận cho đến khi tìm được nghiệm x khác 0.

Việc tìm vector riêng cũng liên quan chặt chẽ đến các phương trình đặc trưng và giá trị riêng. Khi giải phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0 để tìm giá trị riêng λ, ta cũng đã tiến gần tới việc tìm vector riêng.

Ứng dụng

Vector riêng là một khái niệm quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Trong khoa học máy tính, chẳng hạn, vector riêng được sử dụng trong các bài toán nhận dạng khuôn mặt, phân loại dữ liệu và khai phá dữ liệu. Bằng cách sử dụng vector riêng, ta có thể xác định các đặc trưng quan trọng và giảm chiều dữ liệu, từ đó đơn giản hóa quá trình phân loại và nhận dạng.

Vector riêng cũng được sử dụng trong các bài toán liên quan đến động lực học và cơ lý thuyết. Chẳng hạn, trong bán tự do cơ học, vector riêng dùng để mô phỏng và phân tích dao động tự do của các hệ thống cơ khí. Trong lý thuyết chuỗi Markov, vector riêng cũng giúp tìm hiểu sự hội tụ và ổn định của các quá trình ngẫu nhiên.

#ttnguyen

Tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto

Cơ sở của không gian vecto

Trong toán học, không gian vecto là một không gian mà trong đó các phần tử được biểu diễn bằng các vecto. Mỗi vecto trong không gian vecto có thể biểu diễn bằng một tập hợp các phần tử được gọi là cơ sở của không gian vecto.

Cơ sở của không gian vecto là một tập hợp các vecto tuyến tính độc lập tuyến tính mà bằng cách kết hợp tuyến tính, chúng có thể biểu diễn tất cả các vecto khác trong không gian đó.

Để tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto, chúng ta có thể sử dụng phương pháp khử Gauss hoặc phương pháp khác tương tự. Việc tìm cơ sở này rất quan trọng để xác định không gian vecto và tính toán trong không gian này.

Số chiều của không gian vecto

Số chiều của không gian vecto được xác định bằng số vecto tuyến tính độc lập tuyến tính trong cơ sở của không gian đó. Cụ thể, số chiều của không gian vecto chính bằng số vecto trong cơ sở của không gian đó.

Nếu cơ sở của không gian vecto có một số hữu hạn các vecto, chúng ta có thể hiểu rằng không gian vecto đó có số chiều hữu hạn và có thể biểu diễn trong không gian n chiều.

Nếu không gian vecto có cơ sở vô hạn, chúng ta có thể hiểu rằng không gian vecto đó có số chiều vô hạn và không thể biểu diễn trong một không gian không gian n chiều.

Ví dụ, nếu không gian vecto có một cơ sở gồm hai vecto tuyến tính độc lập tuyến tính, ta có thể kết luận rằng không gian vecto đó có số chiều là 2 và nó có thể biểu diễn trong không gian hai chiều.

Ví dụ số chiều và cơ sở của không gian vecto

Ví dụ sau sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về số chiều và cơ sở của không gian vecto.

Xét không gian vecto trong không gian hai chiều. Cơ sở của không gian vecto này có thể là hai vecto tuyến tính độc lập tuyến tính, ví dụ: {v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)}. Bất kỳ vecto trong không gian này đều có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của v1 và v2.

Khi chúng ta có một không gian vecto trong không gian ba chiều, cơ sở của không gian vecto có thể là ba vecto tuyến tính độc lập tuyến tính, ví dụ: {v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)}. Từ đó, bất kỳ vecto nào trong không gian này cũng có thể được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính của v1, v2 và v3.

Vì vậy, cơ sở của không gian vecto và số chiều của không gian vecto có sự tương quan mật thiết và việc hiểu rõ về chúng là rất quan trọng trong các bài toán liên quan đến không gian vecto.

#ttnguyen

Tìm hiểu về dạng song tuyến tính trong đại số tuyến tính

Hiểu khái niệm dạng song tuyến tính là gì

Dạng song tuyến tính là một loại hệ phương trình đại số tuyến tính, trong đó có ít nhất hai phương trình tuyến tính với các biến số chung. Mục tiêu của việc giải hệ phương trình này là tìm ra các giá trị của các biến số sao cho tất cả các phương trình đều được thỏa mãn.

Khái niệm dạng song tuyến tính

Dạng song tuyến tính là một hệ phương trình đại số tuyến tính gồm ít nhất hai phương trình tuyến tính với các biến số chung. Đây là một khái niệm quan trọng và được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, khoa học, công nghệ và kỹ thuật.

Ví dụ

Ví dụ về một dạng song tuyến tính là:

- Phương trình 1: 2x + 3y = 7

- Phương trình 2: 4x - y = 5

Trong ví dụ này, các biến số x và y là biến số chung giữa hai phương trình.

Phân loại các hệ song tuyến tính

Có nhiều cách phân loại các hệ song tuyến tính dựa trên các đặc điểm cụ thể của hệ. Dưới đây là một số phân loại phổ biến:

Theo số lượng phương trình và biến số

- Hệ tuyến tính gồm hai phương trình với hai biến số

- Hệ tuyến tính gồm ba phương trình với ba biến số

- Hệ tuyến tính gồm n phương trình với n biến số

Theo dạng tương đương

- Hệ tương đương: các phương trình tương đương có cùng nghiệm

- Hệ vô nghiệm: không có nghiệm thỏa mãn cho hệ

- Hệ có nghiệm hữu hạn: có một số nghiệm thỏa mãn cho hệ, nhưng không tồn tại nghiệm vô số

Công thức và thuật toán dùng để giải hệ song tuyến tính

Có nhiều công thức và thuật toán được sử dụng để giải hệ song tuyến tính. Dưới đây là một số công thức và thuật toán phổ biến:

Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

- Phương pháp thế: thay giá trị biến số từ phương trình đã tìm được vào các phương trình còn lại để tìm nghiệm

- Phương pháp khoảng giá trị: xác định khoảng chứa nghiệm và tìm từ từ tiến tới nghiệm đúng

Phương pháp ma trận

- Ma trận nghịch đảo: tìm ma trận nghịch đảo để tìm nghiệm của hệ phương trình

- Ma trận ép kiểu: áp dụng các phép biến đổi ma trận để đưa ma trận về dạng tam giác hoặc bậc thang

Tính chất và đặc điểm của hệ song tuyến tính

Có một số tính chất và đặc điểm quan trọng về hệ song tuyến tính:

Tính duy nhất của nghiệm

- Nếu hệ tuyến tính có một nghiệm duy nhất, thì đó là nghiệm tối ưu

- Nếu hệ tuyến tính có nhiều nghiệm, có thể có một nghiệm tối ưu hoặc không

Tính tồn tại nghiệm và tính vô nghiệm

- Nếu hệ tuyến tính có tồn tại ít nhất một nghiệm, thì đó là nghiệm của hệ

- Nếu hệ tuyến tính không có nghiệm thỏa mãn, thì hệ là vô nghiệm

Mối quan hệ giữa các phương pháp giải hệ song tuyến tính

Có một số phương pháp giải hệ song tuyến tính và chúng có mối quan hệ với nhau:

Phương pháp thế và phương pháp khoảng giá trị

- Cả hai phương pháp này đều dựa trên việc tìm nghiệm bằng cách thay giá trị biến số vào các phương trình để kiểm tra tính đúng sai

Phương pháp ma trận và ma trận nghịch đảo

- Phương pháp ma trận sử dụng các phép biến đổi ma trận để giải hệ tuyến tính

- Phương pháp ma trận nghịch đảo dựa trên việc tìm ma trận nghịch đảo để tìm nghiệm

Ứng dụng của dạng song tuyến tính trong thực tế

Dạng song tuyến tính có nhiều ứng dụng trong thực tế:

Trong kinh tế

- Dạng song tuyến tính được sử dụng để quản lý tài nguyên và phân bổ nguồn lực trong các doanh nghiệp và công ty

- Áp dụng trong kế hoạch sản xuất và quản lý chuỗi cung ứng

Trong công nghệ và kỹ thuật

- Dạng song tuyến tính được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết các vấn đề trong lĩnh vực công nghệ và kỹ thuật như điện tử, viễn thông, xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, và điều khiển tự động

Phân tích độ phức tạp của thuật toán giải hệ song tuyến tính

Độ phức tạp của thuật toán giải hệ song tuyến tính được đánh giá dựa trên các yếu tố sau:

Thời gian thực hiện

- Thời gian thực hiện của thuật toán được tính bằng một đơn vị thời gian như giây hoặc millisecond

Độ phức tạp không gian

- Độ phức tạp không gian là lượng bộ nhớ cần thiết để thực hiện thuật toán

Các công cụ tính toán và phần mềm hỗ trợ giải hệ song tuyến tính

Có nhiều công cụ tính toán và phần mềm được sử dụng để giải hệ song tuyến tính, bao gồm:

Microsoft Excel

- Microsoft Excel là một phần mềm tính toán và phân tích dữ liệu mạnh mẽ

- Có thể sử dụng Excel để giải hệ song tuyến tính thông qua các công cụ tính toán và phân tích dữ liệu có sẵn

Phần mềm MATLAB

- MATLAB là một phần mềm dùng cho tính toán số và lập trình

- MATLAB cung cấp các công cụ và hàm hỗ trợ giải hệ song tuyến tính nhanh chóng và chính xác

Bài toán phụ thuộc và độc lập trong hệ song tuyến tính

Trong một hệ phương trình tuyến tính, có thể xảy ra các trường hợp sau:

Bài toán phụ thuộc

- Khi một trong các phương trình trong hệ có thể tìm được từ các phương trình còn lại

- Khi đó, phương trình bị phụ thuộc có thể bị loại bỏ để giảm số lượng phương trình trong hệ

Bài toán độc lập

- Khi tất cả các phương trình trong hệ không phụ thuộc vào nhau

- Khi đó, hệ tuyến tính không thể giải được

Giới hạn và hạn chế của dạng song tuyến tính trong đại số tuyến tính

Mặc dù dạng song tuyến tính rất hữu ích và được sử dụng phổ biến, nhưng nó cũng có một số giới hạn và hạn chế:

Độ phức tạp

- Đối với các hệ phương trình lớn, việc giải hệ song tuyến tính có thể mất nhiều thời gian tính toán và tài nguyên

Giải thuật và phần mềm

- Một số phương pháp giải hệ song tuyến tính có thể không thích hợp cho mọi loại dữ liệu hoặc không được hỗ trợ trên mọi phần mềm

- Điều này có thể kéo theo việc phải tìm hiểu và triển khai các giải thuật và phần mềm phù hợp

#daisotuyentinh #ttnguyen #dangsongtuyentinh

Tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto

Gửi tới bạn đọc kiến thức cơ bản cùng các dạng bài tập về tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto trong môn toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích giúp các bạn ôn tập dễ dàng.

Tham khảo: https://ttnguyen.net/tim-co-so-va-so-chieu/

ttnguyen #ttnguyenblog #daisotuyentinh #daisovahinhhocgiaitich

Bài tập chéo hoá ma trận có lời giải

Trong đại số và hình học giải tích, chéo hoá ma trận là quá trình tìm ma trận nghịch đảo T và ma trận chéo B. Các ma trận chéo hóa rất dễ tính toán, sau khi đã tìm được các giá trị riêng và vectơ riêng của chúng. Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn định nghĩa, điều kiện và cách giải bài tập về chéo hoá ma trận.

Tham khảo: https://ttnguyen.net/cheo-hoa-ma-tran/

ttnguyen #ttnguyenblog #daisotuyentinh #daisovahinhhocgiaitich

Dạng toàn phương – Bài tập đưa về dạng chính tắc

Bài viết dưới đây sẽ giúp chúng ta tìm hiểu về định nghĩa, phân loại, xét dấu kèm một số dạng bài tập dạng toàn phương có lời giải giúp các bạn ôn tập dễ dàng. Chiến thôi!!!

Tham khảo: https://ttnguyen.net/dang-toan-phuong/

ttnguyen #ttnguyenblog #daisotuyentinh #daisovahinhhocgiaitich #dangtoanphuong

Chứng minh ánh xạ tuyến tính

Ví dụ: Cho R2→R3, Chứng minh ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính hay không?

f(x,y)=(x+y, 0, 2x+2y)

Giải

Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(a1;b1) và y=(a2,b2) – f(x+y)=(a1+a2,b1+b2) =(a1+a2+b1+b2,0,2a1+2a2+2b1+2b2) =(a1+b1,0,2a1+2b1)+(a2+b2,0,2a2+2b2) =f(x)+f(y) – f(kx)=f(ka1,kb1) = (ka1+kb1,0,2ka1,2kb1) = k(a1+b1,0,2a1+2b1) = kf(x) Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính.

Tham khảo: https://ttnguyen.net/anh-xa-tuyen-tinh/

ttnguyen #ttnguyenblog #daisotuyentinh #daisovahinhhocgiaitich #anhxatuyentinh

Ánh xạ tuyến tính là gì?

Trong toán học, ánh xạ tuyến tính là một ánh xạ giữa các không gian vector mà ánh xạ tổng của hai vectơ là tổng của hai vectơ ánh xạ, và ánh xạ tích của một vectơ và một số là tích của vectơ và số ánh xạ. Các ánh xạ tuyến tính là một khái niệm quan trọng trong giải tích tuyến tính, hình học đại số và lý thuyết số.

Các ánh xạ tuyến tính có rất nhiều ứng dụng trong toán học và khoa học. Ví dụ, các ánh xạ tuyến tính được sử dụng trong:

Giải tích tuyến tính: Để giải các phương trình tuyến tính và các hệ phương trình tuyến tính. Hình học đại số: Để nghiên cứu các đường thẳng, mặt phẳng và các đối tượng hình học khác. Lý thuyết số: Để giải các phương trình Diophantine và các bài toán số học khác. Máy học: Để phân loại dữ liệu và học máy. Các ánh xạ tuyến tính là một công cụ mạnh mẽ có nhiều ứng dụng trong toán học và khoa học.

>>> Tham khảo: https://ttnguyen.net/anh-xa-tuyen-tinh/

ttnguyen #ttnguyenblog #daisotuyentinh #daisovahinhhocgiaitich #anhxatuyentinh

Dạng song tuyến tính – Bài tập có lời giải

Ánh xạ T được gọi là một dạng song tuyến tính nếu hàm T tuyến tính đối với biến thứ nhất khi cố định biến thứ hai và tuyến tính đối với biến thứ hai khi cố định biến thứ nhất.

https://ttnguyen.net/dang-song-tuyen-tinh/

ttnguyen #ttnguyenblog #daisotuyentinh #daisovahinhhocgiaitich

Thay thế ký tự x trong chuỗi bằng ký tự y

Bài 25 (TH-CSLT-02): Viết chương trình nhập vào một chuỗi ký tự. Yêu cầu:

Cho biết các vị trí xuất hiện của ký tự x trong chuỗi ký tự vừa nhập. Với ký tự x được nhập từ bàn phím

Thay thế ký tự x trong chuỗi bằng ký tự y. Với ký tự x, y được nhập từ bàn phím

Tham khảo: https://ttnguyen.net/tach-chuoi-trong-cpp/

ttnguyen #ttnguyenblog #lap_trinh_c #cplusplus #bai_tap_c

Nhập 1 mảng răng cưa c++

Bài 24 (TH-CSLT-05): Mảng răng cưa là mảng 2 chiều mà trong đó số phần tử mỗi hàng có thể không bằng nhau (ví dụ như trong Bảng A dưới đây) Viết chương trình thực hiện các yêu cầu sau:

Nhập 1 mảng răng cưa (tối đa 20 hàng, 20 cột) gồm các số nguyên khác 0 (mỗi hàng kết thúc việc nhập khi gặp số 0). Hiện mảng ra màn hình.

Hiện Trung bình cộng của từng hàng trong mảng.

Hiện mảng theo trật tự số phần tử mỗi hàng giảm dần. (*)

Cho phép người dùng thêm phần tử vào hàng k (k nhập từ bàn phím) với điều kiện không làm số phần tử của hàng k vượt quá số phần tử của hàng có nhiều phần tử nhất. Hiện lại mảng sau khi thêm phần tử.

Với mảng đã sắp xếp (ý (*)), thực hiện làm đầy mảng bằng cách lấy giá trị hiện có ở các ô không trống ở hàng trên cho các ô trống ở hàng dưới. Hiện mảng sau khi làm đầy (ví dụ sau khi làm đầy của bảng A cho như trong bảng B dưới đây) Tham khảo: https://ttnguyen.net/mang-rang-cua/

ttnguyen #ttnguyenblog #lap_trinh_c #cplusplus #bai_tap_c

Sắp xếp các phần tử ma trận giảm dần theo từng cột và hiện ra màn hình ma trận mới

Bài 23 (TH-CSLT-06): Viết chương trình thực hiện: a) Nhập ma trận vuông n hàng, n cột các số nguyên (n<=50), b) Hiện ma trận đó ra màn hình c) Tính tích hàng k, hàng k nhập từ bàn phím d) Tìm hàng có tổng các phần tử nhỏ nhất e) Cho biết có bao nhiêu phần tử âm f) Sắp xếp các phần tử ma trận giảm dần theo từng cột và hiện ra màn hình ma trận mới

Tham khảo: https://ttnguyen.net/sap-xep-ma-tran-giam-dan-theo-cot/

ttnguyen #ttnguyenblog #lap_trinh_c #cplusplus #bai_tap_c

Trò chơi cờ Ca rô được biểu diễn trên một Ma trận A n*m ô ( 0 < n, m < 51)

Bài 22 (TH-CSLT-04): Trò chơi cờ Ca rô được biểu diễn trên một Ma trận A n*m ô ( 0 < n, m < 51), trong đó: Trò chơi kết thúc khi một người X hoặc O đạt được 5 ô liên tiếp giống nhau theo chiều ngang, chiều dọc hoặc đường chéo. Trạng thái hòa là trạng thái mà kết thúc toàn bộ bàn cờ mà không có người thắng cuộc. Yêu cầu:

Input: Cho ma trận thể hiện kết quả của cuộc thi đấu cờ Caro

Output: Trạng thái của ván đấu. (X thắng; O thắng; Hòa; Trận đấu chưa kết thúc)

Tham khảo:https://ttnguyen.net/thuat-toan-co-caro/

ttnguyen #ttnguyenblog #lap_trinh_c #cplusplus #bai_tap_c

Hàng nào có tổng các phần tử lớn nhất trong mảng hai chiều

Bài 21 (TH-CSLT-02): Viết chương trình nhập vào mảng hai chiều các số thực. Áp dụng:

In lại mảng 2 chiều các phần tử dưới dạng bảng

In các phần tử tại hàng thứ k của mảng hai chiều (k>=0)

Tính tổng các phần tử của cột thứ k của mảng hai chiều (k>=0)

Thực hiện tìm kiếm phần tử có giá trị là x, cho biết vị trí tìm thấy đầu tiên của phần tử trong trường hợp tìm thấy

Cho biết hàng nào có tổng các phần tử lớn nhất trong mảng hai chiều

Tham khảo: https://ttnguyen.net/tim-dong-co-tong-lon-nhat-mang-2-chieu/

ttnguyen #ttnguyenblog #lap_trinh_c #cplusplus #bai_tap_c

Sắp xếp các phần tử trong dãy theo trật tự giảm dần của giá trị c++

Bài 20 (TH-CSLT-05): Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau

Nhập một dãy không quá 100 phần tử là các số thực cho đến khi gặp số 0 thì dừng.

Hiện dãy vừa nhập.

Hiện Tổng của các phần tử không âm trong mảng và Trung bình cộng các phần tử âm.

Sắp xếp các phần tử trong dãy theo trật tự giảm dần của giá trị. Hiện dãy sau khi sắp xếp.

Giảm giá trị các phần tử ở vị trí chẵn trong dãy đi 10%. Hiện dãy sau khi thực hiện giảm giá trị.

Xoá các phần tử ở vị trí lẻ trong dãy(VD: vị trí 1, 3, 5, …). Hiện dãy sau khi xoá.

Tham khảo: https://ttnguyen.net/xoa-phan-tu-tai-vi-tri-le-trong-mang/

ttnguyen #ttnguyenblog #lap_trinh_c #cplusplus #bai_tap_c

Chuyển đổi số la mã c++

Bài 19 (TH-CSLT-04): Số La Mã là một tập các ký hiệu: {‘I’,’V’,’X’,’L’,’C’,’D’,’M’} tương đương với các giá trị số ở chữ số Latinh gồm: {1,5,10,50,100,500,1000}. Hãy viết chương trình nhập vào một số nguyên dương N (N Tham khảo: https://ttnguyen.net/chuyen-doi-so-thap-phan-sang-so-la-ma/

ttnguyen #ttnguyenblog #lap_trinh_c #cplusplus #bai_tap_c

Xoá các số có giá trị bằng 0 có trong dãy

Bài 18 (TH-CSLT-07) Nhập vào từ bàn phím dãy số gồm n số nguyên (n>0) và thực hiện các yêu cầu sau đây a. Hiển thị dãy số ra màn hình b. Nhập vào từ bàn phím số nguyên x. Hãy cho biết x xuất hiện trong dãy số bao nhiêu lần và các vị trí xuất hiện của x c. Xoá các số có giá trị bằng 0 có trong dãy d. Sắp xếp các số nguyên tố về đầu dãy, các số không phải là số nguyên tố về cuối dãy e. Tính trung bình cộng các số chia hết cho 3 có trong dãy Tham khảo: https://ttnguyen.net/sap-xep-so-nguyen-to/

ttnguyen #ttnguyenblog #lap_trinh_c #cplusplus #bai_tap_c

Trending Blogs

Recently Viewed Blogs

TTnguyen