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Come si rappresenta la realtà? Vademecum LABC (2)

Vademecum di Analisi dati 1 per curiosi e per me stessa: rappresentazione dei dati.

Non hai veramente capito qualcosa finché non sei in grado di spiegarlo a tua nonna.

Tabelle

Le tabelle presentano un numero di dati in maniera ordinata ma difficilmente leggibile perché non ha un'interpretazione grafica immediata. Sempre è buona regola scrivere per bene le dimensioni e il nome dei dati presentati.

Grafici di dispersione

I grafici di dispersione o grafici xy sono diagrammi in cui i dati vengono rappresentati come punti, ovvero come coppie di coordinate. In questo caso gli assi cartesiani devono essere regolarmente suddivisi e facilmente leggibili, gli assi nominati per le loro grandezze e i dati rappresentati come punti con barre d'errore che ne identificano l'intervallo.

Introduzione informale ai fit

Il metodo di fit, fitting o best fit è la pratica di preparare un modello matematico per descrivere una serie di dati semplificandone l'interpretazione grafica senza perdere informazioni. L'obiettivo è sempre quello di creare un modello matematico quanto più semplice possibile senza perdere informazioni. Possono capitare sia pratiche di fitting errato (modello poco adeguato, incertezze sottostimate) in senso di difetto o overfitting (il modello sembra troppo adeguato e segue una forma polinomiale, le incertezze sono sovrastimate).

Grafici a barre ed istogrammi

Nonostante siano spesso considerati la stessa cosa si tratta di diagrammi differenti. I grafici a barre mostrano la distribuzione discreta dei dati tramite canali singoli. Gli istogrammi presentano l'intervallo di distribuzione suddiviso da una serie di sottointervalli detti bin, di larghezza determinata, nei quali vengono catalogati i dati.

Esponenziali e logaritmi

I logaritmi e gli esponenziali sono funzioni l'una l'opposto dell'altra: godono di ottime proprietà utili per linearizzazione nel campo di prodotti e addizioni e divisioni e sottrazioni. Gli esponenziali sono oggetti a crescita rapida e cumulativa, mentre i logaritmi crescono molto lentamente e si muovono su scale non lineari, ovvero la distanza tra 1 e 2 è maggiore di quella tra 2 e 3 e così via. Un esempio di processo esponenziale è la crescita cellulare, ma i processi esponenziali crescono tanto rapidamente da essere difficilmente duraturi in natura: ad un certo punto si interrompono o collassano. La ricerca binaria che è un metodo iterativo permette di agire per un processo opposto a quello sequenziale, così da scandagliare metà per metà il range di informazioni date.

La decade si definisce come il logaritmo in base dieci del rapporto tra due punti dati tipicamente sulle ascisse.

Una breve digressione: il suono

Il suono, così come i terremoti, scala in maniera logaritmica: un'ottava si definisce come decade in logaritmo base due e i singoli semitoni nel temperamento equabile si ottiene dividendo per 12 l'ottava stessa. La legge di Marsenne testimonia questo. L'orecchio umano è in grado di apprezzare variazioni di suono dall'esterno e non la pressione costante dell'atmosfera che agisce sia dall'esterno che dall'interno e che risulterebbe invece insopportabile (inimmaginabilmente tale) se considerata come variazione dalla soglia della pressione di riferimento.

Scale non lineari

Gli esponenziali e le leggi di potenza non sono facilmente riconoscibili ad occhio, ma, linearizzando queste e rappresentandole su un grafico a scala logaritmica o bilogaritmica, risultano rette. Le leggi di potenza sono funzioni a due parametri detti costante ed esponente o indice spettrale a seconda dei fenomeni fisici: si possono linearizzare tramite sostituzione logaritmica e l'esponente è rilevabile dal rapporto delle decadi sulle ordinate quando ci si muove di una decade sulle ascisse. Idem per gli esponenziali, che hanno due parametri detti costante di normalizzazione e parametro. La legge di Benford va a testimone di questa curiosa concentrazione sulle prime misure, in quanto, come già detto, in scala logaritmica la distanza tra 1 e 2 è maggiore di quella tra 3 e 4 e così via. Per invarianza di scala si intende che la legge fisica non cambia forma se si scalano le lunghezze di uno stesso valore.

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Quando si possono trascurare le incertezze? Vademecum LABC (1)

Vademecum di Analisi dati 1 per curiosi e per me stessa: misure ed incertezze.

Non hai veramente capito qualcosa finché non sei in grado di spiegarlo a tua nonna.

Primi passi: misure ed incertezze

Le unità di misura

Siamo abituati a sentir parlare di unità di misura, ma non ci rendiamo conto della difficoltà nello standardizzare una certa quantità perché sia considerata univocamente unità a scapito di differenze negli strumenti di misura o nelle culture di riferimento. Fino a parte del secolo scorso le unità di misura erano standardizzate a partire da oggetti materiali (solitamente conservati nei Musei degli Strumenti: il kilogrammo come massa di metallo, il metro come lastra ecc.). Grazie agli avanzamenti nella tecnica si è riusciti a proseguire sulla via che porta alla completa astrazione delle unità di misura, che vengono così ricavate da rapporti di costanti naturali. Le costanti come velocità della luce e costante elettrica non si modificano nel tempo a differenza di un oggetto di metallo, che si consuma e dev'essere sempre raffinatamente pulito per mantenere la sua qualità di... Unità. Il metro non è più dunque definito da una lastra di metallo, ma come la lunghezza percorsa dalla luce in un tempo di 1/299 792 458 secondi.

Non tutte le unità di misura che siamo abituati ad utilizzare fanno parte del Sistema Internazionale (SI). Il litro, ad esempio, non rientra fra queste. Sono presenti nel SI le grandezze: lunghezza (metro), massa (kilogrammo), tempo (secondo), intensità luminosa (candela), corrente elettrica (Ampere), temperatura (Kelvin), quantità di massa (mole). Alcune unità di misura sono derivate dalle unità delle grandezze fondamentali di cui sopra (come il Newton per le forze o l'Hertz). Alcune unità di misura sono riconosciute ormai nonostante non facciano parte del SI perché convenzionalmente utilizzate.

Muovendoci per ordini di grandezza (potenze di 10) si ottengono i multipli delle unità di misura solitamente utilizzati. I suffissi vanno, ingrandendo, come: deca, hecta, kilo, mega, giga, tera, peta, hexa, zetta, yotta; e diminuendo come: deci, centi, milli, micro, nano, pico femto, atto, zepto, yocto. Basti pensare a metri, centimetri, kilometri...

L'analisi dimensionale

L'analisi dimensionale è uno strumento utile per valutare a priori o a posteriori l'accordo delle misure alla soluzione di un problema. Ad esempio: voglio valutare la dipendenza del periodo di un pendolo dalla lunghezza della sua corda, dalla massa del suo smorzatore o dall'accelerazione di gravità. Tramite l'analisi dimensionale posso verificare se tutte le grandezze siano effettivamente in gioco, oppure, nel caso in cui sia di fronte ad un problema da svolgere, posso risolvere il problema dimensionalmente (tramite le unità di misura e le grandezze) prima di inserire i numeri, che potrebbe portare a calcoli inutili se il procedimento logico è errato.

Il concetto di incertezza di misura

In Fisica non esistono certezze, perché siamo esseri fallibili e rimaniamo fallibili nella nostra conoscenza della natura.

Il presupposto è che non siamo mai in grado di misurare un oggetto senza un margine di errore per molte ragioni: a. non siamo esseri infallibili; b. in quanto tali non siamo in grado di costruire strumenti infallibili; c. gli strumenti e noi andiamo continuamente in contro ad errori di vastissima zoologia difficilmente correggibili. A causa di queste accortezze nei casi in cui le misure debbano essere quanto più vicine alla realtà non possiamo trascurare le incertezze che le misurazioni si portano sempre dietro. Si dicono: misurando l'oggetto da misurare (con la sua reale grandezza); valor medio o miglior stima la misura fatta con lo strumento di propria scelta; errore massimo il margine d'errore definito come intervallo all'interno del quale siamo certi che il misurando si trovi realmente. Purtroppo non possiamo mai avere la certezza che una ripetizione della misura cada all'interno di questo intervallo e ripetere molte volte la misura potrebbe portarci ad allargare l'incertezza invece di restringerla come sarebbe ideale. Ci serviremo poco di questa nozione in favore dell'errore statistico, che è definito come l'intervallo all'interno del quale calcoliamo una certa probabilità per cui sia contenuto il misurando. L'errore assoluto è l'errore a sé stante, mentre per errore relativo si intende l'errore assoluto pesato sul valor medio a cui è associato.

Precisione ed accuratezza sono due concetti fondamentalmente differenti. Una misura ideale è sia precisa che accurata, mentre una misura molto precisa ma per niente accurata è potenzialmente più pericolosa di una misura accurata ma poco precisa. L'accuratezza si definisce come l'accordo del valore della misura al misurando; la precisione come la consistenza nei risultati di varie ripetizioni della stessa misura nelle stesse condizioni.

Piccola digressione sugli arrotondamenti

Nel caso di una misura le cifre significative di valor medio ed incertezza devono essere congrue. Nell'approssimazione, che può essere effettuata per eccesso come per difetto, si vuole ridurre il numero di informazioni in forma di cifre relativo ad una quantità senza per questo perdere troppa parte del suo significato. Anche in casi come questo è importante avere ben presente gli ordini di grandezza in gioco.

Stima dell'incertezza in condizioni di ripetività e a posteriori

Quando si ripete molte volte una misura effettuata con uno strumento e nel caso in cui le misure siano effettuate correttamente l'errore statistico deve diminuire, cioè una ripetizione delle misure porta idealmente ad un restringimento dell'intervallo del quale si trova il nostro agognato misurando: la misura diventa più precisa ed accurata. La risoluzione di uno strumento è la minima variazione di quantità che lo strumento è in grado di apprezzare. In regimi di dispersione nulla, cioè quando misure ripetute dello stesso misurando restituiscono misure sempre congrue, è lecito utilizzare come incertezza la risoluzione dello strumento.

Si può stimare poi l'incertezza di una serie di misure nel caso di fluttuazioni casuali a partire dalle nostre due grandezze di riferimento, cioè il valor medio definito come media aritmetica delle misure prese e dell'errore massimo come semidispersione. Purtroppo, come accennato, nessuno ci garantisce che nuove misure non cadano al di fuori dell'intervallo di semidispersione o che la semidispersione vada paradossalmente ad aumentare all'aumentare delle misure. A partire da questo possiamo definire l'incertezza a posteriori di una serie di misure come deviazione standard della media una specie di valore medio della somma degli scarti quadratici delle singole misure rispetto al loro valore medio. Si utilizza la somma in quadratura per evitare che incertezze negative e positive si compensino, restituendo un inesatto ed impossibile valore di incertezza nullo.

Quando siamo di fronte ad un'incertezza di tipo strumentale è possibile ridurla effettuando più misure in un'unica ripetizione: se si considera l'errore sul peso di un foglio di carta, si pensi a come questo può essere ridotto, dato che l'incertezza relativa alla bilancia non varia nei due casi, pesando una risma intera invece che un singolo foglio e dividendo poi l'incertezza per ogni foglio.

Digressione: sviluppi in serie di Taylor-McLaurin

Gli sviluppi in serie sono un ottimo strumento per approssimare e conoscere meglio funzioni di varia natura. Si passa in questo modo da un oggetto continuo, che sarebbe idealmente descritto da polinomi molto complessi, ad una somma di termini che non sono se non derivate progressivamente più grandi sull'intervallo di studio. Più termini si utilizzano nella somma più lo sviluppo sarà preciso: uno sviluppo attorno ad un punto x di ordine k, nei casi che andiamo qui a valutare, sarà tipicamente troncato al primo ordine, perché non riteniamo troppe informazioni superflue. Lo sviluppo in serie permette anche di trasformare esponenziali e rapporti in somme e sottrazioni, che sono ad occhio notevolmente più facili da calcolare.

Andamento asintotico dell'errore statistico

E' facile appurare tramite un limite dell'errore statistico sopra definito che questo cresca come 1/n al crescere di n. In pratica, se si vuole aumentare la precisione di una misura di un fattore c, bisogna aumentare il numero di misure di un fattore c alla seconda.

Primo approccio alla propagazione degli errori

L'errore massimo se indipendente si somma sempre in quadratura per evitare compensazioni anche nel caso in cui le misure si sottraggano. Nel caso di prodotto e quoziente le incertezze si sommano in quadratura e vengono pesate col valor medio della loro misura al quadrato (nel caso del quoziente, poi rapportati ad uno dei valori medi al quadrato). In questo caso è utile lavorare con gli errori relativi, che permettono di ottenere una formula generale alle due evenienze, anche questa pesata sui valori medi al quadrato.

Nel caso generale si considera come misura effettuata una generica funziona sviluppata con Taylor e troncata al primo ordine. Generalmente per una funzione multivariata si procede a sommare in quadratura le derivate parziali della funzione sulle singole grandezze per l'incertezza delle singole grandezze; nel caso di grandezze elevate ad un esponente generico gli errori relativi si sommano pesati col modulo del loro esponente, anche in questo caso in quadratura. Ricordiamo qui che una somma in quadratura è tipicamente più piccola di una somma naturale.

Compatibilità tra misure sperimentali ed approssimazioni in Fisica

Due misure si dicono compatibili quando l'intersezione fra i loro intervalli di incertezza è non nulla.

Le approssimazioni in Fisica permettono di; evitare grandezze potenzialmente rilevanti in base al loro ordine di grandezza rispetto alle altre dimensioni in gioco; trascurare incertezze di dimensione molto minore rispetto alle misure alle quali si rapportano nella misurazione; soprattutto, descrivere con un modello matematico quanto più semplice possibile senza perdite di informazioni le misure rilevate sperimentalmente. Dato il caso di una lastra di metallo con un piccolo foro al suo interno, si può trascurare il foro quando la sua dimensione è molto minore (più piccola almeno di un ordine di grandezza) rispetto all'incertezza sull'area della lastra o sul suo volume.

Errori sistematici

La zoologia degli errori sistematici, e cioè relativi agli strumenti utilizzati, e varia e tipicamente imprevedibile. Generalmente gli errori più comuni sono l'errore di zero, cioè quando il risultato di misurazione ha una costante additiva diversa da zero rispetto al misurando o al modello, e errore di scala, cioè quando il risultato di misurazione ha una costante moltiplicativa diversa da uno rispetto al misurando o al modello. Gli errori sistematici sono generalmente rilevabili se si ha a disposizione un secondo strumento di risoluzione maggiore o meglio calibrato. Per identificarli è utile ripetere più volte possibili la misurazione e servirsi di un modello. In questo caso si può ovviare agli errori stessi tramite calibrazione oppure sostituzione. Gli errori sistematici purtroppo non sono indipendenti tra loro e non seguono quindi i principi di propagazione dettagliati sopra.

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