Macierzą nazywamy prostokątną tablicę liczb, złożoną z \(m\) wierszy i \(n\) kolumn
\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\end{bmatrix}\]
Symbol \(a_{ij}\) oznacza liczbę rzeczywistą. Krótko macierz zapisuje się jako \( [a_{ij}]\), gdzie \(i=1,\ldots,m\) oraz \(j=1,\ldots,n\). Liczbę \(m\) nazywamy liczbą wierszy a liczbę \(n\) nazywamy liczbą kolumn.
Jeżeli \(m=n\), to macierz nazywamy kwadratową. Macierz postaci
\[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 0 & 0& \cdots & 1 \\end{bmatrix}\] nazywamy macierzą jednostkową. Dodawanie i odejmowanie macierzy definiujemy następująco
\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\end{bmatrix} = \]
\[ = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11}& a_{12} + b_{12}& \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\\\ a_{21} + b_{21}& a_{22} + b_{22}& \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}\\end{bmatrix}\]
\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\end{bmatrix} = \]
\[ = \begin{bmatrix} a_{11} - b_{11}& a_{12} - b_{12}& \cdots & a_{1n} - b_{1n} \\\\ a_{21} - b_{21}& a_{22} - b_{22}& \cdots & a_{2n} - b_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{m1} - b_{m1} & a_{m2} - b_{m2} & \cdots & a_{mn} - b_{mn}\\end{bmatrix}\]
Mnożenie macierzy przez liczbę \(k\in\mathbb{R}\) polega na przemnożeniu każdego elementu macierzy przez tę liczbę
\[ k\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}k a_{11} & k a_{12}& \cdots & k a_{1n} \\\\ k a_{21} & k a_{22}& \cdots & k a_{2n} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ k a_{m1} & k a_{m2} & \cdots & k a_{mn} \\end{bmatrix} \]
Mnożenie macierzy \(A=[a_{ij}]\) oraz \(B=[b_{ij}]\) określamy jako \(AB=[c_{ij}]\), przy czym \[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{in}b_{nj},\] gdzie \(i=1,\ldots,m\) oraz \(j=1,\ldots,n\).
Przy mnożeniu macierzy \(A\) przez macierz \(B\) liczba kolumn w macierzy \(A\) musi być równa ilości wierszy w macierzy \(B.\)
Uwaga. Mnożenie macierzy nie jest przemienne tzn. zwykle \(AB\neq BA.\)
Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej \(A\) to taka macierz \(B,\) że \(AB=I\). Taką macierz \(B\) oznaczać będziemy przez \(A^{-1}.\)
Oczywiście \(AA^{-1}=A^{-1}A=I.\)
Macierzą transponowaną do macierzy \(A=[a_{ij}]\) nazywamy macierz \(B=[a_{ji}]\). Oznacza to, że żeby otrzymać macierz transponowaną należy kolumny macierzy \(A\) zapisać jako kolumny macierzy transponowanej.
Wyznacznik macierzy kwadratowej \(A,\) to liczba określona zależnością indukcyjną
\(\textrm{det}\ A = a_{11},\) gdy \(n=1,\)
\(\textrm{det}\ A = \sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\textrm{det}\ A_{ij},\) gdzie \(A_{ij}\) to macierz powstała z macierzy \(A\) poprzez wykreślenie wiersza o numerze \(i\) oraz kolumny o numerze \(j.\)
Wyznacznik macierzy \(A\) oznacza się często przez \(|A|.\)
