Na poziomie matematyki elementarnej tj. szkolnej, zwykle rozważa się zbiory liczb naturalnych - \(\mathbb{N}\), całkowitych - \(\mathbb{Z}\), wymiernych - \(\mathbb{W}\) oraz rzeczywistych - \(\mathbb{R}\).
Kolejne rodzaje zbiorów pojawiają się w kontekście różnych typów równań algebraicznych.
Przypomnijmy, że liczby naturalne to
\[\mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}.\]
Żadna z liczb \(x\in\mathbb{N}\) nie jest rozwiązaniem tego równania. Dlatego wprowadza się liczby całkowite. Wtedy \(x=-2\in\mathbb{Z}\) staje się rozwiązaniem. Warto odnotować, że gdyby w równaniu zamiast liczby 3 była inna liczba większa lub równa 5, to poszukiwana niewiadoma \(x\) byłaby ze zbioru \(\mathbb{N}.\) Liczby całkowite to
\[\mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,\ldots\}.\]
Poszukiwanie rozwiązań wśród liczb całkowitych \(\mathbb{Z}\) doprowadza nas do wniosku, że nie ma takiej liczby, która spełnia to równanie. Jeżeli dopuścimy liczby wymierne, czyli
\[\mathbb{W}=\left\{\frac{p}{q} : p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{N}\right\},\]
to rozwiązaniem ostatniego równania jest \(y=\frac{7}{3}.\) Warto zauważyć, że gdyby w równaniu zamiast liczby \(7\) występowała np. liczba \(9,\) to rozwiązaniem równania byłaby liczba naturalna.
Kolejne wyzwanie to rozwiązać równanie
Wiemy, że rozwiązaniem są dwie liczby \(z_1=\sqrt{2}, z_2=-\sqrt{2}.\) Nie są to jednak liczby wymierne. Nazywamy je niewymiernymi. Liczby wymierne i niewymierne razem tworzą liczby rzeczywiste \(\mathbb{R}.\) Gdyby zamiast liczby \(-2\) była np. liczba \(-4\), wtedy rozwiązaniem byłyby liczby całkowite (szczególny przypadek liczb wymiernych).
Co jednak z podobnym równaniem
\[z_1=\sqrt{-1}, z_2=-\sqrt{-1}.\]
Na poziomie matematyki elementarnej taki działania są niedopuszczalne. Wszyscy pamiętamy ze szkoły, że nie można pierwiastkować rzeczywistych liczb ujemnych.
Naturalne pytanie, to czy istnieje inny zbiór liczb - większy od zbioru liczb rzeczywistych, w którym będzie można rozwiązywać równania jak powyższe?
Odpowiedź jest pozytywna. Takim zbiorem są liczby zespolone \(\mathbb{C}.\)
Pamiętamy ze szkoły, że liczby rzeczywiste można było umieścić na osi liczbowej w postaci punktu.
A może opisać w jakiś sposób punkty na płaszczyźnie i tak stworzyć nowe liczby (nowe, bo są również poza osią liczbową).
Niech w związku z tym punkt na płaszczyźnie będzie oznaczony jednym symbolem
gdzie \(a, b\in\mathbb{R}.\) W związku z tym utożsamiamy nową liczbę z dwiema liczbami (takie dwie liczby można tworzą wektor dwuwymiarowy). Taki zbiór par liczb będziemy oznaczać \(\mathbb{C}.\)
Dla takich nowych liczb \(z\) możemy zaproponować działania arytmetyczne. Niech \(z_1=(a_1,b_1), z_2=(a_2,b_2)\) będą nowymi liczbami, czyli \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\). Wtedy
a) \(z_1+z_2=(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2),\)
b) \(z_1-z_2=(a_1,b_1)-(a_2,b_2)=(a_1-a_2,b_1-b_2),\)
c) \(z_1z_2=(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,b_1a_2+a_1b_2),\)
d) \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{(a_1,b_1)}{(a_2,b_2)}=((a_1a_2+b_1b_2)+(b_1a_2-a_1b_2),a_2^2+b_2^2).\)
Przyjmijmy następujące oznaczenie \(\imath=(0,1)\in\mathbb{C}.\) Będzie to pewna wyróżniona liczba w zbiorze liczb zespolonych.
Zauważmy, że liczba zespolona postaci \((a,0)\) może być utożsamiana z liczbą rzeczywistą \(a\).
Zwróćmy uwagę na następujące działanie
\[\imath^2=\imath\cdot\imath=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1.\]
Wtedy dostajemy \(\imath^2=-1.\) Wyraźnie zwróćmy uwagę, że \(\imath\) nie jest symbolem liczby rzeczywistej a symbolem liczby zespolonej \((0,1).\) W związku z tym w zapisie \(\imath^2=-1,\) czyli \((0,1)^2=-1,\) nie ma żadnej sprzeczności. W nowym świecie liczb tak po prostu jest.
Na samym początku wprowadzając kolejne typy liczb, które pozwalały wykonywać kolejne typy działań. W świecie liczb zespolonych mamy \(\imath^2=-1.\)
Dopuszczenie zapisu \(\imath^2=-1\) nie zawsze było akceptowalne. Ma to odzwierciedlenie w nazwie liczby \(\imath\) jako jednostki urojonej.
Przypomnijmy, że w przypadku wektorów możemy mnożyć je przez liczbę tj. \[k(a,b)=(ka,kb),\] gdzie \(k,a,b\in\mathbb{R}.\)
Zastosujmy powyższe rzeczy dla liczby zespolonej
\[z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+b(0,1)=a+b\imath.\]
Pamiętajmy jednak zawsze, że dokonujemy utożsamienia \(a=(a,0)\) oraz \(\imath=(0,1).\)
Od tej pory każdą liczbę zespoloną możemy zapisywać jako
gdzie \(a,b\in\mathbb{R}.\)
Dla tak zapisanych liczb możemy przepisać wzory na działania arytmetyczne
a) \(z_1+z_2=(a_1+b_1\imath)+(a_2+b_2\imath)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\imath,\)
b) \(z_1-z_2=(a_1+b_1\imath)-(a_2+b_2\imath)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)\imath,\)
c) \(z_1z_2=(a_1+b_1\imath)(a_2+b_2\imath)=\)
\(=a_1a_2+a_1b_2\imath+a_2b_1\imath+b_1b_2\imath^2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\imath,\)
d) \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1+b_1\imath}{a_2+b_2\imath}=[(a_1a_2+b_1b_2)+(b_1a_2-a_1b_2)]+(a_2^2+b_2^2)\imath.\)
Jeżeli \(z=a+b\imath,\) to \(a=Re(z)\) nazywamy częścią rzeczywistą a \(b=Im( z)\) nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej \(z.\)
\(3+2\imath\) - liczba zespolona z częścią rzeczywistą i urojoną,
\(5\) - liczba zespolona bez części urojonej,
\(-10\imath\) - liczba zespolona bez części rzeczywistej,
\(\imath\) - jednostka urojona, liczba zespolona bez części rzeczywistej.
Dla dowolnej liczby zespolonej \(z=a+b\imath\) istnieje liczba \(\overline{z}=a-b\imath\) zwana liczbą sprzężoną do \(z.\)
\(z=-3+4\imath\) - liczba zespolona.
\(\overline{z}=-3-4\imath\) - liczba sprzężona.
Modułem liczby zespolonej nazywamy liczbę
\(z=4-3\imath\) - liczba zespolona.
\[|z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\] - moduł liczby \(z\).
Każdą liczbę zespoloną \(z=a+b\imath \neq 0\) można zapisać w postaci trygonometrycznej
\[z=|z|\left(\cos\alpha+ \imath\sin\alpha\right),\]
gdzie \(\sin\alpha=\frac{a}{|z|}, \cos\alpha=\frac{a}{|z|}.\)
\(z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\imath\)
Moduł tej liczby jest równy
\(|z|= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{1}=1.\)
Szukamy kąta \(\alpha\) takiego, że
\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
Tym kątem jest \(\alpha=\frac{\pi}{4}.\) Wtedy
\(z=1(\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \imath)=\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \imath.\)
Postać trygonometryczna ułatwia wykonywanie działań na liczbach zespolonych. Niech
\[z_1=|z_1|\left(\cos\alpha+ \imath\sin\alpha\right),\]
\[z_2=|z_2|\left(\cos\beta+ \imath\sin\beta\right).\]
\[z_1z_2=|z_1|\cdot|z_2|\left(\cos(\alpha+\beta)+ \imath\sin(\alpha+\beta)\right)\]
\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|
}{|z_2|}\left(\cos(\alpha-\beta)+ \imath\sin(\alpha-\beta)\right).\]
\(z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\imath\),
\(z_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\imath\).
\(z_1=\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \imath\),
\(z_2=\cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3} \imath\).
\[z_1z_2=1\cdot 1 \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)+ \imath\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)\right)=\]
\[=\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+ \imath\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right).\]
\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{1}{1} \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right)+ \imath\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right)\right)=\]
\[=\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)+ \imath\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right).\]
Potęgowanie licz zespolonych - Wzór de Moivre'a
Niech \(z=|z|\left(\cos\alpha+ \imath\sin\alpha\right), n\in\mathbb{N}\) Wtedy
\[z^n=|z|^n\left(\cos n\alpha+ \imath\sin n\alpha\right).\]
\(z=\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \imath,\)
\(z^9=1^9\left(\cos \frac{9\pi}{4} + \sin \frac{9\pi}{4} \imath\right)=\cos \frac{9\pi}{4} + \sin \frac{9\pi}{4} \imath.\)
