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INECUACIONES CUADRATICAS

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos números, una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad..

Dada la ecuación de segundo grado, las soluciones vienen dadas por la fórmula: ax2+bx+c=0

En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (-1) toda la inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los demás términos y el orden de la desigualdad). Ejemplo de la siguiente ecuación : 1x² − 6x + 8 > 0 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. x² − 6x + 8 = 0

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

Los puntos extremos están en blanco porque no pertenecen a la solución, ya que no es mayor o igual

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio. Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución Nota cuando la ecuación sea mayor que > 0 al graficar la solución serna los extremos y cuando la ecuación indique que es me menor que < 0 la solución sera el centro

https://www.youtube.com/watch?v=_uW4nVdCWzQ

Desigualdades parte 2

La parte importante de las desigualdades es que puede haber múltiples soluciones. Por ejemplo, la desigualdad “31 ≥ el número de días en un mes” es un enunciado verdadero para cada mes del año — no hay meses con más de 31 días. Es verdadero para Enero, que tiene 31 días (31 ≥ 31); Septiembre, que tiene 30 días (31 ≥ 30); y Febrero, que tiene 28 o 29 días dependiendo del año (31 ≥ 28 y 31 ≥ 29).

La desigualdad x > y también se puede escribir como y < x. Los lados de cualquier desigualdad se pueden cambiar uno por otro siempre y cuando el símbolo de desigualdad también se cambie.

Representando Desigualdades en la Recta Numérica

Las desigualdades se pueden graficar en la recta numérica. Abajo se muestran tres ejemplo de desigualdades y sus gráficas

x < 2

x ≤ −4

x ³ −3

Cada una de estas gráficas empieza con un círculo — ya sea un círculo abierto o uno cerrado (rellenado). Este punto normalmente se llama punto final de la solución. Un círculo cerrado, o rellenado, se usa para representar desigualdades del tipo mayor o igual a () o del tipo menor o igual a (). El punto es parte de la solución. Un círculo abierto se usa para mayor que (>) o menor que (<). El punto no es parte de la solución.

La gráfica se extiende infinitamente en una dirección. Esto se muestra con una línea con una flecha. Por ejemplo, observa que para la gráfica de mostrada arriba, el punto final es −3, representado con un círculo cerrado porque la desigualdad es mayor o igual a −3. La línea azul se dibuja hacia la derecha del número porque los valores del área son mayores que −3. La flecha indica que las soluciones continúan indefinidamente.

Ejemplo

Problema

Comprueba que x < 2 es la solución de x + 3 < 5.

Sustituye el punto fina 2 en la ecuación relacionada, x + 3 = 5.

Escoge un valor menor que 2, como el 0, para comprobar la desigualdad. (Este valor estará en la parte sombreada de la gráfica.)

Respuesta

x < 2 es la solución de x + 3 < 5.

Desigualdades

Una desigualdad es un enunciado matemático que compara dos expresiones usando el signo de desigualdad. En una desigualdad, una expresión de la desigualdad puede ser más grande o más chica que la otra expresión. Se utilizan símbolos especiales en estos enunciados. El recuadro siguiente muestra el símbolo, el significado, y un ejemplo de cada signo de desigualdad.

Signos de Desigualdad

x y x no es igual a y.

Ejemplo: El número de días en una semana no es igual a 9.

x > y x es mayor que y. Ejemplo: 6 > 3

Ejemplo: El número de días en un mes es mayor que el número de días en una semana.

x < y x es menor que y.

Ejemplo: El número de días en una semana es menor que el número de días en un año.

x es mayor o igual a y.

Ejemplo: 31 es mayor o igual al número de días en un mes.

x es menor o igual a y.

Ejemplo: La velocidad legal de un carro en una zona de 25 mph es menor o igual a 25 mph.

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas, ≤ y ≥

Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la condición de la equivalencia.

ELIPSE

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano tal que la suma de las distancia a dos puntos fijos (focos) situados en el mismo plano es una cantidad constante

.

El elipse tendrá dos focos

para sacar los valores de eje mayor y eje menor se ocupa las siguientes formulas

Eje mayor=2a

Eje menor =2b

para sacar el lado recto se ocupa la formula

para sacar la excentricidad se ocupa la formula

a siempre sera mayor que b,

dependiendo de si el valor se encuentra en x o y sabrás hacia donde se va a abrir el elipse pero (a) siempre se posicionara en el lugar que tenga mayor valor

en este problema lo que esta haciendo es igualar a 144 a 1 por lo tanto debe de dividirlo por si mismo e igual a los otros términos que son 9x^ 2 e 16y^2

después para sacar el resultado de 16 y 9 lo que paso es que despejaron a x e y de tal manera que quedaran solas los términos 9 y 16 están multiplicando pasaran a dividir los términos 144 que en todo caso quedara

x^2/144/9 + y^2/144/16

y se realiza la división quedando :

x^2/16 + y ^2/9

luego a los resultados que te salieron de en este caso 16 y 9 se les debe de sacar raíz cuadrada. quedando 4 en vez de 16 y 3 en vez de 9

como podemos observar en este caso el que tiene mayor valor es 4 y se encuentra en x^2 entonces el eje mayor se encontrara hacia las x, y b que tiene el valor de 3 que es menor que 4 se encontrara en dirección de y.

LINEA RECTA-PENDIENTE:

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas sean (x1, y1) y (x, y2) dos puntos de una recta, no paralela al eje Y la pendiente:

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje X positivo.

Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva, si la pendiente es menor que 0 se dice que la pendiente es negativa, si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (x) del plano cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (y) del plano cartesiano

RECTA PARALELA:

Se denominan rectas paralelas a las líneas que mantienen una X distancia entre sí, y que, aunque prolonguemos su trayectoria hasta el infinito, nunca, en ningún punto sus trazos pueden, tocarse, encontrarse, es decir, entre ambas líneas, se establece una relación de paralelismo.

RECTA PERPENDICULAR:

Dos rectas en el plano son perpendiculares si entre ellas forman un angulo de 90 grados o también llamada angulo recto en un sistema de coordenadas, el producto de las pendientes de ambas rectas es -1.

Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano) , con abscisas (x) y ordenadas (y) .

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0

Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto (7, 3) y es paralela a la recta que tiene por ecuación 3x + y + 1 = 0

Ecuación simétrica

La recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.

a es la abscisa en el origen de la recta.

b es la ordenada en el origen de la recta.

Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.

Si y = 0 resulta x = a.

Si x = 0 resulta y = b.

Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos:

1.-Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n

2.-Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k

3.-Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.

Ejemplos:

1.- Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuación.

2.- Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4). Hallamos la ecuación en forma continua:

Puedes consultar en You Tube: http://www.vitutor.com/geo/rec/e_12.html

Aqui encontraras una descripcion de la forma y utilidades que tiene la ecuacion de la recta en su forma canonica, seguro sera de tu agrado

LA CIRCUNFERENCIA

Es el conjunto de todos los coplanares que son equidistantes de otro punto o del mismo plano, este punto se llama centro

RADIO: Segmento determinado por un punto cualquiera de la circunferencia y el centro de la mismo circulo.

DIÁMETRO: Es la recta que une dos puntos de la circunferencia que siempre pasa por el centro.

ARCO:: cualquier curva continua que une dos puno de la circunferencia.

CUERDA:Dos puntos de una circunferencia que se unen por una recta ( no pasa por el centro la recta y no sale del circulo )

SECANTE: Una recta secante a una circunferencia es la que intercepta en mas de un punto o Una recta secante es una recta que corta una curva en dos diferentes puntos.

TANGENTE: Que intercepta un solo punto.

DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Ecuación en su forma ordinaria, ecuación de la circunferencia con centro en el punto C (h,k)

Un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TICUPE, es un polinamio de tres términos (también llamado común ) que resulta de elevar al cuadrado un binomio de un trinomio.

Todo trinomio de la forma:

cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el triple del primer por el segundo término, más el cuadrado del primer término

para sacar los valores de K , H y radio teniendo la ecuación general o renombrada

2 BLOQUE

Formulas.

Rectas Perpendiculares.

Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Si la pendiente de la primera ecuación es 4, entonces la pendiente de la segunda ecuación será porque las rectas son perpendiculares

Puedes probar las pendientes para ver si las rectas son perpendiculares multiplicando las dos pendientes. Si son perpendiculares, el producto de las pendientes será −1.

Cuando trabajas con rectas perpendiculares, normalmente tendrás una de las rectas y un punto adicional.

Problema

Escribir la ecuación de una recta que contenga el punto(1, 5) y sea perpendicular a la recta y = 2x – 6.

La recta dada se escribe en la forma y = mx + b, como m = 2 y b = -6. La pendiente es 2.Identifica la pendiente de la recta con la que tu recta debe ser perpendicular.

La pendiente de la recta paralela es -1/2 .Para encontrar la pendiente de una recta perpendicular, encuentra el recíproco 1/2 y luego su opuesto, -1/2

Usando el método de escribir una ecuación a partir de su pendiente y un punto en la recta. Sustituye por m, y el punto (1, 5) por x y y.

Resuelve b.

Respuesta

Escribe la ecuación usando la nueva pendiente para m y la b que acabas de encontrar.

Rectas Paralelas

Ejemplo Cuando dos rectas en un plano coordenado nunca se cruzan, se llaman rectas paralelas.

Dos rectas no verticales en un plano son paralelas si tienen:

o la misma pendiente

o distintas intersecciones en y

Cualquier par de rectas verticales en un plano son paralelas.

Identifica la pendiente de la recta dada.

Una recta paralela a la recta dada tiene la misma pendiente.

y = mx + b

Ejemplo

Problema

Encontrar la pendiente de una recta que es paralela a la recta y = −3x + 4.

La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = −3 y b = 4. La pendiente es −3

La pendiente de la recta paralela es −3

Ejemplo

ProblemaDetermina si las rectas y = 6x + 5 y y = 6x – 1 son paralelas.

La recta dada se escribe como y = mx + b con m = 6 para la primera recta y m = 6 para la segunda recta. La pendiente de ambas rectas es 6.

Identifica la pendiente de la recta dada.

La primera recta tiene una intersección en y en (0, 5), y la segunda recta tiene una intersección en y en (0, −1). No son la misma recta.

Observa b, el valor de y de la intersección en y, para ver si las rectas son la misma, en cuyo caso no decimos que son paralelas.

Respuesta

Las rectas son paralelas. Las pendientes de las rectas son las mismas y tienen diferentes intersecciones en y, entonces no son la misma recta y son paralelas.

Problema

Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a la recta x – y = 5 y pase por el punto (−2, 1).

x – y = 5

−y = −x + 5

y = x – 5

Reescribe, si es necesario, la recta que quieres que sea paralela de la forma

y = mx + b.

En la ecuación anterior, m = 1 y b = −5.

Como m = 1, la pendiente es 1.

Identifica la pendiente de la recta dada.

La pendiente de la recta paralela es 1.

Para encontrar la pendiente de una recta paralela, usa la misma pendiente.

y = mx + b

1 = 1(−2) + b

Usa el método para escribir una ecuación a partir de la pendiente y un punto en la recta. Sustituye 1 por m, y el punto (−2, 1) por x y y.

1 = −2 + b

3 = b

Resuelve b.

Respuesta y = x + 3

Escribe la ecuación usando la nueva pendiente para m y la b que acabas de encontrar.

Como plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema.

Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2 rectas perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y. (x,y)

LEY DE HERON

En geometría plana elemental la fórmula de Herón, cuya invención se atribuye al matemático griego Herón de Alejandría,da el área de un triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados a, b y c:

Donde el s es el semiperimetro del triángulo

Ejemplo de división de un segmento en una razón dada :3

División de un segmento en una razon dada.

Consideramos como el proceso de “Dividir un segmento en una razón dada” aquel el cual consiste en determinar una posición (P) del elemento en cual se encuentra el suso dicho (Segmento) dado entre dos puntos (A)y (B), de tal manera que el segmento (AP) dividido entre el segmento (PB) da como resultado la razón.

Ahora, para obtener las coordenadas de un punto 'P', que divida a un segmento en una razón dada, se sigue las siguiente fórmulas:

El valor de x2 se multiplica por la razón y se divide entre la suma de 1 más la razón. Así, se obtiene la abscisa del punto 'P'. La ordenada, se obtiene de manera análoga.

Aqui un video donde se explica a detalle sobre el tema: https://youtu.be/UQoxAGWd6Ac

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Se ilustra geométricamente el concepto de división de un segmento en una razón dada.

Dividir un segmento dirigido en una razón dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se encuentren las coordenadas de un punto que satisface la comparación entre dos magnitudes.

En general, si la razón es de la forma , implica que el segmento se divide en a + b partes. Por ejemplo, si , el segmento se divide en 11 partes iguales.

Sean los puntos, así como el segmento de recta que los une:

Sea un punto que pertenezca al segmento. Si se forman los triángulos mostrados, se observa que son semejantes. Esto es: y

Donde r es la razón de proporcionalidad de semejanza.

Si se despeja se tiene:

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