Mittelwert und Varianz
Mittelwert und Varianz diskreter Zufallsgrößen mit endlicher Ergebnismenge zu berechnen ist eine Standardaufgabe. Dabei helfen die vielfältigen Statistik-Funktionen des CAS nur bedingt weiter. Besser man hält sich an die Definitionen und ein paar Grundfunktionen. Daher betrachte ich zunächst den Befehl für das arithmetische Mittel: mean. Dieser Befehl kann schon beim Berechnen des Durchschnitts einer Klassenarbeit nützlich sein, wenn der Zensurenspiegel bekannt ist. Aus diesem Anlass erkläre ich ihn auch meinen Schülerinnen und Schülern :-)
Im Falle von Wahrscheinlichkeiten ergibt die Summe der zweiten Liste genau eins. Dann sind die Teile gleich den Anteilen, was zu leichter verständlichen Berechnungen führt.
Nun zu einem ersten Beispiel, bei dem die Formeln für Erwartungswert und Varianz vorgestellt werden, obwohl sie noch nicht unbedingt nötig sind. In einer Liste erg wird die Ergebnismenge der Zufallsgröße notiert, in einer zweiten Liste wsk die zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten, also die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße.
Bei Gleichverteilung ist der Erwartungswert gleich dem Mittelwert der Werte, die die Zufallsgröße annehmen kann (hier: Augenzahlen beim Würfeln). Die Varianz ist der Mittelwert der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert. Die alternativ angegebenen Berechnungen sind die allgemein gültigen gemäß den Definitionen von Erwartungswert und Varianz. Sie benutzen entweder die Multiplikation zweier Listen mit anschließender Summierung oder, äquivalent dazu, das gewichtete arithmetische Mittel, wie oben erklärt. Im zweiten Beispiel werden die Einzelwahrscheinlichkeiten nun wirklich gebraucht:
Angegeben ist hier auch die äquivalente Formel Var(X)=E(X²)-(E(X))².
Wenn man sich die Formeln für die Varianz nicht merken möchte, kann man alternativ einen Statistik-Befehl (varPop) verwenden:
Wie schon notiert, kann die Liste wsk hierfür nicht direkt verwendet werden, sondern muss durch einen geeigneten Faktor “erweitert” werden, sodass nur noch ganzzahlige Werte vorliegen. Bei dezimalen Werten kann dies immer eine hinreichend große Zehnerpotenz sein. Bei dem zweiten Beispiel oben müsste man allerdings den Hauptnenner der Einzelwahrscheinlichkeiten verwenden.
Die Populations-Varianz ist nach Definition genau das arithmetische Mittel der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert bei einer Stichprobe mit Häufigkeitsliste. Dazu noch ein abstrakteres Beispiel, welches die Gleichheit verdeutlicht. Es wird exemplarisch die Häufigkeitsliste {1,2,3} verwendet:
Die Populations-Varianz wird auch empirische Varianz genannt und erwartet als zweite Liste die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Ergebnisse. Daher kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht direkt benutzt werden
Die beiden Statistik-Funktionen varSamp bzw. stDevSamp (deutsch:Stichproben-Varianz bzw. Stichproben-Standaradabweichung) implementieren die korrigierten Größen [mit dem Faktor 1/(n-1) statt 1/n ] und sind hier im Kontext der Zufallsgrößen nicht zu gebrauchen. Der eigentliche Zweck dieser Befehle ist ja auch die Auswertung von Stichproben bzw. Vollerhebungen und nicht die Berechnung von Erwartungswert, Varianz oder Standardabweichung bei einer Zufallsgröße.
Es ist daher didaktisch nicht unbedingt zweckmäßig, sie in diesem Zusammenhang einzuführen. Auch kann auf den mean-Befehl komplett verzichtet werden, weil sum() ausreicht. Jedoch ist die Analogie Mittelwert vs. Erwartungswert recht intuitiv anwendbar.
Der Schwerpunkt bei der Lösung von Schulbuchaufgaben liegt ohnehin meist auch auf der richtigen Ermittlung der Ergebnismengen (z.B. Gewinne bei einem Glücksspiel) und der Einzelwahrscheinlichkeiten. Eine typische Frage ist dann zum Beispiel, ob das Spiel fair ist, das heißt, ob der Erwartungswert des Gewinns null ist.