Szomorú vagyok. Mesélnél nekem a Taylor-sorokról?
Hát, nem tudom, hogy egy Taylor-sorokról szóló mese mennyiresegít a szomorúságon. Leszámítva talán az olyan mesét, mint “két Taylor-sor beszélget: -Nem konvergálok, most mit csináljak? -Szilvás buktát, mert az szeretem!” De van, aki ilyenekre bukik.
Kétféle jószágtípus van, egyik hőmérséklettel, meg hullámokkal dolgozik, másik meg erőhatásokkal. Előbbi szerint csak hullámfüggvények vannak, utóbbi szerint, meg csak polinomok. Jó, tudják, hogy van pl. pina is, de megelégszenek ezekkel a függvényekkel, mert remekül lehet közelíteni a kívánt jelentségeket. Miért? Már Newton is rájött arra, hogy deriválni és integrálni polinomokat könnyű. Deriválással x^n-ből n*x^(n-1) lesz, integrálással meg x^(n+1)/(n+1). Mivel tudjuk, hogy az összegeket, meg a számmal való szorzásokat a deriválás/integrálás nem báncsa, ezért már most tudunk böszme n-ed fokú polinomokat is integrálni, deriválni. Szóval Newton ott ábrándozott az almafa alatt, hogy “de jó lenne, ha minden függvényt lehetne polinomokkal közelíteni, s nem kéne vért hugyozni az e^(-x^2) kiintegrálásához!”
Gondoljuk hát meg, hogy lehet két polinom egyenlő? Már középiskolás korunkban is, anyánk beleköpött volna a tojásos nokedlinkba, ha nem azt mondtuk, hogy ha minden együtthatójuk egyenlő. Viszont már nem vagyunk középiskolások, ezért ha egy kicsit deriválgatunk, akkor
kijön, hogy két polinom egyenlő, ha az összes deriváltjuk a nullában egyenlő. Naná, mert a polinom hasába 0-t írva minden büdös tagja eltűnik, leszámítva a legelsőt. Ha a k-dik deriváltat nézzük, akkor annak az első tagja meg pont az eredeti polinom k-adik tagja lesz (szer k faktoriális, de részleteken ne akadjunk fel). Annak nem sok értelme van, hogy egy függvény n-edik tagjának együtthatója, de az már nem vérmes hülyeség, hogy a függvény k-adik deriváltjának értéke a 0-ban. Fel is kiálthatunk hát, hogy két függvény egyenlő, ha az összes deriváltjaik értékei egy pontban egyenlőek, oszt jóvan!
Persze a BME-n erre megkapnánk a kegyelem kettest, de nem. Egyfelől, hogy tuti piszok szemét legyen a világ, vannak olyan függvények amelyek egyszer sem, meg sehol sem deriválhatóak, így ezekre a fenti gondolatmenetünket papírgalacsin formájában feldughatjuk a seggünkbe. Másrészt, ha még végtelen sokszor deriválhatóak a függvények egy pontban, és ezek a deriváltak megegyeznek, még akkor is különbözhetnek. Hát akkor mi a vödör galambfos van? Ha mást nem, akkor ha veszünk egy f függvényt, ami végtelen sokszor diffható 0-ban, akkor vehetünk egy végtelen sort is, amire
De, a matetikus bácsi, annak a polinomnak hanyatt esett nyolcas a fokszáma neki, s aztat még a matetikus bácsi még nem definiálta aztat! Nem, meg nem is fogom. Annyit viszont elég tudni, hogy a T_f, az nem más, mint T_{f,n} határértéke, ahogy n tart a végtelenbe. Viszont T_{f,n} az egy polinom, s valamilyen értelemben jó. Méghozzá Taylor azt mondta, hogy minden a 0 egy környezetében diffható f esetén:
x az persze benne van ebben a környezetben. Körülbelül ennyi.
Hát hova szarjak, hogy el ne lopják?! De ha nézünk egy példát, amiről Newton példánkban álmodozott, pl. azt mennyi e^(-x^2) integrálja a [0,1]-n.
Azaz egész pöpec közelítést kaptunk. Aki meg nem érti, hogy miért is jó ezt az integrált tudni, az álljon a sarokba és szégyellje össze magát!
pixelskylines
turnnoffyourmind
prguitarman
romaincrisis
amandla
gamechangershow
