#primitivas

[mathematicus]

Resolvemos la pregunta 7 del examen de Análisis Matemático I de Ciencias Físicas de la UNED de Febrero de 2000.

[seguncoco]

En las sociedades primitivas el individuo no casado lleva una vida material precaria. #moscovici citado por JJ Brunner #primitivas

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Calculo: Integrales y Primitivas

                                                   PRIMITIVAS

Sean f y F definidas en los intervalos [a,b] como continuas en los numeros reales; Decimos que F es una primita de f en [a,b] si F es derivable en (a,b) y se cumple:

F'(x) = f(x)     ∀x (a,b)

Si F es primitiva de f en algún intervalo, escribimos ∫f(x) dx = F(x) + C

                                          PRIMITIVAS INMEDIATAS

Podemos resolverlas de golpe, no son todas las que existen pero con estas pueden solucionarse otras que no son inmediatas de golpe. Como podemos apreciar la parte derecha corresponde a la primitiva inmediata de la integral izquierda:

∫(k)dx = k*x +                                   si k es constante

∫(x^s)dx = [x^(s+1)]/s+1 + C             si s <> 1

∫(1/x)dx = ln|x| + C

∫(e^x)dx = e^x + C

∫sen(x)dx = -cos(x) + C

∫Cos(x)dx = sen(x) + C

∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C

Asi mismo todas las primitivas tienen varias propiedades algebráicas

∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx                      si k pertenece a los numeros reales.

∫(f(x)+g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

∫(2sen(x)-cos(x)) dx = 2∫sen(x) - ∫cos(x) = -2cos(x) - sen(x) + C

                 MÉTODO DE SUSTITUCION|CAMBIO DE VARIABLE

Conocida como la regla de la cadena, si F(t) y g(x) son funciones derivables, entonces la funcion compuesta F(g(x)) es derivable, y su derivada es F'(g(x))*g'(x).

∫F'(g(x))*g'(x) = F(g(x)) + C

Ejemplos de esto sería:

∫e^2x dx

∫xsen(x^2)dx

∫1/xln(x)dx

                        MÉTODO DE INTEGRACION POR PARTES

Sabiendo que el producto de funciones se realiza de la siguiente formula (teniendo en cuenta que f(x) y g(x) son derivables:

f(x)*g(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

∫f(x)g'(x)+f(x)g'(x) = f(x)*g(x) - ∫f'(x)*g(x)

Ejemplos de esto sería

∫xcos(x) dx

∫xe^x dx

∫(x^2)sen(x) dx

               CALCULO DE PRIMITIVAS; FRACCIONES RACIONALES

Una fraccion racional es el cociente de dos polinomios como por ejemplo: (-2x)/[(x+1)((x^2)+1)]. Por lo general, lo importante es que ocurre en el denominador, y decimos ue tienen factores lineales si solo poseen una x y cuadráticos si hay dos (dado que una funcion cuadrática es x^2+x como mínimo.

                                                 INTEGRALES

Si f(x)>=0 entonces la integral definida de b-a es ∫f(x)dx es el recinto delimitado por:

La curva y - f(x).

El eje OX.

Las recas x - a; x - b.

                                   DEFINICION DE INTEGRAL

Sea f una funcion continua en [a,b] para numeros reales, entonces las sucesiones In(f) y Sn(f) son convergentes (es decir, su funcion superior e inferior se acoplan. Asi pues el limite de n que tiende hacia infinito es la resta de ambas funciones. lim In(f) - lim Sn(f)

Llamamos integral de f en [a,b] a dicho límite que se representa como ∫f(x)dx [recordando que debemos de poner b,a arriba y abajo. Dicha integral será In(f)<=∫f(x)dx<=Sn(f).

Cuantos mas "segmentos" (n) en una integral cojamos, mas fiable será la respuesta, es decir, intentar representar 1/3 es mucho mas facil con multiplos de 3 que con cualquier otro tipo de numeros.

                       PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS INTEGRALES

Linealidad de la integral: Si f,g son dos funciones continuas en [a,b] y son multiplos de ciertos k,j entonces:

∫(kf+jg) = k∫f + j∫g

Aditividad: Si f es una funcion continua en [a,b] y c pertenece a (a,b) entonces la funcion f se cumple que, independientemente la funcion es la misma desde a,b como desde a,c mas c,b

                                       REGLA DE BARROW

Si sabemos que una funcion f es continua en a,b para los numeros reales, ¿podemos conocer cual es la integral definida en ese intervalo? Sí. Con la regla de barrow.

Barrow permite la solucion de integrales definidas en intervalos si calculamos su primitiva (la funcion que derivandola da la integral que tenemos). Luego simplemente se sustituye por los valores de b y se resta con la misma funcion con los valores de a.

∫f(x)dx = F(b)-F(a)

Ejemplo: Calcular la integral en el intervalo 2,1 de x^3 dx

Primitiva = x^3 = INMEDIATA = (X^4)/4

Sustituyo = (2^4)/4 - 1^4/4

Resuelvo = 15/4

                                         CALCULO DE AREAS

Para calcular las areas de una funcion positiva necesitamos o bien dos funciones y saber donde se cortan o bien solo una y por tanto, un eje (Casi siempre el eje OX).Para calcular el area de la grafica f(x) 4-x^2 y el eje OX simplemente vemos donde se corta con el eje x (-2,2) y hacemos barrow con la funcion.

                                    INTEGRALES IMPROPIAS

Las integrales impropias son una particularidad de las integrales, decimos que son impropias cuando nuestro limite, superior o inferior, es infinito o menos infinito respectivamente. Esto significa que partimos de una cota a o b dada pero no sabemos donde termina.

En general una integral impropia es como cualquier limite; puede no tener limite (y ser infinito) o puede tener un limite cualquiera. En tal caso, si converge a un límite decimos que es convergente y que ∫f(x)dx = L en el intervalo [a,b] donde alguno de ellos es infinito.

En caso opuesto diremos que es divergente si no existe el limite o es infinito.

¿Es la integral de e^(-x) convergente en el intervalo 0-infinito o es divergente?

∫e^(-x)dx = -e^(-x) + C

Aplico barrow: -e^(-0) - e^-b = 1 - e^-b para todo b>0.

Tomo limites: lim (1-(e^-b)) = 1

La integral e^(-x) impropia es convergente a 1.

No obstante existen diversas integrales que son convergentes o divergentes dependiendo del valor de cierta variable, asi pues la integral desde 1 hasta infinito de 1/(x^p) es convergente p>1 y divergente si p<1.

                                CRITERIO DE COMPARACION

Dadas dos funciones f,g continuas en el intervalo a, infinito, no negativas tales que existe:

C = lim(x->inf) f(x)/g(x)

Se cumple:

Si C-0 y g(x) converge -> f(x) converge.

Si C-inf y f(x) converge -> g(x) converge.

Si C€(0,inf) entonces f(x) converge <=> g(x) converge

¿Es la integral 1/x convergente en el intervalo menos infinito-menos uno o es divergente?

Aplico Barrow: 1/x = ln(-x) = -1*ln(x) para todo a<-1

Tomo limites: lim -ln(x) = -inf

La integral 1/x es divergente hacia menos infinito.

                           MÉTODO DE LAS SECCIONES PARALELAS

Volumen del sólido cuya sección paralela al eje OX tiene area A(x) entre x=a y x=b. Ejemplo de esto sería calcular el volumen de un cilindro (cuya base se asienta sobre el eje OX).

                                      MÉTODO DE LOS DISCOS

Volumen de un sólido obtenido a través de un giro sobre el eje OX la región plana delimitada por:

La gráfica de una función no negativa.

El eje OX.

Las rectas x=a y x=b.

                                       MÉTODO DE LAS ARANDELAS

Volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje OX la region plana delimitada por:

Las gráficas de dos funciones no negativas f(x)>=g(x).

Las rectas x=a y x=b.

                                          APROXIMACION NUMÉRICA

La forma de obtener el resultado aproximado de una integral se realiza a través del método del trapecio.

Fijamos n como un numero entero para proceder a realizar la función a trozos que coincide con f(x) en los puntos de abcisas.

xk = a + k * (b-a)/n       k=0,1,..,n

Para cada k =1,2,..,n aproximamos.

Obtenemos entonces la siguiente aproximacion:

                                    FORMULA DEL TRAPECIO

La formula para aproximar la integral que se obtiene a través de la fórmula del trapecio con n subintervalos es:

Trapecio(n)= (b-a)/n * (f(a)+2f(x1)+..+2f(xn-1)+f(b))

Ejemplo: Integral de 2 a 1 de 1/x mediante n=3 y n=5

Trapecio(3): 0.7

[vulnus-sanare]

Alright. Does anyone in here know how to solve primitives?