En los casos simples, pasar de la función de distribución a un punto no entraña ninguna dificultad. Tomemos el simple ejemplo de un péndulo. Puede oscilar o rotar alrededor de su eje según las condiciones iniciales. Para que rote, su energía cinética debe ser lo suficientemente elevada para que no «caiga» antes de alcanzar la posición vertical. Estos dos tipos de movimiento corresponden a regiones separadas del espacio de fases. La razón para que esto sea así es muy sencilla: la rotación requiere más energía que la oscilación. Si nuestras medidas nos permiten asegurar que el sistema está inicialmente en una región dada, podemos predecir con seguridad el tipo de movimiento del péndulo. Podemos aumentar la precisión de nuestros instrumentos y localizar el estado inicial del péndulo en una región más pequeña dentro de la primera, pero esto es comparativamente poco importante. Podemos estar seguros de qué comportamiento seguirá el péndulo en todo momento; nada nuevo o inesperado puede ocurrir.
Uno de los resultados más sorprendentes de los estudios de sistemas dinámicos efectuados en el siglo XX, después del ímpetu decisivo dado por Henri Poincaré, es que esto no es generalmente cierto. Indiquemos un tipo de trayectoria (por ejemplo, la de la oscilación) por + y otro tipo por *. Uno se encuentra, por lo general, con una mezcla de estados que hace la transición a un punto único ambigua. Si únicamente sabemos que el estado inicial de nuestro sistema está en la región A, no podemos deducir que su trayectoria es del tipo + , ya que, igualmente podría serlo del tipo *. No conseguiremos nada aumentando la precisión, pasando de una región a otra más pequeña dentro de la primera, puesto que la incertidumbre se mantiene. En toda región, tan pequeña como queramos, hay siempre algunos estados pertenecientes a los dos tipos de trayectorias. Se puede llegar a la siguiente conclusión: para tales sistemas, el concepto de trayectoria se convierte en un inobservable en el sentido estricto del término. Esta es una demostración de imposibilidad análoga a la que encontramos en nuestra discusión de la relatividad y de la mecánica cuántica. Expresa los límites de la idealización newtoniana, los límites de la independencia de los dos elementos básicos de la dinámica newtoniana, la ley dinámica y las condiciones iniciales. Aquí se destruye esta independencia: la ley dinámica del sistema hace insostenible el ideal de la determinación de una condición inicial. Cada trayectoria de tipo + está rodeada de trayectorias de tipo *. Se puede pensar en una situación familiar, la de los números de la recta en donde cada racional está rodeado de irracionales y cada irracional de racionales. Es divertido recordar la forma en que Anaxágoras concebía la riqueza de las posibilidades creativas incluidas en la naturaleza: cada cosa contiene, en cada una de sus partes, una infinita multiplicidad de gérmenes cualitativamente distintos íntimamente mezclados. Aquí también, cada región del espacio de fases guarda una riqueza de posibilidades cualitativamente diferentes que pueden dar lugar a movimientos cualitativamente distintos.
Esta situación de «mezcla íntima» de trayectorias de tipos diferentes se encuentra con frecuencia en dinámica, hasta tal punto que se puede decir que corresponde al caso general. Bajo esta perspectiva, la trayectoria determinista aparece como un concepto de aplicación limitada. En la medida en que somos incapaces, no sólo en la práctica, sino también en la teoría, de describir el sistema por medio de una trayectoria y estamos obligados a usar una función de distribución correspondiente a una región finita (tan pequeña como queramos) del espacio de fases, podemos únicamente predecir el futuro estadístico del sistema.
Hagamos énfasis en el hecho de que una trayectoria es un concepto «global» que teóricamente se refiere a un período de tiempo arbitrariamente grande. Una trayectoria puede parecer periódica durante un millón de años y de repente dejar de serlo. Podemos, por consiguiente, expresar nuestra conclusión de esta manera: para poder determinar el tipo de trayectoria en un sistema débilmente estable se requeriría un grado de precisión infinito. Desde luego, si pudiéramos observar un sistema dinámico durante un tiempo suficientemente largo, sabríamos qué trayectoria sigue. Sin embargo, observar un sistema por un período ilimitado de tiempo y «predecir» su evolución son, obviamente, actividades incompatibles. La asociación de las dos actividades es en sí misma una reducción al absurdo de la idea de predicción determinista.